高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案含解析.docx

22.1综合法和分析法综合法阅读下列证明过程，回答问题求证：是函数f(x)sin的一个周期证明：因为f(x)sinsinsinf(x)，所以由周期函数的定义可知，是函数f(x)sin的一个周期问题1：本题的条件和结论各是什么？提示：条件：f(x)sin；结论：是f(x)的一个周期问题2：本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论1综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2综合法的框图表示(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.分析法阅读下列证明过程，回答问题求证：2.证明：要证原不等式成立，只需证()2(2)2，即证22，该式显然成立，因此原不等式成立问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始问题2：证明思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件1分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法2分析法的框图表示分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.综合法的应用已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.a，b，c是正数，b2c22bc，a(b2c2)2abc.同理，b(c2a2)2abc，c(a2b2)2abc.a，b，c不全相等，b2c22bc，c2a22ca，a2b22ab三式中不能同时取到“”，式相加得a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程已知a0，b0，且ab1，求证：9.证明：a0，b0，ab1，41552 549.当且仅当，即a2b时“”成立.分析法的应用设a，b为实数，求证： (ab)当ab0时，0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立在锐角ABC中，求证：tan Atan B1.证明：要证tan Atan B1，只需证1.A，B均为锐角，cos A0，cos B0.即证sin Asin Bcos Acos B，即cos Acos Bsin Asin B0，只需证cos(AB)0.ABC为锐角三角形，90AB180，cos(AB)0，因此tan Atan B1.综合法和分析法的综合应用已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.法一：(分析法)要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3，化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立，(ab)1(bc)13(abc)1成立法二：(综合法)因为ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60，所以c2a2acb2.两边加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题设a，b(0，)，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：(分析法)要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，故只需证a2abb2ab成立，即需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证法二：(综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.a0，b0，ab0，(ab)(a2abb2)ab(ab)，a3b3a2bab2.(12分)设f(x)ax2bxc(a0)，若函数yf(x1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称求证：f为偶函数 已知a，b，ab1，求证：2.证明：要证2，只需证2(ab)228.因为ab1，即证2.因为a，b，所以2a10,2b10，所以2，即2成立，因此原不等式成立1“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与aB是sin Asin B的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C若AB，则ab.又，sin Asin B.若sin Asin B，则由正弦定理得ab，AB.5已知f(x)ax1,0a1，若x1，x2R，且x1x2，则()A.fB.fC.fD.f解析：选D因为x1x2，所以 a1f，所以f.二、填空题6命题“函数f(x)xxln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)xxln x取导得f(x)ln x，当x(0,1)时，f(x)ln x0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法解析：该证明过程符合综合法的特点答案：综合法7如果abab，则实数a，b应满足的条件是_解析：ababaabba()b()(ab)()0()()20，故只需ab且a，b都不小于零即可答案：a0，b0且ab8已知sin cos 且，则cos 2_.解析：因为sin cos ，所以1sin 2，所以sin 2.因为，所以2，所以cos 2.答案：三、解答题9求证：2cos().证明：要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin ，左边2cos()sin sin2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边所以等式成立10设f(x)ln x1，证明：(1)当x1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x).证明：(1)记g(x)ln x1(x1)，则当x1时，g(x)0.又因为g(1)0，