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第八章 重积分 第一节 二重积分的概念和性质 设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为 母线平行于 z 轴的柱面, 其 顶是曲面 z= f (x, y)0, 连 续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高. 0 y z x z = f (x,y) D 如图 一、引例 1. 1.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积V.V. 步骤如下： （1）分割（化整为零）： 先分割曲顶柱体的底，把 有界闭区域任意分割成n个 小闭区域 z = f (x,y) 0 y z x D （ 2）近似代替：由于 很小, z = f (x,y) 连续, 小曲顶柱体可近似看 作小平顶柱体. 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小 曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i) z = f (x,y) （4）取极限（无限趋近）： （3）求和（积零为整）：将n个小平顶柱体的体 积加起来，就得到整个曲顶柱体的体积近似值域 则曲顶柱体的体积为 求平面薄片的质量 （1）分割（化整为零）： 将薄片分割成n个小块， （2）近似代替：任取一小块，将其近似 看作均匀薄片，则其质量近似为 （3）求和（积零为整）： 则薄片总质量为 将所有小块质量近似值相加，便得到整个平面 薄片的近似值 （4）取极限（无限趋近）： 二、二重积分的定义 积分区域积分区域 积分和积分和 被积函数被积函数 积分变量积分变量 被积表达式被积表达式 面积元素面积元素 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值 在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D， 故二重积分可写为 D D 则面积元素为 性质当 为常数时， 性质 （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 性质对区域具有可加性 性质 若 为D的面积， 性质 若在D上 特殊地 则有 性质 性质 （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解 解 解 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） （和式的极限） 四、小结 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为
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