八年级数学上册勾股定理1探索勾股定理知识点解读素材新版北师大版.docx

探索勾股定理知识点解读知识点1：勾股定理（重点）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么。该定理反映了直角三角形的三边关系。（古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”）CBA温馨提示勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能是在同一个直角三角形中时，才能利用它求第三边边长。例：如图，在RtABC中，C=90，AC=5，BC=12，求AB的长。解：在RtABC中，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=52+122=169，所以AB=13.在式子中，a代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，它们之间的关系不能弄错。应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边。在RtABC中，斜边未必一定是c，当A=90时，当C=90时，例：在RtABC中，AC=3，BC=4，求AB2的值。解：当C=90时，AB2=AC2+BC2=32+42=25；当A=90时，AB2=BC2-AC2=42-32=7遇到直角三角形中的线段求值问题，要首先想到勾股定理。勾股定理把“数”与“形”有机地结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典型。勾股定理的变式：在RtABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，则CBAD 例：如图，已知等腰ABC的腰AB=AC=10 cm，底边BC=12 cm，AD是BAC的平分线，则AD的长是 cm.解析 AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC，BD=CD=BC=6（cm）在RtABD中，由勾股定理知 AD=答案 8知识点2：勾股定理的验证（难点）勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。说明：（1）探索勾股定理时找面积相等是关键。（2）由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。（3）拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以下步骤：拼出图形写出图形面积的表达式找出等量关系恒等变形推导出勾股定理。例：如图是美国第20任总统加菲尔德于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？分析：通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从而得到一个关于三边长a，b，c之间的关系式，这种方法习惯称为“算两次”。解：解题关键：两个全等的直角三角形按上图摆放可得到一个大的直角梯形，而中间得到一个等腰直角三角形（由全等易证出）。知识点2：勾股定理的应用（重点）已知直角三角形任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度。应用勾股定理应注意的三个问题：（1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，即应用勾股定理的前提条件是“在直击三角形中”；（2）应用勾股定理时，必须分清斜边和直角边；（3）不能直接用勾股定理解决问题时，可以通过添加辅助线的办法构造出直角三角形，再利用勾股定理解答。例：如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行多少米？解：由题意可画出如图所示的图形，作DEAB，垂足为E，则BED=90，AE=CD，DE=AC，其中AB=10 m，AC=8 m，CD=4 m，所以BE=AB-AE=AB-CD=10-4=6（m）.在RtBDE中，由勾股定理，得BD2=BE2+DE2=62+82=10