积分上限函数的性质及其应用论.doc

湖北大学题 目： 积分上限函数的性质及其应用 学 院： 数学与统计学院 年 级： 研一 专业方向： 几何与方程 作者姓名： 陈 勇 学号： 2014111104000639 出生年月： 1990年05月性别 男 籍 贯： 湖南省汉寿县 指导老师： 陈立 2015 年 05 月 目 录摘 要.IIAbstract .II1引言.12积分上限函数的性质.12.1积分上限函数的初等性质.1 2.2积分上限函数的分析性质.13积分上限函数的应用.2 3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式.2 3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数.2 3.3利用积分上限函数求解函数方程.3 3.4利用积分上限函数确定全微分.3 3.5利用积分上限函数求解导数.3 3.6利用积分上限函数计算重积分.4 3.7利用积分上限函数证明中值定理.4 3.8利用积分上限函数求函数关系式.5 3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性.54结束语.5致谢语.5参考文献.6积分上限函数的性质及其应用数学学院2014级2班 陈 勇摘 要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,对于积分上限函数的初等性质及分析性质的研究,能够深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题.本文例举了积分上限函数的若干应用,对初学者具有指导意义. 关键词：积分上限函数;初等性质;分析性质;应用 The Nature and Its Application of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYongAbstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calculus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners. Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications -I-1引言 积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入了解其特性,对于证明积分等式与不等式、求幂级数的和函数、求解函数方程、确定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌握积分上限函数的性质和恰当的运用显得尤为重要. 本文通过分析积分上限函数的性质, 得到几类典型的应用.2积分上限函数的性质2.1积分上限函数的初等性质 定义1 如果函数在上可积，那么函数()称为积分上限函数. 下面讨论与之有关的性质及其应用. (1) 单调性 若在上可积, 且0 (0), 则积分上限函数在上单调递增（递减). (2) 奇偶性 若是连续函数且为奇函数，则积分上限函数是偶函数；若连续函数且为偶函数，则积分上限函数奇函数.(3) 周期性 若是连续函数且周期为, 则积分上限函数是周期函数, 或是一线性函数和一周期函数之和.(4) 有界性 若在上可积，则积分上限函数在上有界.2.2积分上限函数的分析性质(1) 凹凸性 若在上单调递增(递减), 则对, 积分上限函数是凸函数(凹函数).(2) 连续性 若在上可积, 则积分上限函数在上连续(3) 可导性 若在上连续, 则积分上限函数在上可导, 并且. (4) 可积性若函数在上连续,则函数在区间上可积.特别是,若函数连续,则有.3积分上限函数的应用3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式例1 设和在上连续,证明:至少存在一点,使.证明 令.由于,在上连续,所以在上连续,在内可导,且,由罗尔定理,至少存在一点,使得,而,从而,即.例2 若和在上连续,则.证明 令,则 .所以在上单调增加,从而.3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数 例3 求和函数. 解 设 则,设 则求导得 因为 再求导, 得3.3利用积分上限函数求解函数方程 例4 设在任意有限区间上可积且满足方程 (1)试证：，其中.证明 要证，当时即要证=常数.或，, 即在已知方程 两边对取积分但故此式右端，以对称的形式出现.互换知，从而 （当时） (2)在(1)中令,得.可见(2)对于也成立.最后(2)中,令,可得.3.4利用积分上限函数确定全微分例5 验证是全微分,其中是连续函数. 证明 令,由于是连续函数,故,且它们都是的连续函数,因此 .即证是全微分.3.5利用积分上限函数求解导数 例6 设在的某个领域内连续,验证当时,函数的各阶导数都有,且 证明 由于被积函数及偏导数在上连续, 于是由定理可得 同理由此继续下去,求得阶导数为特别的当时有 于是3.6利用积分上限函数计算重积分 例7 设函数在连续,则 证明 3.7利用积分上限函数证明中值定理例8 微分中值定理：若函数在闭区间连续,在开区间内可导,则在开区间内至少存在一点,使.证明 把换成,则.即 , ,将上式两边取积分,即.令,显然,且在内连续,在可导,由罗尔定理,则至少存在一点,使,而,故 .例9 积分中值定理:若函数在闭区间连续,则在内至少存在一点,使得.证明 设,由于在闭区间连续,则在上连续,由拉格朗日中值定理,则至少存在一点,使,即.3.8利用积分上限函数求函数关系式 例10 已知函数当时为, 当时为, 求积分上限函数在上的表达式. 解 因为被积函数是分段函数, 所以通常计算定积分而确定的表达式时也要分段考察.当时, 当时, 所以当时为 当时为3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性例11设在上连续,且0, 又.证明:在内有且仅有一个实根.证明 因为 ,而 ,所以 .故在内单调增加,所以在内至多有一个实根.又 , ,且在上连续,故根据的存在定理,在内至少有一个实根.综上所述, 在内有一个且仅有一个实根.4.结束语综上所述，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，为解决实际问题提供了更多的方法,优化了解题途径,同时也存在着局限性,对适应范围存在着各种条件,这还有待于进一步研究.致谢语感谢陈立老师在论文过程中对我的悉心指导, 也感谢曾帮助我的同学们!参考文献1同济大学应用数学系.高等数学(第5 版)M.北京:高等教育出版社,1999.2 高智民.原函数存在定理在不等式证明题中的应用M.湖南师范大学学报,1997,16(2):14-15.3华东师大数学系.数学分析(第2 版)M.北京:高等教育出版社,1999.4徐虎.积分上限函数的应用研究,内肛科技M.中南大学学报,1997,17(2):15-16