2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习学案苏教版.docx

第2章 圆锥曲线与方程章末复习学习目标1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)y22px或y22px或x22py或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线yx或yx无限延展，没有渐近线变量范围|x|a，|y|b或|y|a，|x|b|x|a或|y|ax0或x0或y0或y0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e，且0e1e1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0且mn).(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.3.离心率(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.4.焦点三角形(1)椭圆的焦点三角形设P为椭圆1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且F1PF2，则PF1F2为焦点三角形(如图).焦点三角形的面积为Sb2tan.焦点三角形的周长为L2a2c.(2)双曲线的焦点三角形焦点三角形的面积为S.5.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，主要是直线与椭圆的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求定值、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，利用“设而不求法”以及“点差法”等.1.椭圆x24y21的离心率为.()2.抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()3.若椭圆x2my21的离心率为，则它的长半轴长为2.()4.双曲线1(2t1)和双曲线y21(n0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则F1PF2的形状是_.考点圆锥曲线的定义题点圆锥曲线定义的运用答案直角三角形解析设P为双曲线右支上的一点.对椭圆y21(m1)，c2m1，PF1PF22；对双曲线y21，c2n1，PF1PF22.PF1，PF2，F1F(2c)22(mn).而PFPF2(mn)(2c)2F1F，F1PF2是直角三角形.类型二圆锥曲线的性质及其应用例2(1)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线的斜率为_.(2)已知抛物线y24x的准线与双曲线y21交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率为_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线的离心率问题答案(1)(2)解析(1)ab0，椭圆C1的方程为1，C1的离心率为.双曲线C2的方程为1，C2的离心率为.C1与C2的离心率之积为，2，C2的渐近线的斜率为.(2)抛物线y24x的准线方程为x1.又FAB为直角三角形，则只有AFB90，如图，则A(1,2)在双曲线上，代入双曲线方程可得a2，于是c.故e.反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.跟踪训练2已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围为_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线的离心率问题答案解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式，解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.类型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆1(ab0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足MAMB，求直线l的斜率k的值.考点直线与椭圆题点利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题解(1)由题意知，PF1PF22a2，所以a.又因为e，所以c1，所以b2a2c2211，所以椭圆的标准方程为y21.(2)已知椭圆的右焦点为F2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为yk(x1)，两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).联立直线与椭圆的方程，得化简得(12k2)x24k2x2k220，8k280.所以x1x2，y1y2k(x1x2)2k.所以AB的中点坐标为.当k0时，AB的中垂线方程为y，因为MAMB，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程，得，即2k27k0，解得k或k；当k0时，AB的中垂线方程为x0，满足题意.所以斜率k的取值为0，或.反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.跟踪训练3如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n(，1)共线.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线ykxm与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.考点直线与椭圆题点利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题解(1)因为2c2，所以c1.又(a，b)，且n，所以ba，所以2b2b21，所以b21，a22.所以椭圆E的标准方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程ykxm代入椭圆方程y21，消去y，得(2k21)x24kmx2m220，所以x1x2，x1x2.16k28m280，即m22k21.(*)因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，所以0，即x1x2y1y20.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.由0，得m2k2.依题意且满足(*)得，m2b0)，M(x，y)为椭圆上的点，由，得a2b.PM2x22324b23(byb)，若b，故矛盾.若b，当y时，4b237，b21，a24，所求方程为y21.1.已知F1，F2是椭圆1的左、右焦点，弦AB过F1，若ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为_.考点圆锥曲线的定义题点圆锥曲线定义的运用答案解析因为ABF2的周长为4a，所以a2，得k2，所以e.2.设椭圆1 (mn0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线几何性质的运用答案1解析y28x的焦点为(2,0)，1的右焦点为(2,0)，c2.又e，m4.c2m2n24，n212.椭圆方程为1.3.以抛物线y24x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线几何性质的运用答案x21解析易得抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以双曲线的一个顶点坐标为(1,0).设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则a1.又离心率e2，所以c2，从而b2c2a23.所以所求双曲线的标准方程为x21.4.若抛物线y22x上的两点A，B到焦点的距离的和是5，则线段AB的中点P到y轴的距离是_.考点圆锥曲线的定义题点圆锥曲线定义的运用答案2解析设l是抛物线的准线，F为抛物线的焦点，A，B，P在l上的投影分别为A1，B1，P1.则由抛物线的定义可知，AA1BB1AFBF5，所以PP1(AA1BB1)，所以点P到y轴的距离为d2.5.过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_.考点直线与椭圆题点利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3).即3x4y130.在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题.一、填空题1.设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若BF2F1F22，则该椭圆的方程为_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线几何性质的运用答案1解析BF2F1F22，a2c2，a2，c1，b，椭圆的方程为1.2.已知双曲线y21(a0)的右焦点与抛物线y28x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是_.考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案yx解析y28x的焦点是(2,0)，双曲线y21的半焦距c2，又虚半轴长b1且a0，a，双曲线的渐近线方程是yx.3.若曲线1的一条准线方程为x10，则m的值为_.考点圆锥曲线的准线题点准线方程的运用答案6或86解析此曲线为焦点在x轴上的椭圆，a2m4，c.而一条准线方程为x10，10，解得m6或86.4.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线的离心率问题答案解析不妨设椭圆方程为1(ab0)，则有即得e.5.设P是椭圆1上的任意一点，又点Q的坐标为(0，4)，则PQ的最大值为_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线中的最值问题答案8解析设P的坐标为(x，y)，则PQ2x2(y4)225(y4)22(4y4)，当y4时，PQ2最大，此时PQ最大，且PQ的最大值为8.6.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线的离心率问题答案解析不妨设双曲线方程为1(a0，b0)，则可令F(c,0)，B(0，b).直线FB：bxcybc0与渐近线yx垂直，所以1，即b2ac，所以c2a2ac，即e2e10，所以e或e(舍去).7.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上一点P(1，m)到焦点的距离为5，则m的值为_.考点圆锥曲线的定义题点圆锥曲线定义的运用答案4解析由抛物线的定义知，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以15，p8，故抛物线的方程为y216x.将点P(1，m)代入方程，得m4.8.设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF13，则PF2_.考点圆锥曲线的定义题点圆锥曲线定义的运用答案7解析双曲线的一条渐近线方程为yx，即，又b29，a2.由双曲线定义知，|PF1PF2|2a4，PF27.9.点P在椭圆x21上，点Q在直线yx4上，若PQ的最小值为，则m_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线中的最值问题答案3解析根据题意，与直线yx4平行且距离为的直线方程为yx2或yx6(舍去)，联立消去y，得(m1)x24x4m0，令164(m1)(4m)0，解得m0或m3，m0，m3.10.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：yexa与x轴，y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设e，则该椭圆的离心率e_.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线的离心率问题答案解析因为点A，B分别是直线l：yexa与x轴，y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，(0，a).设点M的坐标是(x0，y0)，由e，得(*)因为点M在椭圆上，所以1，将(*)式代入，得1，整理得e2e10，解得e或e(舍去).二、解答题11.在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB8，BC6，其中A(4,0)，B(4,0).(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求双曲线的方程.考点圆锥曲线的几何性质题点圆锥曲线几何性质的运用解(1)A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，根据椭圆的定义知，CACB162a，a8.在椭圆中，b2a2c2641648，椭圆方程为1.(2)A，B是双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，根据双曲线的定义知，CACB42a，a2.在双曲线中，b2c2a216412，双曲线方程为1.12.已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点N(，1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足0.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上一点，且F1PF2，求F1PF2的面积.考点圆锥曲线的定义题点圆锥曲线定义的运用，焦点三角形解(1)由已知，点N(，1)在椭圆上，有1，又0，M在y轴上，M为NF2的中点，c0，c.a2b22，由解得b22(b21舍去)，a24，故所求椭圆C的方程为1.(2)设PF1m，PF2n，则SF1PF2mnsinmn.由椭圆的定义知PF1PF22a，即mn4.又由余弦定理得PFPF2PF1PF2cosF1F，即m2n2mn(2)2.由2，得mn，SF1PF2.13.已知椭圆E：1(ab0)的一个顶点坐标为A(0，)，离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E相切于点P，且与直线x4相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆过定点N(1，0).考点直线与椭圆题点利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题(1)解由已知可得a24，所求椭圆方程为1.(2)证明联立方程1与ykxm，消元得(34k2)x28kmx4m2120.曲线E与直线只有一个公共点，0，化简可得m24k23，故m0.设P(xP，yP)，故xP，yPk