2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.3.2极大值与极小值学案苏教版.docx

3.3.2极大值与极小值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一函数极值的概念函数yf(x)的图象如图所示.思考1函数在xa处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？答案函数在xa处的函数值比它在xa附近的其他点的函数值都小.思考2f(a)为多少？在xa附近，函数的导数的符号有什么规律？答案f(a)0，在xa的左侧f(x)0.梳理(1)极小值函数yf(x)在xa处的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在xa的左侧f(x)0.f(a)叫做函数yf(x)的极小值.(2)极大值函数yf(x)在xb处的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极大值.如果在x0附近的左侧f(x)0，那么，f(x0)是极小值.1.函数的极小值一定小于它的极大值.()2.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值.()3.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数.()4.函数yx3x22x3存在极值.()类型一求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)3lnx.考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题解(1)函数f(x)2x33x212x1的定义域为R，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值21极小值6所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6.(2)函数f(x)3lnx的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值.反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x)；(2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根；(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图象也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.跟踪训练1求下列函数的极值：(1)f(x)x34x4；(2)f(x)x2ex；考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题解(1)f(x)x34x4，f(x)的定义域为R，f(x)x24(x2)(x2).令f(x)0，解得x12，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2).(2)函数的定义域为R，f(x)2xexx2exxex(2x)，令f(x)0，得x10，x22，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)0(0，)f(x)00f(x)4e20由上表可以看出，当x2时，函数有极大值为f(2)4e2.当x0时，函数有极小值为f(0)0.类型二已知函数极值求参数例2(1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.(2)若函数f(x)x3x2ax1有极值，则a的取值范围为_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案(1)29(2)(，1)解析(1)f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3).当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数.故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.(2)f(x)x22xa，由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根，44a0，解得a1.引申探究1.若例(2)中函数在x1处取到极大值，求a的值.解f(x)x22xa，由题意得f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值.2.若例(2)中函数f(x)有两个极值，均为正数，求a的取值范围.解由题意得方程x22xa0有两个不等的正根，设为x1，x2，则解得0a0)，故f(x)x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数取得极大值ln2.类型三函数极值的综合应用例3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点.g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16m或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，).当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)知，yf(x)图象的大致形状及走向如图所示.所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即当实数a的取值范围为(54，54)时，方程f(x)a有三个不同的实根.1.函数y3x39x5的极大值为_.考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题答案11解析y9x29.令y0，得x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极大值极小值从上表可以看出，当x1时，函数y有极大值3(1)39(1)511.2.若函数f(x)axlnx在x处取得极值，则实数a_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案解析f(x)a，令f0，即a0，解得a.3.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案(，3)(6，)解析f(x)3x22axa6，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a3.4.设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)在xx1和xx2处取得极值，且x1x21，则实数a的值为_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案9解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9.5.已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，若函数f(x)在x1处取得极值，则b_，c_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案13解析f(x)x22bxc，由f(x)在x1处取得极值，得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)，当3x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值.故b1，c3.1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.一、填空题1.已知函数f(x)ax3bx22，其导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是_.考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案2解析由f(x)的图象可知，当x0时，函数取得极小值，f(x)极小值2.2.当函数yx2x取极小值时，x_.考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题答案解析令y2xx2xln20，x.3.已知函数f(x)ax33x26axb在x2处取得极值9，则a2b_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案24解析f(x)3ax26x6a，f(x)在x2处取得极值9，即解得a2b24.4.若函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，则函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案5解析函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，f(x)(x2c)(x2)2x，f(2)0，c40，c4，f(x)(x24)(x2)2x，函数f(x)的图象在x1处的切线斜率为f(1)(14)(12)25.5.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数yf(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是_.考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案3解析函数在xx0处取得极值必须满足两个条件：x0为f(x)0的根；导数值在x0左右异号.所以，有3个极值点.6.已知aR，且函数yexax(xR)在(0，)上存在极值，则实数a的取值范围为_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案(，1)解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.7.如图所示是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则xx_.考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案解析函数f(x)x3bx2cxd的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得则b3，c2，f(x)3x22bxc3x26x2，且x1，x2是函数f(x)x3bx2cxd的两个极值点，即x1，x2是方程3x26x20的实根，故xx(x1x2)22x1x24.8.若函数f(x)x2x1在区间内有极值，则实数a的取值范围为_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案解析因为函数f(x)x2x1，所以f(x)x2ax1.若函数f(x)x2x1在区间内有极值，则f(x)x2ax1在区间内有零点.由x2ax10，得ax.因为x，所以2a.又因为当a2时，f(x)x22x1(x1)20，不符合题意，所以a2.即2a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案9解析f(x)12x22ax2b，且a0，b0，4a296b0，又x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，ab9，当且仅当ab时“”成立，ab的最大值为9.10.直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为_.考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案(2,2)解析f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.因为f(1)2，f(1)2，所以2a2.二、解答题11.函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.(1)求a，b，c的值；(2)求函数的单调递减区间.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数解(1)函数图象过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a).由f(x)0，得x0或x.由题意可知，当x时，函数取得极小值4.3a24，解得a3.a3，bc0.(2)由(1)知，f(x)x33x2，且f(x)3x(x2)，由f(x)0，得3x(x2)0，0x0时，解得x1，当f(x)0时，解得2x1，所以函数的单调增区间为(，2)，(1，)；单调减区间为(2，1).(2)令f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex(xa)(x2)ex0，所以xa或x2.当a2时，f(x)(x2)2ex0，无极值；当a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，f(x)极大值f(2)(42aa)e23，解得a43e22，所以存在实数a43e2，使f(x)的极大值为3.13.已知f(x)x3bx2cx2.(1)若f(x)在x1时有极值1，求b，c的值；(2)在(1)的条件下，若函数yf(x)的图象与函数yk的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围.考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解(1)f(x)3x22bxc，因为所以解得b1，c5.经验证，b1，c5符合题意.(2)由(1)知，f(x)x3x25x2，f(x)3x22x5.由f(x)0，得x1，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当x时，函数取得极大值且极大值为f，当x1时，函数取得极小值且极小值为f