胡海岩机械振动基础第三章课件.ppt

第3章 无限自由度系统的振动 1 2 多自由度 大自由度 无限自由度 3 实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称 为连续系统或分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运 动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由 度系统。 研究对象: 限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦 、 杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体。 4 3.1 弹性杆的纵向振动 圆轴的扭转振动 弦的横向振动 EI, l, M 杆的纵向振动 同类型的振动：圆轴的扭转振动 弦的横向振动 * 振动微分方程、解法、特性相同 * 5 弹性杆、轴和弦的振动微分方程形式相同， 可用相同的方法分析。具体的步骤是： （1）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组; （2）由边界条件得出固有振动; （3）利用固有振型的正交性将系统解耦; （4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动 。 6 3.1.1 振动微分方程 直杆的纵向振动微分方程 设有长度为 l 的直杆，取杆的轴线作为 x 轴。记杆在坐标 x 的 横截面积为A(x)、材料弹性模量为E(x)、密度为(x)，用u(x, t) 表示 坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移，f (x, t) 是单位长度杆上分布 的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。 7 杆的纵向应变和轴向力分别为 根据Newton 第二定律 8 对于均匀材料的等截面直杆， E(x) A(x)为常数 是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度 直杆纵向受迫振动微分方程 其中 9 杆的自由振动 分离变量法: 两端必同时等于一 常数。可以证明， 该常数不会为正数. （1）固有振动的形式 10 （2）固有振动的确定 描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布 杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束 条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。 11 a. 在固定端： ; b. 在自由端： 。 简单边界条件 例 ：试求 端固定, 端自由的等截面直杆 纵向固有振动。 解：写出边界条件 12 这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为 第r阶固有振型函数。像多自由度系统的固有振型一样，固有 振型函数的值具有相对性，即 可以是任意常数。不妨取式 中 ，则有 求出无穷多个固有频率: 由 杆的固有振动解: 13 上式在 时恰好对应自由杆零固有频率和刚体运动振型 。此时，杆的运动有别于 而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为 对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有 振型函数为 杆的运动为 14 三种边界条件下杆的前3阶固有振型 固有振型曲线与坐标轴的交点为节点，系统固有振动幅值 在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第 r 阶固有振型 有 r-1 个节点。 15 复杂边界条件 a. 一端装有刚度系数为k的拉压弹簧时 NN -反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系 16 b. 一端装有集中质量m时 NN 17 例4.1.2 均匀材料等截面直杆的 端固定、 端 具有集中质量m，求其固有频率。 EI, l m 固有频率方程 解：问题的边界条件为 18 a. 如果杆的质量相对于集中质量 很小，即 是杆的质量与杆端 集中质量的比值。 其中 与将弹性杆视为无质量弹簧得到 的单自由度系统固有频率一致。 是整根杆的静拉压刚度。 19 b. 若杆质量小于集中质量，但比值 不是非常小， 可取Taylor展开 ，将频率方程写作 解出 并Taylor展开至二次项 STOP 相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用Rayleigh法 计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率。 20 3.1.2 固有振型函数的正交性 固定边界: 自由边界: (a) 21 (a)-(b) 同理可得 (b) (a) 杆的固有频率互异 22 杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶 次固有振动间既无动能交换又无势能交换. 当 时，定义杆的第r阶模态质量和模态刚度为 它们的大小取决于如何对 固有振型函数归一化，但 其比值总满足: 23 更一般地，若杆在 端有弹簧 和集中质量 、 在 端有弹簧 、集中质量 ，按能量互不交换 原则可写出固有振型正交关系 对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有振 型的加权正交关系式为 正交性的物理意义：在第 r 阶振型上的弹性力和惯 性力不会在第 s 阶振型上作功，反之亦然。 24 3.2 圆轴扭转振动微分方程 材料剪切模量: 截面极惯性矩 : 密度: (外扭矩分布 ) 圆轴的扭转角应变 和扭矩分别为 25 是轴内剪切弹性波沿轴纵向的 传播速度。 根据动量矩定理 : 对于均匀材料 的等截面圆轴: 其中 圆轴扭转振动微分方程 26 （3）弦的横向振动微分方程 设有长为l、横截面积为A、材料密度为 的弦，两端所受张力为 。用 w(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的横向位移， p(x, t) 是单位长度弦上分布的横向作用力。由于只考虑微振动，可认为张 力保持不变。取微段后运用Newton第二定律，可得到 是