2018_2019版高中数学第一讲三个正数的算术_几何平均不等式学案新人教A版.docx

第3课时三个正数的算术几何平均不等式学习目标1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题知识点三项均值不等式思考类比基本不等式：(a0，b0)，请写出a，b，cR时，三项的均值不等式答案.梳理(1)三个正数的算术几何平均不等式(定理3)如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立(3)重要变形及结论abc3；a3b3c33abc；.上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为abc.类型一用平均不等式求最值例1(1)求函数y(x1)2(32x)的最大值；(2)求函数yx(x1)的最小值解(1)1x，32x0，x10.又y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x)33，当且仅当x1x132x，即x时，ymax.(2)x1，x10，yx(x1)(x1)13 14，当且仅当(x1)(x1)，即x3时等号成立即ymin4.反思与感悟(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等跟踪训练1求函数y(13x)2x的最大值解y(13x)2x(13x)(13x)6x3，当且仅当13x13x6x，即x时，ymax.类型二用平均不等式证明不等式例2已知a，b，cR.求证：a3b3c32.证明a3b3c33abc2，当且仅当abc，且abc时等号成立a3b3c32.引申探究若本例条件不变，求证：3.证明3333633，当且仅当abc时取等号反思与感悟证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件若满足即可利用平均不等式证明(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子跟踪训练2已知x，y，z都是正数，且xyz1，求证：(1xy)(1xz)(1yz)27.证明1xy30,1xz30，1yz30，(1xy)(1xz)(1yz)27.又xyz1，(1xy)(1xz)(1yz)27，当且仅当xyz1时，等号成立类型三用平均不等式解决实际应用问题例3如图，将边长为1的正六边形铁皮(图)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图)当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积解设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0x1)，则OB1B1B2x.由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1A1A21，A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于点C1，在RtA1C1B1中，B1A1C160，则容器的高B1C1A1B1sin 60(1x)于是容器的容积为Vf(x)Sh(1x)x2(1x)(0x1)则f(x)x2(1x)xx(22x)3，当且仅当xx22x，即x时，Vmax.故当正六棱柱容器的底面边长为时，最大容积为.反思与感悟利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤(1)理解题意，设变量设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值(4)验证相等条件，得出结论跟踪训练3已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？解设内接圆柱的体积为V，又R2r2，r2R2，Vr2hh.又V(4R2h2)hR3，当且仅当4R2h22h2，即hR，此时rR时，等号成立当hR，rR时，内接圆柱的体积最大为R3.1函数f(x)2x(x0)的最小值为()A3B4C5D6答案A解析x0，f(x)xx33，当且仅当x，即x1时等号成立2设x0，则f(x)4x的最大值为()A4B4C不存在D.答案D解析x0，f(x)4x4434，当且仅当，即x1时，等号成立3已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是()Ayx22x36，故ymin6.By2x33，故ymin3.Cy2x4，故ymin4.Dyx(1x)(12x)3，故ymax.答案C解析A，B，D在使用不等式abc3(a，b，cR)和abc3(a，b，cR)时都不能保证等号成立，最值取不到C中，x0，y2x2224，当且仅当x，即x1时取等号4设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为()A2B3C4D6答案C解析ab24a43434134，当且仅当a1时，等号成立即ab2的最大值为4.5已知a，b为实数，且a0，b0，则的最小值为_答案9解析因为a0，b0，所以ab330，同理可得a230，由及不等式的性质，得339，当且仅当ab1时，等号成立1求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立2求形如yax2(x0，a0，b0)的函数的最小值，关键是拆为，则yax2ax23.求形如yax(x0，a0，bc0)的函数的最小值，关键是拆ax为，则yax3.一、选择题1函数yx2(15x)的最大值为()A.B.C.D.答案A解析yx2(15x)(15x)3，当且仅当x15x，即x时等号成立2若ab0，则a的最小值为()A0B1C2D3答案D解析ab0，a(ab)b33，当且仅当a2，b1时取等号，a的最小值为3.故选D.3设x，y，z0且xyz6，则lgxlgylgz的取值范围是()A(，lg6 B(，3lg2Clg6，) D3lg2，)答案B解析6xyz3，xyz8，lg xlg ylg zlg(xyz)lg 83lg 2 .4若实数x，y满足xy0，且x2y2，则xyx2的最小值是()A1B2C3D4答案C解析xyx2xyxyx233，当且仅当xyx2，即y2x时取等号5已知a，b，cR，x，y，z，则()AxyzByxzCyzxDzyx答案B解析由a，b，cR，易知，即xy.又z2，x2，且x2，x2z2，则xz，因此zxy.6已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()AVBVCVDV答案B解析设圆柱半径为r，则圆柱的高h，所以圆柱的体积为Vr2hr2r2(32r)3，当且仅当r32r，即r1时取等号二、填空题7若a，b，c(0，)，且abc1，则的最小值为_答案解析a，b，c(0，)，(ab)(bc)(ca)339，当且仅当abc时等号成立，故2(abc)9.又abc1，.8已知x，y，zR，且x3y4z6，则x2y3z的最大值为_答案1解析因为x，y，zR，且x3y4z6，所以6x3y4zyyy4z66，所以x2y3z1，当且仅当y4z时取等号9若a2，b3，则ab的最小值为_答案8解析a2，b3，a20，b30，则ab(a2)(b3)5358，当且仅当a2b3，即a3，b4时等号成立10已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_答案2解析2x(xa)(xa)2a，xa0，2x32a32a，当且仅当xa，即xa1时取等号2x的最小值为32a.由题意可得32a7，得a2.11已知a，b，cR，且满足a2b3c1，则的最小值为_答案9解析因为a，b，cR，且满足a2b3c1，所以(a2b3c)339，当且仅当a2b3c时取等号因此的最小值为9.三、解答题12已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立解因为a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式，得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc)，又3(abc)9(abc)26，当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立，即当且仅当abc时，原式等号成立，所以原不等式成立13已知x，y，zR，xyz3.(1)求的最小值；(2)证明：3x2y2z29.(1)解因为xyz30，0，所以(xyz)9，则3，当且仅当xyz1时，等号成立，故的最小值为3.(2)证明x2y2z23.当且仅当xyz1时，等号成立，又x2y2z29x2y2z2(xyz)22(xyyzzx)0，所以3x2y2z29.四、探究与拓展14制造一个容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为_米，高为_米时，所使用的材料成本最低答案解析设此圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面面积为r2，侧面积为2rh，设原料成本为y元，则y30r240rh.桶的容积为，r