四川省宜宾市高三数学上学期第十九周空间向量及其加减数乘和数量积运算教学设计.docx

空间向量及其加减、数乘和数量积运算考点梳理1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间，我们把具有_和_的量叫做空间向量(2)零向量：规定_的向量叫做零向量(3)单位向量：_的向量称为单位向量(4)相反向量：与向量a_的向量，称为a的相反向量，记为a.(5)相等向量：_的向量称为相等向量(6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律：ab_；(ab)c_2空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘当_0时，a与向量a方向相同；当_0时，a与向量a方向相反a的长度是向量a的长度的_倍(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：(ab)_结合律：(a)_(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫做共线向量或平行向量(4)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b，ab的充要条件是_(5)空间直线l的方向向量：和直线l_的非零向量a叫做直线l的方向向量(6)空间直线的向量表示：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是_，特别地，如果a，则上式可以化为t，或_，这也是空间三点A，B，P共线的充要条件(7)共面向量：_的向量叫做共面向量(8)空间共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是_推论：对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式_，其中_，则点P与点A，B，C共面3空间向量的数量积运算(1)空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则_叫做a，b的数量积，记作ab，通常规定，0a，b.对于两个非零向量a，b，ab_(2)空间零向量与任何向量的数量积为_(3)aacosa，a_(4)空间向量的数量积满足如下的运算律：b_；ab_(交换律)；a_(分配律)自查自纠1(1)大小方向(2)长度为0(3)模为1(4)长度相等而方向相反(5)方向相同且模相等(6)baa(bc)2(1)(2)aba(3)互相平行或重合(4)存在实数，使ab(5)平行(6)存在实数t，使tat(7)平行于同一个平面(8)存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxaybxyzxyz13(1)cosa，bab0(2)0(3)2(4)baabac基础自测 在长方体ABCDA1B1C1D1中，()A. B.C. D.解：，故选D. 平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若a，b，c，则下列式子中与相等的是()Aabc BabcCabc Dabc解：cc(ba)abc，故选C. 如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()A0 B.C. D.解：设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，所以cos，0.故选A. 已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量_.解：如图所示，()()()(2)()(bca)故填(bca) (2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面CC1D1D的中心是F，若mn，则m_，n_.解：因为()()，所以mn.故填；.类型一空间向量的运算(2017枣阳市鹿头中学月考)如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解：(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.【点拨】把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变，在解题过程中，要明确目标，把所求向量向三个基底向量转化，并注意向量拆分和重组的技巧若表示的向量涉及线段的中点，可利用平行四边形法则来表示此向量，也可利用包含要表示的向量的封闭图形，根据封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子；求空间若干向量之和时，可通过平移，将它们转化为首尾相接的向量如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点(1)用基底a，b，c表示下列向量：，；(2)在图中画出化简后的向量解：(1)abc，abc，a(bc)abc.(2)().连接DA1，则即为所求类型二空间向量共线与共面问题(1)如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心试证A1，G，C三点共线；试证A1C平面BC1D；求点C到平面BC1D的距离解：证明：由于正方体ABCDA1B1C1D1是平行六面体，所以.又因为点G为BC1D的重心，所以.故，即A1，G，C三点共线证明：设b， c，d，则，且bcbdcd0.因为bcd，db，所以(bcd)(db)a2a20.所以，即CA1BC1.同理可证CA1BD.又BC1BDB，所以CA1面BC1D.由上面的证明知点C到平面BC1D的距离为CG.因为bcd，所以a.所以a.(2)正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点求证：向量，是共面向量证明：因为()，所以向量，是共面向量【点拨】(1)利用平行向量的充要条件可解决三点共线和线线平行等问题，要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程通过向量的数量积运算，可证明垂直问题，亦可计算直线与平面所成角、异面直线所成角以及距离等问题(2)要证向量，是共面向量，只需证得，解题的关键是寻找有序实数对(，)满足上述关系式(1)(2017沈阳市外国语学校月考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，是()A有相同起点的向量 B等长的向量C共面向量 D不共面向量解：因为，所以，共面故选C.(2)(2017大连市旅顺中学月考)设空间四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()A点P一定在直线AB上B点P一定不在直线AB上C点P不一定在直线AB上D以上都不对解：由题意知mn1，则m1n.所以(1n)n，即n()所以n，即.又因为与有公共点A，所以A，B，P三点共线，即点P在直线AB上故选A.类型三利用数量积求长度问题(2017保康县第一中学月考)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，求EF的长解：|2()22222()1222122(12cos120021cos120)2，所以|，所以EF的长为.【点拨】要求一个向量的模，就需要把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方等于向量的模的平方可求出模的平方，进一步求出模这里要注意向量和向量的夹角对数量积的影响如图所示，已知在一个60的二面角的棱上，有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB4cm，AC6cm，BD8cm，求CD的长解：因为，所以2()2()222()222222163664268cos6068.所以2cm.类型四异面直线所成角问题(2017辽中县第二高级中学月考)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值解：设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，(a)a2ac，(2)abacbabc，|2a2b2c2abbcca，则|.(3)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.【点拨】要求异面直线AG与CE所成角的余弦值，可利用向量的数量积，求出及|和|的值，再套用公式cos，求得与所成角的余弦值，但上述结果并不一定是异面直线所成的角，由于异面直线所成角的取值范围为，所以，若求得的余弦值为负值，则取其绝对值(2017沈阳市雨田实验中学月考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为CC1的中点，求异面直线AB1，BE所成角的余弦值解：()()000.依题意易知|，|，所以cos，.点拨1空间向量的线性运算用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，可从以下角度入手：(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来(2)把被表示向量用其他向量线性表示，进而寻找这些向量与基向量的关系(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘(4)注意应用以下结论A为BC的中点，O为空间任一点，则；A，B，C三点共线，O为空间任一点，则t(tR)2共线向量定理、共面向量定理的应用应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：；对空间任一点O，存在实数t，使t；对空间任一点O，t或xy，这里xy1.(2)证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：xy；对空间任一点O，xy；对空间任一点O，xyz，其中xyz1；.注：在中，若xyz，则点P即为MAB的重心设M，A，B，P，若P为MAB的重心，则此即为三角形重心坐标公式3利用向量解决立体几何问题的一般方法(1)利用向量解决立体几何问题的一般方法是：把线段或者角度转化为向量表示，用已知向量(基底或者是建立空间直角坐标系)表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决平行、垂直、夹角、距离等问题；(2)通常选取两两垂直的向量作为基底，其余的向量都利用这些基底向量来表示，为进一步利用向量进行计算做铺垫；(3)求两个向量的夹角一般是利用夹角公式cosa，b；证明两个非零向量垂直可利用ab0.课时作业1在空间四边形ABCD中，a，b，c，则等于()Aabc BcabCabc Dbac解：如图所示，()bcacab.故选B.2边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，()()A1 B0 C. D.解：()0.故选B.3已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG2GN，则用向量，表示向量正确的是()A.B.C.D.解：().故选C.4(2015西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2 C.a2 D.a2解：()()(a2cos60a2cos60)a2.故选C.5(2015晋江一模)设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A. B. C. D.解：如图所示，取BC的中点E，连接AE.1()()()()故选A.6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.解：因为()，所以()(24)3.而，所以cos，.故选B.7(2017十堰市竹山县第一中学月考)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且t，若P，A，B，C四点共面，则实数t_.解：因为P，A，B，C四点共面，所以t1，所以t.故填.8(2017竹溪县第二高级中学月考)如图，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于_(用a，b，c表示)解：因为()(bc)aabc.故填abc.9三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.解：().10如图，在空间四边形OABC中，若OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值解：因为，所以()|cos，|cos，84cos13586cos1202416.所以cos，故与夹角的余弦值为，即直线OA与BC所成角的余弦值为.11如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值解：(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以abbcca.|1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，所以|1|，即AC1的长为.(2)1bca，ab，所以|1| ，|，1(bca)(ab)b2a2acbc1.所以cos1，.所以BD1与AC夹角的余弦值为. 如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC，BAA1，CAA1，ABAC1，AA12，点O是B1C与BC1的交点(1)用向量，表示向量；(2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值；(3)判定平面ABC与平面B1BCC1的位置关系解：(1)()()()(2)设a，b，c.(a2b2c22ab2bc2ac).所以.又因为ba，所以(abc)(ba)1，.所以cos，.所以异面直线AO与BC所成的角的余弦值为.(3)取BC的中点E，连接AE，则()(ab)因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC.又(ab)c0，所以AEBB1.因为BCBB1B，所以AE平面B1BCC1.又AE平面ABC，所以平面ABC平面B1BCC1.87空间向量的坐标表示、运算及应用考点梳理1空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组_，使得_其中，a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c都叫做_2空间直角坐标系(1)如果空间的一个基底的三个基向量_，且长都为_，则这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k来表示(其中|i|j|k|1)(2)在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：_，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫做原点，向量i，j，k都叫做坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面(3)建系时，一般使xOy135(或45)，yOz90，建立_手直角坐标系(4)在空间直角坐标系中有一点A，若xiyjzk，则有序实数组_叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作_其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的_3空间向量的直角坐标运算设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，a，b是非零向量，则(1)向量加法：ab_(2)向量减法：ab_(3)数乘：a_(4)数量积：ab_(5)平行：ab(b0)_x1x2，_，_(6)垂直：ab_(7)向量a的模_(8)向量a与b夹角公式：cosa，b_(9)点坐标和向量坐标：若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则_，线段AB的长度dAB_4直线的方向向量(1)与直线l_的非零向量a叫做直线l的方向向量(2)空间中任意一条直线l，可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定设点P是l上的任意一点，则l有向量表示形式_，其中t为实数，这种形式叫做直线的点向式注意同一条直线的点向式表示不唯一5平面的法向量和法向量的求法(1)平面的法向量已知平面，直线l，取直线l的方向向量a，则_叫做平面的法向量(2)平面的法向量的求法设出平面的法向量为n(x，y，z)；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组；解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有_个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量6利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角 设直线l，m的方向向量为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则(1)线线平行：lm_(2)线线垂直：lm_(3)线面平行：l_(4)线面垂直，方法一：l_；方法二：若e1，e2为平面的一组基底，则lae1ae20.(5)面面平行：_(6)面面垂直：_(7)线线夹角：l，m的夹角为，cos(8)线面夹角：l，的夹角为，sin(9)面面夹角：，的夹角为，cos注意：(1)这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合；(2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即0，而二面角的大小是指两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为_，若设u，v的夹角为，当u，v均指向二面角内部或外部时(如图1)，二面角的大小为，coscos()cos；当u，v一个指向二面角内，另一个指向二面角外时(如图2)，二面角的大小为，coscos.7距离(1)点到直线的距离设过点P的直线l的方向向量为单位向量n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d_(如图3)图3图4(2)点到平面的距离设P为平面内的一点，n为平面的法向量，A为平面外一点，点A到平面的距离d (如图4)(3)线面距离、面面距离都可以转化为_自查自纠1.pxaybzc基底基向量2(1)两两垂直1(2)x轴，y轴，z轴(3)右(4)(x，y，z)A(x，y，z)竖坐标3(1)(x1x2，y1y2，z1z2)(2)(x1x2，y1y2，z1z2)(3)(x1，y1，z1)(4)x1x2y1y2z1z2(5)aby1y2z1z2(6)ab0x1x2y1y2z1z20(7)(8)(9)(x2x1，y2y1，z2z1)4(1)平行且非零(2)ta5(1)向量a(2)无数6(1)abakb，kR(2)abab0(3)auau0(4)auaku，kR(5)uvukv，kR(6)uvuv0(7)(8)(9)07(1)(2)(3)点到面的距离 (2017枣阳市第一中学月考)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不对解：因为n1n2，且n1n22(3)315(4)230，所以，不平行，也不垂直故选C. (2017秭归县第一高级中学月考)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1，1，1) B(1，1，1)C. D.解：设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则 化简得 所以xyz.故选C. (2017宜昌市第二中学月考)已知a(2，1，3)，b(1，2，3)，c(7，6，)，若a，b，c三向量共面，则()A9 B9 C3 D3解：由题意知cxayb，即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)，所以 解得9.故选B. (2015哈尔滨质检)已知空间中三点A(1，0，0)，B(2，1，1)，C(0，1，2)，则点C到直线AB的距离为_解：(1，1，1)，(1，1，2)，cos，所以sin，所以点C到直线AB的距离d|sin，.故填. (2017大连市金州区高级中学月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_解：以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则(0，1，1)，(2，0，2)，所以2，所以cos，所以EF和BC1所成的角为60.故填60.类型一空间向量坐标的基本运算已知a(1，5，1)，b(2，3，5)(1)若(kab)(a3b)，求实数k的值；(2)若(kab)(a3b)，求实数k的值解：kab(k2，5k3，k5)，a3b(7，4，16)(1)因为(kab)(a3b)，所以，解得k.(2)因为(kab)(a3b)，所以(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0，解得k.【点拨】利用向量平行的性质：ab(b0)abx1x2，y1y2，z1z2可求解第(1)问的k值；利用向量垂直的性质：abab0x1x2y1y2z1z20建立方程可求第(2)问的k值已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3且c，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求k的值解：(1)因为(2，1，2)，c，所以cmm(2，1，2)(2m，m，2m)(mR)所以|c|3|m|3，m1.所以c(2，1，2)或c(2，1，2)(2)因为a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以ab(1，1，0)(1，0，2)1.又|a|，|b|，所以cosa，b.故a和b的夹角的余弦值为.(3)由(2)知|a|，|b|，ab1.所以(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，解得k2或k.类型二空间两直线的平行与垂直设a，b是不相交的两条直线l1，l2的方向向量，试判断下列各条件下两条直线l1，l2的位置关系：(1)a，b；(2)a，b；(3)a，b.解：(1)由a22b，得ab，又两条直线l1，l2没有交点，所以l1l2.(2)由于ab510320，所以ab，从而l1l2.(3)由a，b可知，不存在任何实数，使ab，且ab0，则这两条直线l1，l2不相交、不平行也不垂直，故两条直线l1，l2是不垂直的异面直线【点拨】先考查两个方向向量是否平行或者垂直，将空间几何问题代数化，用直线的方向向量之间的计算代替传统的空间几何推理，这是空间向量的最基本的作用，使用得当非常简便(2017十堰市第五中学月考)在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，1，6)，C(x，4，3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_解：由题意知0，|，又(6，2，3)，(x4，3，6)，所以 解得x2.故填2.类型三直线和平面的平行与垂直(2017十堰市第一中学月考)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.证明：因为二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1平面BAC.又因为ABAC，BCAB，所以CAB90，即CAAB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)(1)(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则 即 即取y1，则n(0，1，0)所以2n，即n.所以A1B1平面AA1C.(2)易知(0，2，2)，(1，1，0)，(2，0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则 即令x11，则y11，z11，即m(1，1，1)所以m012(1)210，所以m.又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C.【点拨】用向量证明直线与平面平行，可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，当然，直线要在平面外用向量证明直线和平面垂直，可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直，也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行(2015安徽淮南二模)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF2.(1)求证：B1F平面ADF；(2)若，求证：PF平面ADB1.证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC，取B1C1的中点D1，则DD1平面ABC，分别以CB，AD，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为ABACAA13，BC2，所以A(0，2，0)，B(1，0，0)，C(1，0，0)，A1(0，2，3)，B1(1，0，3)，C1(1，0，3)，因为CF2，所以F(1，0，2)(1)(2，0，1)，(0，2，0)，(1，0，2)，因为0，0，所以B1F平面ADF.(2)因为(1，2，0)，所以P，所以.设平面ADB1的法向量为n(x0，y0，z0)，则有取z01，则n(3，0，1)因为n0，PF平面ADB1，所以PF平面ADB1.类型四平面和平面的平行与垂直(2015安阳模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，E，F分别为棱AD，PB的中点，且PDAD.求证：平面CEF平面PBC.证明：建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E，F，设平面CEF的一个法向量为n1(x，y，z)，则得取x1，则n1.同理求得平面PBC的一个法向量为n2.因为n1n2100，所以n1n2.所以平面CEF平面PBC.【点拨】利用空间向量证明面面垂直的基本方法：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点(1)求证：平面A1B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD.证明：以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)设BAa，则A(a，0，0)，G，A1(a，0，4)(1)因为(a，0，0)，(0，2，2)，(0，2，2)，所以0，0.所以，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，所以B1D面ABD.因为B1D面A1B1D，所以平面A1B1D平面ABD.(2)因为，(0，1，1)，(0，2，2)，所以0，0.所以B1DEG，B1DEF.因为EGEFE，所以B1D平面EGF.又由(1)知B1D平面ABD，所以平面EGF平面ABD.类型五空间距离(2017宜昌市夷陵中学月考)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.解：如图建立坐标系则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(2，0，2)，设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则 所以令z1，得n(1，1，1)所以D1到平面A1BD的距离d.故选D.【点拨】利用空间向量求距离的基本方法：(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为|.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.a B.a C.a D.a解：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，M，A1(a，0，a)所以(a，0，a)，.设n(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，则即取z1，则n.所以点A1到平面BDM的距离da.故选A.类型六空间角(1)(2015天津)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点()求证：MN平面ABCD；()求二面角D1ACB1的正弦值；()设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)因为M，N分别为B1C和D1D的中点，所以M，N(1，2，1)()证明：依题意，可得n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由此可得n0.又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.()(1，2，2)，(2，0，0)设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的一个法向量，则即 不妨设z11，可得n(0，1，1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的一个法向量，则由(0，1，2)，得不妨设z21，可得n2(0，2，1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角D1ACB1的正弦值为.()依题意，可设，其中0，1，则E(0，2)，从而(1，2，1)又n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，所以cos，n，解得2.又因为0，1，所以2.所以线段A1E的长为2.【点拨】(1)当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行(2)求二面角的正弦值，可分三步，第一步：求出两个平面的法向量；第二步：求出两个法向量夹角的余弦值；第三步：由二面角范围0，知正弦值为正，由余弦值可得正弦值(3)直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，则直线NE的方向向量与平面ABCD的法向量的夹角余弦值为，由此确定点E的位置(2)(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.()证明：平面ACD平面ABC；()过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值解：()证明：由题设可得ABDCBD，从而ADDC，又ACD是直角三角形，所以ADC90，取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO.又由于DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC.()由题意可知VDACEVBACE，即B，D到平面ACE的距离相等，即E为BD的中点，以O为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，设|AC|a，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A，D，B，E.易得：，设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2，则可取n1(，1，)，可取n2(0，1，)，设二面角DAEC为，易知为锐角，则cos.【点拨】(1)在空间直角坐标系中，因为两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角是相等或互补的，所以可以通过求出两方向向量的夹角(0，)来求两异面直线的夹角，但要注意与的区别与联系，这里cos|cos|.(2)因为二面角的大小与它们的法向量的夹角是相等或者互补的关系，所以可通过它们的法向量的夹角来求二面角的大小(1)(2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.()求证：EG平面ADF；()求二面角OEFC的正弦值；()设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解：依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0)()证明：(2，0，0)，(1，1，2)设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，则 即不妨设z11，可得n1(0，2，1)，又(0，1，2)，可得n10，又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.()易证(1，1，0)为平面OEF的一个法向量(1，1，0)，(1，1，2)设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则 即 不妨设x21，可得n2(1，1，1)因此有cos，n2，于是sin，n2.所以，二面角OEFC的正弦值为.()由AHHF，得AHAF.因为(1，1，2)，所以，进而有H，从而，因此cos，n2.所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.(2)(2017江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.()求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；()求二面角BA1DA的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0，0，0)，B(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，)，()(，1，)，(，1，)，则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.()平面A1DA的一个法向量为(，0，0)设m(x，y，z)为平面B