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文档简介

第1讲函数图象与性质高考定位1.以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质,能用函数的图象与性质解决简单问题;3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2018全国卷)函数f(x)的图象大致为()解析f(x)为奇函数,排除A;当x0时,f(1)e2,排除C,D,只有B项满足.答案B2.(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x).若f(1)2,则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50解析法一f(x)是定义域为(,)的奇函数,且f(1x)f(1x),f(4x)f(x),f(x)是周期函数,且一个周期为4,又f(0)0,知f(2)f(0),f(4)f(0)0,由f(1)2,知f(1)2,则f(3)f(1)2,从而f(1)f(2)f(3)f(4)0,故f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2,故选C.法二由题意可设f(x)2sin,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2.答案C3.(2017全国卷)已知函数f(x)ln xln(2x),则()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.yf(x)的图象关于直线x1对称D.yf(x)的图象关于点(1,0)对称解析由题意知,f(x)ln xln(2x)的定义域为(0,2),f(x)lnx(2x)ln(x1)21,由复合函数的单调性知,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;又f(2x)ln(2x)ln xf(x),所以f(x)的图象关于直线x1对称,C正确,D错误.答案C4.(2018江苏卷)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR),且在区间(2,2上,f(x)则ff(15)的值为_.解析因为函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR),所以函数f(x)的最小正周期为4.又因为在区间(2,2上,f(x)所以ff(15)ff(1)f cos .答案考 点 整 合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax),即f(x)f(2ax),则yf(x)的图象关于直线xa对称;若函数yf(x)满足f(ax)f(ax),即f(x)f(2ax),则yf(x)的图象关于点(a,0)对称.2.函数的性质(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性:若f(x)是偶函数,则f(x)f(x).若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)0.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性:若yf(x)对xR,f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)恒成立,则yf(x)是周期为2a的周期函数.若yf(x)是偶函数,其图象又关于直线xa对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数.若yf(x)是奇函数,其图象又关于直线xa对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数.若f(xa)f(x),则yf(x)是周期为2|a|的周期函数.易错提醒错用集合运算符号致误:函数的多个单调区间若不连续,不能用符号“”连接,可用“和”或“,”连接.热点一函数及其表示【例1】 (1)函数y的定义域为()A.(,1B.1,1C.D.(2)(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A.(,1 B.(0,)C.(1,0) D.(,0)解析(1)函数有意义,则即所以函数的定义域为.(2)当x0时,函数f(x)2x是减函数,则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x1)f(2x),则需或所以x0.答案(1)C(2)D探究提高1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数:根据f(g(x)中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;形如f(g(x)的函数求值时,应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y的定义域为A,函数yln(1x)的定义域为B,则AB()A.(1,2) B.(1,2 C.(2,1) D.2,1)(2)(2018郑州质检)函数f(x) 且f(a)2.则f(14a)_.解析(1)由4x20得2x2,A2,2,由1x0得x1,B(,1).AB2,1).(2)当x0,由f(a)2,知log2(a1)22,a15.故f(14a)f(1)2111.答案(1)D(2)1热点二函数的图象及应用【例2】 (1)(2018浙江卷)函数y2|x|sin 2x的图象可能是()(2)(2018合肥调研)已知函数f(x) 若f(x1)f(x2)f(x3)(x1,x2,x3互不相等),且x1x2x3的取值范围为(1,8),则实数m的值为_.解析(1)设f(x)2|x|sin 2x,其定义域关于坐标原点对称,又f(x)2|x|sin(2x)f(x),所以yf(x)是奇函数,故排除选项A,B;令f(x)0,则sin 2x0,所以x(kZ),故排除选项C.故选D.(2)作出f(x)的图象,如图所示,可令x1x2x3,则由图知点(x1,0),(x2,0)关于直线x对称,所以x1x21.又因为1x1x2x38,所以2x32,排除A,C.又当x时,y,B项不满足,D满足.(2)画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|g(x),故h(x)|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|g(x),故h(x)g(x).综上可知,yh(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值1,无最大值.答案(1)D(2)C热点三函数的性质与应用考法1函数的奇偶性、周期性【例31】 (1)(2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1,f(a)4,则f(a)_.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x4)f(x2).若当x3,0时,f(x)6x,则f(919)_.解析(1)设g(x)f(x)1ln(x),则g(x)为奇函数.由f(a)4,知g(a)f(a)13.g(a)3,则f(a)1g(a)2.(2)f(x4)f(x2),f(x6)f(x),则T6是f(x)的周期.f(919)f(15361)f(1),又f(x)在R上是偶函数,f(1)f(1)6(1)6,即f(919)6.答案(1)2(2)6考法2函数的单调性与最值【例32】 (1)(2018湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(,0)上单调递增.若实数a满足f(32a1)f(),则a的最大值是()A.1 B. C. D.(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)xf(x).若ag(log25.1),bg(20.8),cg(3),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bclog25.1220.8,且ag(log25.1)g(log25.1),g(3)g(log25.1)g(20.8),则cab.法二(特殊化)取f(x)x,则g(x)x2为偶函数且在(0,)上单调递增,又3log25.120.8,从而可得cab.答案(1)D(2)C探究提高1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018潍坊模拟)若函数f(x) 为奇函数,则f(g(3)()A.3 B.2 C.1 D.0(2)已知偶函数f(x)在0,)上单调递减,且f(2)0.若f(x1)0,则x的取值范围是_.解析(1)由题意得g(3)f(3)f(3)2log331.因此fg(3)f(1)log3122.(2)由题意知f(x1)f(2).又因为f(x)是偶函数且在0,)上单调递减,所以f(|x1|)f(2),即|x1|2,解得1x0,忽视ln x0的限制.2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)0;若f(x)为偶函数,则f(|x|)f(x).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图;(2)对函数解析式进行恒等变换,转化为已知方程对应的曲线;(3)通过研究函数的性质,明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心,函数思想是重要的思想方法,利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质,对于给定的函数若不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,数形结合直观求解.一、选择题1.设f(x)若f(a)f(a1),则f()A.2 B.4 C.6 D.8解析由已知得a0,a11,f(a)f(a1),2(a11),解得a,f f(4)2(41)6.答案C2.(2018西安质检)函数f(x)的图象是()解析f(x)为奇函数,排除选项A,B,由f(x)0,知x0或x1,选项D满足.答案D3.(2018全国卷)下列函数中,其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()A.yln(1x) B.yln(2x)C.yln(1x) D.yln(2x)解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x1的对称点的坐标为(2x,y),由对称性知点(2x,y)在函数f(x)ln x的图象上,所以yln(2x).法二由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数yln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B.答案B4.已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数,记af(log0.53),bf(log25),cf(2m),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.acbC.cab D.cba解析由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0,所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53|12log2312,bf(log25)2|log25|12log2514,cf(0)2|0|10,所以cab.答案C5.(2018石家庄质检)已知函数f(x)则ff(x)2的解集为()A.(1ln 2,) B.(,1ln 2)C.(1ln 2,1) D.(1,1ln 2)解析因为当x1时,f(x)x3x2,当x1时,f(x)2ex12,f(f(x)2等价于f(x)1,即2ex11.因此x1.答案x|x18.已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)ax(a0且a1),且f(log4)3,则a的值为_.解析奇函数f(x)满足f(log4)3,而log420时,f(x)ax(a0且a1),又20,f(2)a23,解之得a.答案9.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x1)的解集是_.解析在同一坐标系中画出函数f(x)与ylog2(x1)的图象,如图所示.根据图象,当x(1,1时,yf(x)的图象在ylog2(x1)图象的上方.所以不等式的解集为(1,1.答案(1,1三、解答题10.(2018深圳中学调研)已知函数f(x)a.(1)求f(0);(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)f(2)的x的范围.解(1)f(0)aa1.(2)f(x)的定义域为R,任取x1,x2R且x1x2,则f(x1)f(x2)aa,y2x在R上单调递增且x1x2,02x12x2,2x12x20,2x210.f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在R上单调递增.(3)f(x)是奇函数,f(x)f(x),即aa,解得a1(或用f(0)0去解).f(ax)f(2)即为f(x)f(2),又f(x)在R上单调递增,x2.11.已知函数f(x)x22ln x,h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值;(2)设函数k(x)f(x)h(x),若函数k(x)在1,3上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为

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