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线性代数练习册 班级 姓名 学号 任课教师 习题1.1（逆序数、行列式定义及行列式性质）一、 求下列各排列的逆序数： ； ； .二、写出五阶行列式中含有及的所有项.三、计算下列三阶行列式：； .四、计算行列式.五、设=0，求. 习题1.2（行列式展开及克莱姆法则）一、计算下列4阶行列式：； (2)；(3).二、 计算下列阶各行列式（1）=（其中对角线上的元素都是，未写出的元素都是0）；（2）. 三、 用克拉默法则解下列方程组.四、设齐次线性方程组有唯一解，求的取值范围.第一章验收测试题一、填空题(每小题6分，共48分) . 2. 行列式 .3行列式 4. . . 6. 设阶行列式的值为，将中的元素都变号后得到行列式为,则= . , . . 二、计算行列式(14分).三、 四、(14分)只有唯一解，求的取值范围.五、(10分) .习题2.1（矩阵的初等运算（不含逆运算）一、计算下列矩阵的乘积(1) ； (2) ； (3) . 二、设，求. 三、设，求， ，4, . 四、设 ，求(为正整数).五、已知均为阶方阵,且及都可交换，证明与可交换.六. 设为阶方阵,且，证明当且仅当.习 题2.2（矩阵的逆运算及分块运算）一、判断下列矩阵是否可逆并求其逆矩阵 (1) ; (2) 二、 设三阶方阵满足, 且=, 求.三、解矩阵方程四、设, 求及. 习题2.3（矩阵的初等变换）一、把下列矩阵化为标准形(1) ; (2) . 二、试利用矩阵的初等变换，求方阵的逆矩阵.三、 设, ，试用初等变换的方法求使.四、设，若，求矩阵. 习题2.4（矩阵的秩）一、 在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式? 举例说明.二、作一个秩是4的方阵,它的两个行是,三、利用初等行变换求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：（1）（2）.四、设, 问为何值时, 可使(1) ；(2) ；(3) .五、设是矩阵，且的秩等于2，求的秩.第二章验收测试题一、 填空题(每小题4分，共40分)1.设是主对角元为1，2，3，的阶三角矩阵，则|= . 2. = . 3.对于矩阵=，当 时，可逆. . 5将阶方阵的元素全部反号，则新的矩阵的行列式是 . 6对于阶方阵，若|=5，则|T-1|= 7.若是2阶方阵，且|=2，则|（-2）3|= . 8. . . 二、 (每小题12分，共24分)计算下列矩阵 三、 (12分)解下列矩阵方程.四、(12分)设 求 五、（12分）若为阶方阵，证明及可逆，并求及 . 习题3.1（向量线性表示及线性相关性）一、 已知向量组由向量组线性表示的表示式为，向量组由向量组线性表示的表示式为,求向量组由向量组线性表示的表示式. 二、判定下列向量组是线性相关还是线性无关? 三、已知矩阵与向量写出矩阵的列向量组与行向量组; 能否用的列向量组线性表示? 能否用的行向量组线性表示?若能线性表示，则写出表达式.四、设线性无关，而线性相关，试证：可由线性表示； 不能由线性表示.五、若向量组线性相关，但其中任意三个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数，使得.六、已知是阶可逆矩阵, 是维线性无关的列向量,证明线性无关.习题3.2（向量组的秩、最大无关组及向量组的等价）一、求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示二、设向量组的秩为,求.三、已知向量组的秩为,证明中任意个线性无关的向量都是一个最大无关组.四、 设向量组向量组试证明:向量组与向量组等价.五、设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.第三章验收测试题一、填空题（每小题5分，共40分）1.已知为3维向量，且线性无关，则向量组的秩为_. 2.设是维向量组,则向量组线性 关.3.若向量组线性无关，则向量组为线性 关. 4若向量组的秩为，则其中任意个向量线性 关. 5. ，则当 时线性相关.6. .7.的一个极大无关组是 . 8、 若向量组可由向量组线性表示，设向量组的秩为，向量组的秩为，则 .二、（每小题15分，共30分） 求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1),;(2),.三、（15分）向量组线性无关,问常数满足什么条件时,向量组线性无关四、（15分）设为任意维向量，,证明向量组线性相关.习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ （1） ； （2） . 二、求齐次线性方程组的一个基础解系. 三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，是它的三个解向量，且，, 求该方程组的通解.四、设是方程组的一个基础解系，证明：向量组也是的一个基础解系.五、设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系（），证明：（1），线性无关；（2）,，线性无关. 习题4.2（用初等变换解线性方程组解）一、求齐次线性方程组的基础解系. 二、 求下列非齐次线性方程组的通解.三、写出一个以为通解的齐次线性方程组.四、确定a、b的值使下列线性方程组有解，并求其通解.（1）； （2）.第四章验收测试题一、填空题（每小题5分，共40分）1.设为阶方阵，且与阶单位阵等价，则方程组的解的个数为 . 2.已知，均为阶方阵，|=1，|=2，那么的非零解的个数等于 . 3齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是 4. . 5线性方程组有解的充要条件是 . 6设均为阶方阵,只有一个解，的行秩为3，则的列秩等于 .7设是3阶方阵，且方程组只有一个解，B是划去的第一列所得到的矩阵，则的秩= . 8已知齐次线性方程组有唯一解，则的秩= . 二、（15分）求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.三、（15分）有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解四、（15分）证明与的基础解系等价的线性无关的解向量组也是基础解系五、（15分）设是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且.证明向量组线性无关.习题5.1（向量的内积及特征值与特征向量）一、 用施密特法把向量组正交化. 二、下列矩阵是不是正交矩阵，并说明理由：（1）； （2）. 三、求矩阵的特征值和特征向量，并问它的特征向量是否两两正交？四、设阶可逆矩阵有特征值，对应的特征向量为.求，的一个特征值和对应的特征向量.五、已知三阶矩阵的特征值为1，2，3，求. 六、设，是的两个不相等的特征值，是对应于的特征向量，证明不是对应于的特征向量.（即一个特征向量不能对应两个不同的特征值）.习题5.2（方阵的对角化）一、设3阶方阵A的特征值为；对应的特征向量依次为 二、设方阵相似，求.三、设，问：（1）当为何值时，能相似对角化？（2）当为何值时，不能相似对角化？（3）当可相似对角化时，求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵.四、试求一个正交的相似变换矩阵，使对称阵相似于对角阵. 习题5.3（二次型的标准化及正定性）一、用矩阵记号表示下列二次型：(1)；(2) .二、求一个正交变换使化二次型为标准形，并求正惯性指数和负惯性指数.三、用配方法化二次型为标准形，并写出可逆变换矩阵：四、判别下列二次型的正定性：（1）（2）.五、设为可逆矩阵，证明为正定二次型.第五章验收测试题一、填空题(每小题5分，共50分)1.已知为正交阵的两个相异的列向量，则内积 2.若是阶正交阵，则|T|= . 3.实二次型相应的实对称矩阵有 个特征值大于0. ， . .6.设和是3阶实对称矩阵的两个不同的特征值，依次是的对应于特征值，的特征向量，则实数 .7.已知、均为阶方阵，与相似，且方程组仅有一个解，则= . 8.若阶方阵与相似，且|=,则|= . .10、已知二次型通过正交变换化成标准形，则= .并写出标准型及所用的正交变换.四、(10分)设是阶正交阵的特征值，证明也是的特征值.五、（10分）设为维列向量，令，求证：是对称的正交阵. 线性代数模拟试题一、填空题（每题4分，共40分） . . .5.若向量组线性无关，则向量组为线性 关. 6.设是阶方阵,对于齐次线性方程组, 如果中每行元素之和均为,且,则线性方程组的通解为 . 7.已知是3元非齐次线性方程组的两个解向量，则对应齐次线性方程组有一个非零解 8.设是方阵的一个特征值，则方阵必有一个特征值为 .9.已知二次型经正交变换化为标准型 ，则 .10. 设是正定二次型，则的取值范围为 .二、(8分)计算下行列式三、（8分）四、（10分）设有向量组：（1）求该向量组的秩；（2）试问该向量组线性相关还是线性无关？（3）求该向量组的一个最大无关组.五、（12分）有唯一解？有无穷多解，无解？在有解的情况下求通解.七、（8分）（1）（2）习题答案习题1.1一、（1）.5；（2）.2； （3）. 二、略. 三 25； 6.四、.五、.习题1.2一 -32；（2）；（3）.二、（1）；（2）.三 .四. .第一章验收测试题一、2.； .二、.三、.习题2.1一、 (1) ；(2) ；(3) 10 .二、.三、 , ,. 四、.习 题2.2一、(1) ；(2) .二、.三、 . 四、 , .五.习题2.3一、 (1) ； (2) . 二、.三、. 四、 .习题2.4一、 略.二、.三、（1）. 2，；（2）2，.四、(1) ； (2) ； (3) 且. 五、2.第二章验收测试题一1! ； 2. ； 3； 5.(-1)n|； 6. 5； 7. 512； 8.1；. 五、，.习题3.1一、 ; .二、 (1)无关；(2)相关.三、的列向量组为,的行向量组为.（2）可以由的列向量组线性表示,表达式为；不能由的行向量组线性表示.习题3.2一、（1）3；（2）2；.二、 ,.第三章验收测试题一、1. 3；2.（相）； 3.无；4.（相）； ； 6. 1；7.8. .二、(1)秩为2,一组最大线性无关组为.(2) 秩为2,最大线性无关组为.习题4.1一、（1）仅有零解；（2）有无穷多解.二、. 三、.习题4.2一、, .二、,通解为.其中三、.四、（1）当时,方程组有无穷多解,通解为当时,方程组无解.（2）当且时,方程组有无穷多解,通解为；当或时,方程组无解.第四章验收测试题一11 ； 2. 0；6. 3；7. 2 ；8. 4 . 二、.习题5.1 一、, ,.二、（1）不是；（2）是.三、0,-1,9； ；两两正交.四、特征值为,特征向量为.的特征值为,特征向量为.的特征值为,特征向量为. 五、18.习题5.2 一、. 二、.三、（1）. （2）. （3）,.四、，.习题5.3一、（1）；（2）.二、，, 正惯性指数3,负惯性指数0.三、 ，.四、（1）负定； （2）正定.第五章验收测试题一10；2.1；3.2； 5.6.-3.7.；8.； 10.2.三、 线性代数模拟试题一、5.无；6.； 7.（或它的非零倍数）；8. ；10.二、.四、1)向量组的秩是；2)线性相关；3)或 .五、七、（1）略；（2）.2昆明理工大学2008级 线性代数试卷A卷 (考试时间：2009年6月18日)一、填空题（每小题3分，共40分）1、四阶行列式中含有因子的项为 .2、= .3、设,则 .4、.5、向量组线性相关，则= .6、设初等矩阵满足：，则. 7、若为正定矩阵，则的取值范围是 .8、若 .9、设，为单位矩阵，则的特征值是 .10. 设是阶可逆阵的一个特征值，则矩阵必有一个特征值 . 三、(10分) 解方程四、(12分)非齐次线性方程组，当取何值时有解？并求出它的解五、（10分）设向量组（1） 求向量组的秩；（2） 该向量组是否线性相关；（3） 求向量组的一个最大无关组.六（12分）、已知二次型通过正交变换化成标准形，求参数及所用的正交变换矩阵.七（6分）、设向量组线性无关，证明向量组线性相关.昆明理工大学2008级线性代数 试卷A卷答案及评分标准 一、填空题（每小题3分，共40分）1、和；2、；3、；4、 5、6；6、， 7、；8、；9、；10、. 二、解：, (8分)故 (2分)三、解： (2分) (4分) (4分)四、解: (4分)方程组有解，须得 (4分)当时,方程组解为 (2分)当时，得通解 (2分)五、解：（1）,而,故向量组的秩为2; (4分)（2）因为向量组的秩为2,故该向量组