八年级数学下册1.4.1角平分线教案新版北师大版.docx

课题：1.4.1角平分线 教学目标：1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理2进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。教学重点与难点：重点: 角平分线的性质定理、判定定理.难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.课前准备：多媒体课件、纸制角的模型。教学过程：一、问题导学，自主探究AOBPOCABP【思考与探索】有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在AOB平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,你认为它应该选择什么路线?两条路线长度关系怎样?处理方式：先观察图形，结合实践经验师生交流，根据“点到直线的距离垂线段的长最短”可以发现蜘蛛会沿着所在的点与角的边垂直的路线爬行，即蜘蛛所走的路线是从P到A和从P到B然后教师提问：两条路线长度相等吗？学生讲述：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：（边演示边说明）从折纸过程中，我们可以得出PD=PE，所以蜘蛛选择的两条路线长度相等 【预设：如果学生不易想到角平分线上的点到角两边的距离相等，教师可提问：同学们，还记得角平分线上的点有什么性质吗? 回想一下，当时是怎样得到的？】师：这节课，我们应用推理的方法探究角平分线的有关性质【教师板书课题：1.4角平分线（1）】设计意图：通过蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现感知角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理通过动手折出角平分线，观察、验证平分线上的点到角的两边的距离相等.其一是激发了学生的求知的欲望、培养了学生的学习兴趣，其二是为了培养学生善于动手动脑、善于发现的学习习惯二、诱思探究，展示交流活动一：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”1讨论问题1：你能否将“蜘蛛实例”的结论转化为一个命题？ 问题2：你能说出这一命题的条件与结论吗？处理方式：学生分组讨论，教师巡视，对有困难的学生进行指导，完成后在小组内交流，说出自己的发现“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题的条件是“点在角平分线上”，结论是“这点到角两边的距离相等”.师生结合图形认识“点到角的两边的距离”实际上就是“由点向这个角的两边所在直线作垂线，这个点与垂足之间垂线段的长度”.2证明问题：你能否证明“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题吗？处理方式：学生试着根据条件和结论画出图形，写出已知和求证.已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E求证：PD=PE教师给学生留出思考的时间和空间，不要代替学生思考，要给他们展示自我的机会让一位学生到黑板上画出图形(示意图)、写出已知和求证，然后证明其他学生在练习本上完成同时巡视指导并收集具有代表性的错误及不规范的书写证明：OC是AOB的平分线，1=2，又OP=OP，PDO=PEO=90，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的对应边相等)（请学生回忆蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度相等的道理）3.小结师生共同归纳：我们把它叫做角平分线的性质定理(用多媒体演示并板书)定理 在角平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：OC是AOB的平分线，PDOA，PEOB，PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 设计意图：放手让学生独立完成，并以黑板上学生的板演为样本，讲解定理及其证明，对学生不规范的书写和表达予以纠正，同时也能理顺学生的证明并让学生对定理的理解更加深入通过符号语言，把抽象的问题形象化，有利于学生对定理的理解、应用【教师提炼】这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一活动二：探究“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”1.写出“角平分线上的点到角的两边的距离相等.”的逆命题.同学们表现的的很好！请大家继续思考下面的问题：（1）你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？（2）它是真命题吗？ 处理方式：学生分组交流，教师对困难学生个别辅导，师生共同纠正得出逆命题在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上【预设：此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点”师释疑：这位同学思考问题很深刻事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180的角的内部，其余部分为角的外部注意：如果没有学生提出，教师要适当引导，让学生看到这一情况.】如上图所示，只有射线OC(即在AOB内部的射线)才是AOB的平分线因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件2.证明我们想想如何证明它的正确性，大家思考交流.（学生合作板书已知、求证.） 已知：在AOB内部有一点P，且PDOA，PEOB，D、E分别为垂足且PD=PE。求证：点P在AOB的角平分线上处理方式：先师生共析：要说明点P在AOB的角平分线上，只要说明1=2，要说明1=2，只要说明哪两个三角形全等？全等的条件是什么？ 分析后生独立完成证明，然后组内交流，及时规范证明过程设计说明：因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明，所以把这个证明的任务留给学生完成证明：PDOA，PEOB，PDO=PEO=90在RtODP和RtOEP中OP=OP，PD=PE，RtODP RtOEP（HL）1=2（全等三角形对应角相等）点P在AOB的角平分线上3.小结教师：我们已证明此逆命题是真命题，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理就把它叫做角平分线的判定定理吧(多媒体演示并板书)定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.符号语言：PA=PB，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E（已知），点P在AOB的平分线上(在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上) 【教师提炼】这个结论是证明点在角平分线上(或角平分线经过某一点)的依据之一设计意图：通过对定理及逆定理的证明，让学生感受数学的严谨和规范，同时更加深刻的理解角平分线的性质定理及逆定理.学以致用：ABCDFE例题：在ABC 中， BAC = 60，点 D 在 BC 上，AD = 10，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.ACBD处理方式：本问题综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题.由于前面已规范了角平分线定理的书写，所以此例题可以由学生独立完成证明过程.在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范，进一步发展学生的推论证明能力.三、思维训练，巩固提高（学生独立练习，教师巡视，个别辅导.）1如图，ABC中，C=90，BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 2如图，一目标在A区，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处的距离为500米，在图上标出它的位置，并说明理由（比例尺1：20000）.CDB1234EFA提示：把公路和铁路看成两条相交直线，作出其夹角的平分线并标出目标位置）3. 如图，AD、AE分别是ABC中A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？处理方式：两学生代表板演，其余学生独立完成后，集体批改，学生自我矫正【方法总结】有角的平分线（或证明是角的平分线）时，常需要添加辅助线，即由角平分线上的点向两边作垂线段，再利用角平分线的判定或性质解决，使问题得到解决设计意图：1题通过这组题目的训练，使学生对定理深化理解并熟练运用.对于完成好的同学,教师给予鼓励;对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心.2题在学生探究解决实际问题的过程中，不仅可以培养将实际问题数学化的解题思想，还使学生感受到数学在生活中的广泛应用性四、小结感悟，知识沉淀师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？学生畅谈自已的收获与感悟我掌握的结论是： ；我学会的我解题方法是： ；我还懂得了： 设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识五、分层评价，当堂达标A组（必做题）：1如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E若OD=8，OP=10，则PE的长为（）A、5 B、6 C、7 D、82如图，在RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于点D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE1，则AC= 3如图，在ABC中，C=90，B=30，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）AD是BAC的平分线； ADC=60；点D在AB的中垂线上； SDAC：SABC=1：3A、1 B、2 C、3 D、4B组（必做题）：已知：如图，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由设计意图：通过此环节让学生经历独立思考、灵活应用知识解决问题的过程，使学生进一步理解本节学习知识，从中获取解决问题的技能，提高解决问题的能力，同时检测教与学是否都达到预期效果.可采取独立限时答题、成果展示等形式.六、布置作业，课后促学必做题：21OEDABC1如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且1 =2.求证：OB = OC.必做题：2如图，RtABC