九年级数学上册特殊平行四边形1菱形的性质与判定判别菱形的思路素材.docx_第1页
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判别菱形的思路菱形是特殊的平行四边形，一般情况下，判别一个四边形是菱形，要先判别其为平行四边形，再判别其有一组邻边相等或两条对角线互相垂直.具体来说，判别四边形是菱形主要有以下几种思路.一、 先说明四边形是平行四边形，再说明它有一组邻边相等例1 如图1，已知，在ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MGBA，MDAC，GFAC，DEAB，垂足分别为G、D、F、E，GF与DE相交于H，试说明：四边形HGMD是菱形.分析：利用菱形的定义，先说明四边形HGMD是平行四边形，再说明RtBGMRtCDM，得GM=DM，就可以说明四边形HGMD是菱形了.解：因为MDAC，GFAC，所以MDGF.同理MGDE.所以四边形HGMD为平行四边形.由AB=AC，则B=C.又BM=MC，所以RtBGMRtCDM，所以MG=MD，所以四边形HGMD是菱形.二、 说明四条边都相等例2 a，b，c，d是四边形ABCD的四边，若a4+b4+c4+d4=4abcd.试说明：四边形ABCD是菱形.解：因为a4+b4+c4+d4=4abcd，所以a42a2b2+b4+c42c2d2+d4+2a2b2+2c2d24abcd=0,即（a2b2）2+(c2d2)2+2(abcd)2=0.由非负数性质，得a2b2=0，c2d2=0，abcd=0.所以a2=b2，c2=d2，ab=cd. 所以a=b=c.所以四边形ABCD是菱形.三、 先说明四边形是平行四边形，再说明对角线互相垂直例3 已知：如图2， ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于E、F、O.试说明：四边形AFCE是菱形.分析：在四边形AFCE中，已有对角线EFAC，要说明四边形AFCE是菱形，只需说明四边形AFCE是平行四边形即可.解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，所以EAO=FCO，AEO=CFO.所以AO=OC.所以AOECOF，所以OF=OE.因为OA=OC，所以四边形AFCE是平行四边形.又EFAC，所以 AFCE是菱形.四、 说明四边形两对角线互相垂直且平分例4 如图3，在ABC中，BAC=90，ABC的平分线交AC于D，AEBC于F，AE交BD于G，连接GF.试说明：四边形AGFD是菱形.分析：先说明对角线AF、DG互相平分，再说明AF、DG互相垂直.解：连接AF交GD于O.由D是ABC平分线上的一点，且BAC=90，DFBC，得DA=DF.又因为BD=BD，所以RtABDRtFBD.所以AB=FB，即ABF是等腰三角形.所以OA=OF，BOAF，因为AEDF，所以GAF=DFA，所以RtAGORtFDO.所以OG=OD.所以四边形AGFD
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