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数列1(2016新课标全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.()求an的通项公式；()求bn的前n项和解：()由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列通项公式为an3n1.()由()和anbn1bn1nbn，得bn1，因此数列bn是首项为1，公比为的等比数列，记bn的前n项和为Sn，则Sn.2已知数列an的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列bn满足b1a1，b4S3.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围解：(1)an是Sn和1的等差中项，Sn2an1，当n1时，a1S12a11，a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)2an2an1，an2an1，即2.数列an是以a11为首项，2为公比的等比数列，an2n1，Sn2n1，设bn的公差为d，b1a11，b413d7，d2，bn1(n1)22n1.(2)cn，Tn，nN*，Tn0，数列Tn是一个递增数列，TnT1.综上所述，Tn.3设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解：(1)令n1代入得a12(负值舍去)(2)由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*得Sn(n2n)(Sn3)0.又已知各项均为正数，故Snn2n.当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a12也满足上式，所以an2n，nN*.(3)证明：kN*,4k22k(3k23k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k，.不等式成立4已知函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)且f(1).(1)当nN*时，求f(n)的表达式；(2)设annf(n)，nN*，求证：a1a2a3an2；(3)设bn(9n)，nN*，Sn为bn的前n项和，当Sn最大时，求n的值解：(1)令xn，y1，得f(n1)f(n)f(1)f(n)，f(n)是首项为，公比为的等比数列，f(n)n.(2)证明：设Tn为an的前n项和，annf(n)nn，Tn2233nn，Tn22334(n1)nnn1，两式相减得Tn23nnn1，Tn2n1nn2.即a1a2a3an0；当n9时，bn0；当n9时，bn0，所以c11.当n2时，ccccS，ccccS.两式相减，得cSS(SnSn1)(SnSn1)cn(SnSn1)因为cn0，所以cSnSn12Sncn.显然c11适合上式，所以当n2时，c2Sn1cn1.于是cc2(SnSn1)cncn12cncncn1cncn1.因为cncn1
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