高中数学第三章三角恒等变换示范教案.docx

第三章 三角恒等变换示范教案本章知识网络教学分析本章三角函数模型是主线，三角变形是关键三角函数及其三角恒等变形不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一本章特点是公式多，但积化和差与和差化积公式不要求记忆切实掌握三角函数的基本变形思想是复习掌握好本章的关键三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用三角恒等变形是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明对所给三角式进行三角恒等变形时，除使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式如平方差公式、立方差公式等对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界基本变形思想主要是：化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式yAsin(x)；化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；“合二为一”：对于形如asinbcos的式子，引入辅助角并化成sin()的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可)高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面，一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变形，包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点因此复习中要充分运用数形结合的思想，利用向量的工具性，灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变形的深刻理解及运用三维目标1通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题2掌握简单的三角恒等变形的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题3通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、相互联系的重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变形中的综合运用课时安排1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们一起又探究学习了第三章简单三角恒等变形的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变形与代数式的变形有什么相同点？有什么不同点？对三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习推进新课(1)列出本章所学的公式，理清它们之间的关系，回顾、思考并回答：推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变形与代数式的变形有什么相同点？有什么不同点？三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助？(2)三角函数的变形灵活性大、方法多，回顾从前所学，三角变形都有哪些？(3)如果对三角函数变形题型进行归类，那么回顾从前所学，常见的基本题型有哪些？活动：问题(1)，本章的三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用代替，代替，等换元法就可以推导出其他公式见下表：和差正、余弦公式和差正切公式二倍角公式半角公式积化和差cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossintan()tan()sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2sincostan(不作记忆)(略)教师引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角函数的恒等变形，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变形成另一个与它等价的表达式三角恒等变形是代数式恒等变形的推广和发展；进行三角恒等变形，除了要熟练运用代数恒等变形的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变形教师要引导学生明确三角变换不仅有三角函数式的结构形式变形，而且还有角的变形，以及不同三角函数之间的变形，使学生领悟有关公式在变形中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路并让学生体会到通过三角恒等变形的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力问题(2)，教师引导学生回顾总结，在学生探索时适时点拨，常见的变形有：公式变形，数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等如：tantantan()(1tantan)，tantan1，1tantan，1cos22cos2，1cos22sin2等角的变形，角度变形是三角函数恒等变形的首选方法，在进行三角恒等变形时，对角之间关系必须进行认真的观察联想，分析角之间的和、差、倍、分关系在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角；熟悉两角互余、互补的各种形式；或者引入辅助角进行角的变形等如：()；2()()；()；()等还需熟练掌握一些常见的式子：如：sinxcosxsin(x)，sinxcosx2sin(x)等问题(3)，教师引导学生回顾总结，适时地点拨学生，常见三角恒等变形的基本题型有求值、化简、证明对于求值，常见的有给角求值、给值求值、给值求角给角求值的关键是正确地分析角之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变形，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角对于化简，有两种常见的形式，未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变形、函数变形等各种变形对于证明，它包括无条件的恒等式和有附加条件恒等式的证明无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法讨论结果：(1)(3)略思路1例1(1)化简tan2Atan(30A)tan2Atan(60A)tan(30A)tan(60A)；(2)已知为锐角，且tan，求的值活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变形、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了并让学生明了解决这类问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式如本例的(2)中，目标是“弦”且是“和差角”，而条件是“切”且是“单角”在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬解：(1)tan(902A)tan(30A)(60A)，tan(30A)tan(60A)tan(902A)1tan(30A)tan(60A)原式tan2Atan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)tan2Atan(902A)1tan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)1tan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)1.(2)原式.tan，又(0，)，即2sincos.又由sin2cos21，cos.点评：本题主要回顾了和差公式、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法由此产生逆变公式、整体变形公式等方法的灵活运用，本例的两问的解法其实质是一样的学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法.变式训练1._.解析：.答案：2已知sin()，sin()，求的值解法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得sincos，cossin.解法二：(设未知数)令x，.解之，得x.例2已知、(0，)，且3sinsin(2)，4tan1tan2，求的值活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：把所求角用含已知角的式子表示；由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质解：3sin()sin()，3sin()cos3cos()sinsin()coscos()sin，sin()cos2cos()sin，、(0，)，0.cos()0，cos0.tan()2tan.由4tan1tan2，得1，即得2tan1，代入tan()2tan，得tan()1.又0，.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.变式训练已知tan()，tan，且，(0，)，求2的值解：22()，tan()，tan2().从而tan(2)tan2()1.又tantan()1，且0，0.02.又tan0，且(0，)，.20)的最小正周期为.(1)求的值；(2)求函数f(x)在区间0，上的取值范围解：(1)f(x)sin2xsin2xcos2xsin(2x).因为函数f(x)的最小正周期为，且0，所以.解得1.(2)由(1)得f(x)sin(2x).因为0x，所以2x.所以sin(2x)1.因此0sin(2x)，即f(x)的取值范围为0，例2已知函数f(x)2cos2x2sinxcosx1(xR，0)的最小正周期是.(1)求的值；(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合解：f(x)2sin2x1sin2xcos2x2(sin2xcoscos2xsin)2sin(2x)2.由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得，所以2.(2)解：由(1)知，f(x)sin(4x)2.当4x2k，即x(kZ)时，sin(4x)取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2，此时x的集合为x|x，kZ例3 求函数y74sinxcosx4cos2x4cos4x的最大值与最小值解：y74sinxcosx4cos2x4cos4x72sin2x4cos2x(1cos2x)72sin2x4cos2xsin2x72sin2xsin22x(1sin2x)26.由于函数z(u1)26在1,1中的最大值为zmax(11)2610，最小值为zmin(11)266，故当sin2x1时，y取得最大值10；当sin2x1时，y取得最小值6.1先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式，主要是和角公式、差角公式、倍角公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法2教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用三角函数是三角变形的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题课本本章巩固与提高7、8.1本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面地复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力2本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点3三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械的训练在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套题型备用习题1f(x)2cos2xsin2xa(a为实常数)在区间0，上的最小值为4，那么a的值等于()A4 B6 C4 D32函数ysin6xcos6x的最小正周期是()A. B. C D.3设a2cos2281，b(cos18sin18)，clog，则()Aabc Bbac Cbca Dcba4若是锐角，且sin，则cos()等于()A. B. C D5函数ysin(x)cosx的最小值为()A. B C D.6设向量a(cos23，cos67)，b(cos53，cos37)，则ab等于()A. B. C D7设pcoscos，qcos2，那么p、q的大小关系是()Apq Bpq Cpq Dpq8已知sin()，sin()，且(，)，(，2)，则cos2等于()A1 B1 C. D9已知函数f(x)，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域10化简：().11一元二次方程mx2(2m3)xm20的两个实数根为tan和tan，求tan()的取值范围及其最小值12设向量a(cos()，sin()，b(cos()，sin()，且ab(，)，(1)求tan；(2)求.13观察以下各等式：sin230cos260sin30cos60，sin220cos250sin20cos50，sin215cos245sin15cos45.分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明参考答案：1Cf(x)1cos2xsin2xa2sin(2x)a1，x0