四川省宜宾市高三数学上学期第十七周空间几何体的结构三视图和直观图教学设计.docx

空间几何体的结构、三视图和直观图考点梳理1棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相_，其余各面都是_，并且每相邻两个四边形的公共边都互相_，由这些面所围成的多面体叫做棱柱注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(2)棱锥：有一个面是_，其余各面都是有一个公共顶点的_，由这些面所围成的多面体叫做棱锥注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是_；两个底面与平行于底面的截面是_的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是_；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是_(2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的_；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个_；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个_；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个_；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个_(3)正棱台的性质侧面是全等的_；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个_；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个_；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个_3圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以_的一边、_的一直角边、_中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是_、_、_；平行于底面的截面都是_4球(1)球面与球的概念以半圆的_所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的_(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线_截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为_5平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做_平行投影的投影线互相_6空间几何体的三视图、直观图(1)三视图空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的三视图包括_、_、_三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使xOz_且yOz_画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy_，xOz_xOy所确定的平面表示水平面已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成_x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的_画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图自查自纠1(1)平行四边形平行(2)多边形三角形2(1)平行四边形全等平行四边形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形(3)等腰梯形直角梯形直角梯形直角梯形3(1)矩形直角三角形直角梯形(2)矩形等腰三角形等腰梯形圆4(1)直径球心(2)垂直于d5平行投影平行6(1)正(主)视图侧(左)视图俯视图(2)909045(或135)90平行于一半基础自测 以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆故选A. (2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63 C42 D36解法一：由三视图知，该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V321032663.解法二：该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以其体积V32763.故选B. (2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12 C14 D16解：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长、直三棱柱的高、三棱锥的高均为2，易知该多面体有2个面是梯形，这2个梯形的面积之和为212，故选B. (2017北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_解：由三视图还原为如图所示的四棱锥ABCC1B1，易得，最长的棱为AC1，且AC12.故填2. (2017山东)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解：由三视图可知V12121212.故填2.类型一空间几何体的结构特征给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中所有错误命题的序号是()A B. C D. 解：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故错误故选D.【点拨】解决该类题目需要准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可下面是关于四棱柱的四个命题：若有一个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是_解：显然错；正确，因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；错，可以是斜四棱柱；正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形故填.类型二空间几何体的三视图已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()解：三视图中正侧高平齐，排除A，俯侧宽相等，排除C，D.故选B.【点拨】根据几何体的直观图画三视图，要根据三视图的画法规则进行要严格按以下几点执行：三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等注意实虚线的区别 如图，几何体的正视图与侧视图都正确的是()解：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示故选B.类型三空间多面体的直观图已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图(单位：cm)解：由三视图可知该几何体是底面边长为2 cm，高为3 cm的正六棱锥，其直观图如图所示，画法如下：(1)画轴：画底面中心O，画x轴，y轴和z轴，使xOy45，xOz90.(2)画底面：在水平面xOy内画边长为2 cm正六边形的直观图(3)画高线：在Oz上取点P，使OP3 cm.(4)成图：连接PA，PB，PC，PD，PE，PF，去掉辅助线，并将遮住部分改为虚线，就得到如图所示的直观图【点拨】根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90，确定几何体在x轴、y轴、z轴方向上的长度，最后连线画出直观图平行于x轴和z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半，且平行于轴的线段平行关系不变原图形面积S与其直观图面积S之间的关系为SS.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为()A. B6 C. D2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即2，则原图底面积为S2.因此该四棱锥的体积为VSh232.故选D.类型四空间旋转体的直观图 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长解：(1)O1A12，OA5，所以圆台的高h3 cm.(2)由，得SA20 cm.【点拨】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解一个直角梯形上底、下底和高之比为24，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x，4x，x，它们分别为圆台的上、下底半径和高如图示，过点B作BCOA于C，则RtABC中，ACOAOCOAOB4x2x2x，BCOOx，所以AB3x.所以S上S下S侧(2x)2(4x)2(2x4x)3x289.点拨1在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系2建议对下列一些具有典型意义的重要空间图形的数量关系予以推证并适当记忆(1)正多面体正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成棱长为a的正四面体中：a斜高为a；b高为a；c对棱中点连线长为a；d外接球的半径为a，内切球的半径为a；e正四面体的表面积为a2，体积为a3.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一个棱长为a的正四面体A1BDC1，其体积为正方体体积的.正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)(2)长方体的外接球长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2R.棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2R.3三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等4一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变5 对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S之间联系：SS，并能进行相关的计算课时作业1一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是()线段；直线；圆；梯形；长方体A B C D解：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点故选D.2下列命题：若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D3解：假命题，也可以是球；假命题，也可以是横放的圆柱；是真命题；是假命题，也可以是棱台故选B.3四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面，则该物体的三视图正确的为()解：正视图、侧视图、俯视图分别从几何体的正面、左边和上面正投影即可知B正确故选B.4某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()解：D选项的正视图应为如图所示的图形故选D.5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中面积最大的是()A8 B6 C10 D8解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，6，8，10，所以面积最大的是10.故选C.6如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A8 cm B6 cmC2(1) cm D2(1) cm解：根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OBOA，OB2，OA1，所以AB3.从而原图的周长为8.故选A.7一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱解：三棱锥、四棱锥和圆锥显然合要求，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形故填.8有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H相对的字母是_解：正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图，都可看到有公共顶点的三个面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图知这四个面分别标有字母H，E，O，d，翻转图，使S面调整到正前面，则O为正下面，所以与H相对的是O.故填O.9如图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图解：图中几何体的三视图如图所示：10用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长解：设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r.根据相似三角形的性质得，解得 l9.所以，圆台的母线长为9cm.11在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA的长度解：(1)该四棱锥的俯视图为边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)在正方形ABCD中，易得AC6cm，因为PC面ABCD，所以PCAC.在RtACP中，PA6cm. 某长方体的一条体对角线长为，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条体对角线的投影长分别为a和b，求ab的最大值解：如图，则有AC1，DC1，BC1a，ACb，设ABx，ADy，AA1z，有x2y2z27，x2z26，所以y21.因为a2y2z2z21，b2x2y2x21，所以a，b.所以ab4，当且仅当z21x21，即xz时，ab的最大值为4.82空间几何体的表面积与体积考点梳理1柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S直棱柱侧_，S正棱锥侧_，S正棱台侧_(其中C，C为底面周长，h为高，h为斜高)(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S圆柱侧_，S圆锥侧_，S圆台侧_(其中r，r为底面半径，l为母线长)(3)柱或台的表面积等于_与_的和，锥体的表面积等于_与_的和2柱体、锥体、台体的体积(1)棱柱、棱锥、棱台的体积V棱柱_，V棱锥_，V棱台_(其中S，S为底面积，h为高)(2)圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱_，V圆锥_，V圆台_(其中r，r为底面圆的半径，h为高)3球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积S球_(2)半径为R的球的体积V球_.自查自纠1(1)ChChh(2)2rlrl(rr)l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2(1)ShShh(2)r2hr2hh3(1)4R2(2)R3基础自测 已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为()A. B. C. D.解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为，因此其体积是12.故选C. (2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为()A. B3 C9 D27解：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R3，R，所以这个球的体积为R3.故选A. (2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18 C20 D28解：由三视图知，该几何体是个球，设球的半径为R，则VR3，解得R2，所以它的表面积是4222217.故选A. (2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_解：长方体的体对角线长为，记长方体的外接球的半径为R，则有2R，R，因此球O的表面积等于4R214.故填14. (2017江苏)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r、高为2r，所以.故填.类型一空间多面体的面积问题(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81解：由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3，该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3和3，故面积都为9，则该几何体的表面积为2(9189)5418.故选B.【点拨】求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系，进行求解若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于_解：由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱则此三棱柱的侧面积为2136，上、下底面面积都为22，所以此三棱柱的表面积为62.故填62.类型二空间旋转体的面积问题几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解：先根据三视图还原该几何体的形状，如图所示，则该几何体的表面积为圆锥的侧面积S1、圆台的侧面积S2以及底面积S3的和因为S12236，S23，S3，所以SS1S2S36.故填.【点拨】先通过三视图分析几何体的构成，再找计算面积所必备的量，如高、半径等(2015陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4 C24 D34解：该几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，其表面积为122221234.故选D.类型三空间多面体的体积问题如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B. C. D.解：如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连接DM，CN，可证得DMEF，CNEF，则多面体ABCDEF分为三部分，即多面体的体积VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC.依题意知AEFB为等腰梯形易知RtDMERtCNF，所以EMNF.又BF1，所以BN.作NH垂直于BC，则H为BC的中点，所以NH.所以SBNCBCNH.所以VFBNCSBNCNF，VEAMDVFBNC，VAMDBNCSBNCMN.所以VABCDEF，故选A.【点拨】求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面，它的两个顶点是下底面两边的中点，棱台被分成两部分的体积分别为V1，V2(V1V2)，则V1V2_.解：设棱台上底面ABC的面积为S，棱台的高为h.由题意可知：ABCDBE.因为DBEABC，D，E分别是AB，BC的中点，所以.所以SABC4S.所以V台ABCABCh(S4S)h7ShS.又因为V柱DBEABCSh，所以V1V234.故填34.类型四空间旋转体的体积问题已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为r，R，求圆台的体积解：如图，图是该几何体的直观图，图是该几何体的轴截面平面图圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，根据切线长定理，ACAO1，BOBC，得梯形腰长为Rr，梯形的高即球的直径长为OO12，所以，球的半径为，圆台的体积V2(r2rRR2)(r2rRR2)【点拨】圆台和球的组合体，需要将球的外切圆台用直观图和轴截面图表示出来，借助于圆外接四边形的性质，特别是外接四边形是等腰梯形时，还要运用平面几何知识将内切球的半径求出来(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.解：设圆柱的底面半径为r，则r212，所以，圆柱的体积V1，故选B.点拨1几何体的展开与折叠(1)几何体的表面积，除球以外，一般都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法(2)多面体的展开图直棱柱的侧面展开图是矩形；正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形(3)旋转体的展开图圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长注：圆锥和圆台的侧面积公式S圆锥侧cl和S圆台侧(cc)l与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆2空间几何体的表面积的计算方法有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法(1)计算棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积，可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理3空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面，特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面)等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题课时作业1某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A B2 C3 D4解：由三视图可知，该几何体为半径为r1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以Sr24r2124123.故选C.2已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是()A1 cm3 B2 cm3 C3 cm3 D6 cm3解：由图可知三棱锥底面积S121(cm2)，三棱锥的高h3 cm，根据三棱锥体积公式，VSh131(cm3)故选A.3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D18解：由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB6，CD3，PC3，CD垂直平分AB，且PC平面ACB，故所求几何体的体积为39.故选B.4如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A6 B12 C18 D24解：由三视图知，该几何体为一母线长等于4，上、下底底面半径分别为1和2的圆台所以S侧4(12)12.故选B.5如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解：由球的性质得，球在正方体上口所截的圆的直径为8，球心到截面圆的距离为R2，则R2(R2)242，解得R5，所以球的体积V球R3(cm3)故选A.6(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D256解：如图所示，当OC面OAB时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，则VOABCVCAOBR2RR336，得R6，所以球O的表面积S4R2144.故选C.7正四棱台的侧棱长为3 cm，两底面边