高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理同步指导练习新人教A版.docx

四 直角三角形的射影定理一、基础达标1.如图所示，在RtMNP中，MNMP，MQPN于点Q，NQ3，则MN等于()A.3P N B.PNC. D.9PN解析MNMP，MQPN，MN2NQPN，又NQ3，MN.答案C2.在RtABC中，BAC90，ADBC于点D，若，则()A. B. C. D.解析如图，由射影定理得AC2CDBC，AB2BDBC，即，.答案C3.如图所示，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A.CECBADDBB.CECBADABC.ADABCD2D.CEEBCD2解析在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2ADDB，再根据切割线定理可得CD2CECB，所以CECBADDB，故选A.答案A4.已知在RtABC中，CD是斜边上的高，若ADp，BDq，则tan A的值是()A.pq B.q C.p D.解析由已知可利用射影定理得：CD，在RtACD中tan A.答案C5.如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.解析ABBC，BEAC，AC2，由射影定理得：BC2CEAC，CE.又在RtBEC中，cosBCE，BCE30，ECD60，由余弦定理可求DE2.DE.答案6.如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，DE是RtBCD斜边BC上的高，若BE6，CE2，求AD的长.解CDAB，即CDB90，DEBC.由射影定理可知：DE2CEBE12，DE2，CD2CEBC16，CD4，BD2BEBC48，BD4，在RtABC中，由射影定理可得：CD2ADBD，AD.二、能力提升7.如图所示，在ABC中，CDAB，BDABAC，则BAC等于()A.60 B.30C.45 D.75解析BDABAC，ABBDACAD，又CDAB，CDA90，在RtADC中，由ADAC，则BAC60.答案A8.如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD_.解析如图，依题意有AB5(cm)，连接CD，则CDAB，所以BC2BDAB，所以BD(cm).答案9.在ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23，则ACD与CBD的面积比为_.解析由已知可设AD2x，则BD3x，ACB90，CDAB，由射影定理得：CD2ADBD6x2，CDx，SACDSCBD.答案10.如图所示，在ABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E.求证：(1)ABACADBC；(2)AD3BCBECF；(3).证明(1)在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD，ABACBCAD.(2)在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2BEAB.同理，在RtADC中，DFAC，CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在RtABC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BD2DC2，即AD4BEABCFAC.由(1)知ABACBCAD，AD4BECFBCAD，AD3BECFBC.(3)由射影定理得BD2BEAB，BE.又CD2CFAC，CF，由得.又AB2BDBC，BD，同理，AC2CDBC，CD，.将代入得，即.11.如图，在ABC中，D，F分别在AC，BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC.解在ABC中，设AC为x，ABAC，AFBC.又FC1，根据射影定理，得AC2FCBC，即BCx2.再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，即AF2x21，AF.在BDC中，过D作DEBC于E.BDDC1，BEECx2.又AFBC，DEAF，DE.在RtDEC中，DE2EC2DC2，即12，1.整理得x64，x，即AC.三、探究与创新12.在RtABC中，ACB9