高中数学第三章三角恒等变形2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦余弦函数学案.docx

21两角差的余弦函数22两角和与差的正弦、余弦函数内容要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点)知识点1两角和与差的余弦公式C：cos()cos_cos_sin_sin_.(3.3)C：cos()cos_cos_sin_sin_.(3.4)【预习评价】1cos 20cos 10sin 20sin 10()A B.C D.答案B2cos 75_.答案知识点2两角和与差的正弦公式S：sin()sin_cos_cos_sin_.(3.5)S：sin()sin_cos_cos_sin_.(3.6)【预习评价】1计算sin 43cos 13cos 43sin 13的结果等于()A. B. C. D.答案A2已知sin ，0，则cos _，sin_.答案题型一给角求值【例1】求值：(1)sin 15cos 15；(2)sin 119sin 181sin 91sin 29.解(1)方法一sin 15cos 15sin(4530)cos(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30cos 45cos 30sin 45sin 30.方法二sin 15cos 15sin(1545)sin 60.(2)原式sin(2990)sin(1180)sin(190)sin 29cos 29(sin 1)cos 1sin 29(sin 29cos 1cos 29sin 1)sin(291)sin 30.规律方法解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”【训练1】求下列式子的值：(1)cos(15)；(2)sin 795；(3)cos 43cos 77sin 43cos 167.解(1)cos(15)cos(3045)cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)sin 795sin(236075)sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.(3)cos 167cos(9077)sin 77原式cos 43cos 77sin 43sin 77cos(4377)cos 120.题型二给值求值【例2】 已知0，cos，sin，求sin()的值解，0.sin.又0，cos，sin()coscoscoscossinsin.规律方法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角【训练2】已知，cos()，sin()，求sin 2的值解，0，.sin()，cos().sin 2sin()()sin()cos()cos()sin().【探究1】已知A，B均为钝角，且sin A，sin B，求AB的值解A，B均为钝角，且sin A，sin B，cos A，cos B，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B().又A，B，AB2，AB.【探究2】已知cos ，cos()，且、，求的值解、且cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .又，.【探究3】已知cos()，cos()，且，求的值解由，且cos()，得sin()，由，且cos()，得sin().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.又，2.2，则.规律方法1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内2选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，)，则选余弦函数.课堂达标1sin 75等于()A. B.C. D.解析sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.答案B2sin 69cos 99cos 69sin 99的值为()A.B C.D解析原式sin(6999)sin(30).答案B3计算：sin 60cos 60_.解析原式sin 30sin 60cos 30cos 60cos(6030)cos 30.答案4已知锐角、满足sin ，cos ，则_.解析，为锐角，sin ，cos ，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .0，.答案5已知锐角、满足cos ，tan()，求cos .解为锐角，且cos ，sin .又0，0，.又tan()0，cos().从而sin()tan()cos().cos cos()cos cos()sin sin().课堂小结1两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin()sin cos cos sin sin .2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sincos()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin .3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.基础过关1设，若sin ，则cos等于()A. B.CD解析coscos sin .答案A2化简sin(xy)sin(xy)cos(xy)cos(xy)的结果为()Asin 2xBcos 2xCcos 2xDsin 2x解析原式cos(xy)(xy)cos 2x，故选C.答案C3若锐角、满足cos ，cos()，则sin 的值是()A. B. C. D.解析cos ，cos()，、，sin ，sin().sin sin()sin()cos cos()sin .答案C4若cos()，则(sin sin )2(cos cos )2_.解析原式22(sin sin cos cos )22cos().答案5已知，tan 2，则cos_解析由tan 2得sin 2 cos ，又sin 2cos21，所以cos2.因为，所以cos ，sin .因为coscos cos sin sin .答案6已知sin ，sin()，均为锐角，求.解为锐角，sin ，cos .且sin()，cos()，sin sin()sin()cos cos()sin ，为锐角，.7已知cos cos ，sin sin ，求cos()解由cos cos 两边平方得(cos cos )2cos2cos22cos cos .由sin sin 两边平方得(sin sin )2sin2sin22sin sin .得22(cos cos sin sin ).cos cos sin sin ，cos().能力提升8在ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C2cos Asin B，则ABC一定是()A直角三角形B正三角形C等腰三角形D等腰直角三角形解析sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B2cos Asin B，sin Acos Bcos Asin B0.即sin(AB)0，AB.答案C9若函数f(x)(1tan x)cos x,0x，则f(x)的最大值为()A1B2C1D2解析f(x)(1tan x)cos xcos xsin x2(cos xsin x)2sin(x)，0x，x.f(x)max2.答案B10已知sin cos 1，则cos()_.解析因sin cos 1且1sin 1，1cos 1，故有或所以cos sin 0，所以cos()cos cos sin sin 0.答案011已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，若1，则sin()_.解析(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，(cos 3)cos sin (sin 3)cos23cos sin23sin 13(sin cos )13(sin cos )13sin()1，sin().答案12(1)已知sin ，cos ，、均在第二象限，求sin()和sin()的值(2)若sin，cos，且0，求cos()的值解(1)sin ，cos ，、为第二象限角，cos ，sin ，sin()sin cos cos sin ()()，sin()sin cos cos sin