凸函数的性质的讨论(大学数学专业毕业论文)凸函数的性质的讨论(大学数学专业毕业论文).doc

嘉兴学院本科生毕业论文（设计）凸函数的性质的讨论刘卫来（嘉兴学院数学与信息工程学院）摘要：凸函数是一种性质特殊的函数，在现实生活中应用的比较广泛；在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用；例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。本文从凸函数的定义出发,研究了连续函数与凸函数的关系,讨论了连续凸函数的性质,并得到一些重要结论。最后,凸函数作为高等数学中的一个基本内容,它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用，对其在最优化问题中的应用、并利用凸函数的性质求形如的方程的近似解和描绘函数的图象等问题作初步的研究。关键词：凸函数；Jensen不等式；连续函数。22The Discussion of The Property of The Convex FunctionLiu Weilai（College of Mathematics and Information Engineering , Jiaxing University）Abstract: The convex function is a kind of function with special properties，and its theory convex function have extensive applications in our life. In many part of mathematics,we can see the relevant application . Such as in mathematical analysis, function theory ,functional analysis, optimal theory,and so on. The text sets out from the definition of the convex function,we studied the relation between the continuous function and the convex function.We discussed the property of the continuous convex function and get some important conclusions.At last, convex function is also a basic content of higher maths . It plays an important role in proving more complex nequality.We make a initial research in applications of optimal theory, solved the approximat solution ofpainted functional image.Key words:function of convexity ;inequality of Jensen ;continuous function目 录1 引言12 凸函数定义的研究22.1 凸函数定义22.2 凸函数的等价定义及其证明23 凸函数性质的进一步讨论和证明53.1 凸函数的性质53.1.1 凸函数一些运算性质53.1.2 凸函数几个分析性质73.2 凸函数的判定定理94 凸函数的性质的应用104.1 凸函数在画函数图像上的应用104.1.1 利用凸函数画函数图像的基本步骤104.1.2 凸函数在画函数图像上的实例104.2 凸函数在不等式证明中的应用124.2.1 两个重要不等式124.2.2 凸函数在初等不等式证明中的应用134.2.3 凸函数在积分不等式中的应用144.3 凸函数在最优化中的应用154.3.1 凸规划154.3.2 线性规划问题164.4 凸函数在求方程近似解中的应用175 结论20致谢21参考文献221 引言凸函数是所有函数类中比较重要的一类函数，在现实生活中应用的比较广泛；在许多数学分支中，经常可以看到相关的应用；如分析、最优化理论等。常用的函数的凸性有两种：一种叫凸函数,即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数；另一种叫凹函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数1。但是由于在定义中并没有对函数作出连续性假设,因此Jensen意义下凸函数可能是不连续的。例如,若令则容易证明在上是凸函数,但在上不连续。与此同时,连续函数也可能不是凸函数。例如,在上是连续的, 但在上不是凸函数。这样,就自然产生以下几个问题:1) 当连续函数满足何种条件时,是上的凸函数?2) 当凸函数满足何种条件时,是上的连续函数?3) 连续的凸函数在上具有何种性质?2为解决上述问题, 可从凸函数的定义出发,研究连续函数与凸函数的关系,并讨论连续凸函数的性质,可得到一些重要结论。并对凸函数在证明不等式中的应用、最优化问题中的应用和利用凸函数的性质求形如的方程的近似解3等问题作进一步的探讨。而凸函数在不等式的研究中尤为重要,因不等式最终归结为研究函数的特性。在数学规划中，有一种称为凸规划的问题，是很有应用价值的，而这种规划的问题是通过某种方式和凸函数紧密的联系在一起。因此深入研究凸函数的性质具有很重要的意义。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数进行定性分析4。所以函数的图形对函数的研究起着辅助性的作用。那么我们又是如何准确的描绘函数的图象的呢？在过去，一般均用描点法，即对已知函数的定义域中取一组点，再在坐标平面上描出一组点，然后把后者用曲线（或直线）连接起来。但很明显地，单纯用这种方法是不够的，其主要原因是把握不住上述连线的形状和态势。而我们根据微积分学的知识，就极大的提高了可微函数的作图技巧。当然在作图时仍需辅以描点法，特别是在关键点上，这里主要指的是函数的极值点，以及与轴、轴的交点，还有函数图形中的凸曲线段和凹曲线段的交接点。此外，微把握曲线的态势，考察其渐进线也是十分重要的，虽然这与微分没有直接关系5。画图的步骤概略陈述将在正文中写出。因此对凸函数的一些性质进行比较深入的讨论就显得很重要，也具有一定的现实意义。2 凸函数定义的研究2.1 凸函数定义函数图象的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方。 我们可以这样定义：设函数在区间上有定义，若曲线上任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下，则称函数 是凸函数。以上定义只对凸函数作了直观的描述,下面我们给出精确定义。定义1 设函数在区间上有定义，若对上任意两点，和正数总有 （1）成立，则称为区间上的凸函数；若上式仅不等号成立，则称为区间上的严格凸函数。若不等式反向,即则称是上的凹函数。若仅成立，则称为区间上的严格凹函数6。2.2 凸函数的等价定义及其证明定义2 设函数在在上有定义，对任意满足的有 （2）成立，称是区间上的凸函数。结论1：定义1与定义2等价。因过曲线上的点，的直线段的参数方程可表示为其中，为内任意一点，只需将代入（2）式即得到（1）式，代入（1）式即得到（2）式。定义3 设函数在区间上有定义，若对上任意两点，和正数且总有 （3）成立,则称为区间上的凸函数。结论2：显然定义1和定义3是等价的。定义4 若函数在区间上有定义,且对任意的及满足的,有 （4）成立，则称为区间上的凸函数。结论3：定义3和定义4等价。因定义3是定义4的特例，定义4显然可推出定义3，以下用数学归纳法证明定义3可推出定义4。当是，（4）式即是（3）式，显然成立。设时（4）式成立，即对任意的，满足有 （5）要证明当时（4）式成立。利用（3）式可得=即时结论成立，故由定义3可以推出定义4。定义57 设函数在区间上有定义，若对上任意的和且不全为零，总有 （6）成立，则称为区间上的凸函数。结论4：定义4和定义5等价。只需在（4）式中设，即可得（6）式成立；反之，因已知且，所以=。定义6 设函数在在上有定义，且对任意满足 的有 （7）成立，则称为区间上的凸函数。结论5：定义2和定义6等价。因=且 时，即整理得，即（2）式成立。又上述过程是可逆的，故定义6和定义2等价。定义7 设函数在在上有定义，且对于任意的且有 （8）成立，则称是区间上的凸函数。结论6：定义6与定义7等价。只需把（7）式展开整理就得到（8）式。总之，以上七种凸函数定义相互等价。以这样定义的凸函数具有性质在内任意点连续，且左、右导数都存在。除了上述七种定义外，还经常可以遇到下列形式的凸函数的定义。定义88 设函数在区间上有定义，若对上任意两点，和正数，总有成立，则称为区间上的中点凸函数，又称为Jensen意义下的凸函数。定义9 在区间内定义的函数，如果对任意个点，有则称是内的凸函数。定义8是定义9的特例，用数学归纳法可以由定义8推出定义9（具体证明略）。由上面讨论可知，前七种定义相互等价，后二种定义等价，但前七种定义和后二种定义并不等价。以定义1和定义8为例：显然定义1下的凸函数一定是定义8下的凸函数，但反之不一定成立。可以证明对连续函数而言，定义3和定义8是等价的。 3 凸函数性质的进一步讨论和证明3.1 凸函数的性质3.1.1 凸函数一些运算性质性质19若为凸函数,则为凹函数,反之亦然。证 因是凸函数，由定义知，若对上任意两点，和正数总有在上式两边同时乘以-1得：故为凹函数。同理可得为凹函数,则为凸函数。性质2若为凸函数,则：1）若,则 为凸函数。 2）若,则 为凹函数。证 因是凸函数，由定义若对上任意两点，和正数总有1）当时，在上式两边同时乘以得：即为凸函数。2）当时，在上式两边同时乘以得：即为凹函数。性质3若，为凸函数, 则为凸函数。证 因，是凸函数，由定义得，若对上任意两点，和正数总有则 即 为凸函数。性质410 设与都是上的非负单调递增（递减）的凸函数，则 也是上的凸函数。证 因与都是上的非负单调递增（递减）的函数，则对任意的，有整理得 （9）又因为，是非负的凸函数，即对上任意两点，和正数总有所以=再由（9）式可知=即是上的凸函数。性质511 若，为凸函数, 则亦为凸函数。证 因为，是凸函数，即对上任意两点，和正数总有从而有 所以为凸函数。性质612 若为凸函数,为单调增加的凸函数,则 亦为凸函数。 证 因为凸函数，即对上任意两点，和正数总有又为单调增加的凸函数,所以即 为凸函数。3.1.2 凸函数几个分析性质性质7 若是上的凸函数，则在内的任意闭子区间上有界。证 设是内的任意闭子区间，则对，存在，使得，由凸函数的定义知：因此在上有上界，设其上界是。再证在上有下界：对任意的，令，则 所以，记。综上所述，。性质8 若是上的凸函数，则对任意的且，有证 令，则，由的凸性可知从而有 即所以性质913 若是上的凸函数，则在上连续。证 对任意的，都存在闭区间，使得，令，由性质8知：当时，有当时，有因而有再由性质7可知，上式右端是有下界变量。因此，当时，有，所以在点连续，由的任意性可知，在上连续。性质10设为上的凸函数,则亦为凸函数。（证明略）3.2 凸函数的判定定理定理114 设是区间上的可导函数，则下述论断互相等价：1）是区间上的凸函数；2）是区间上的增函数；3）对区间上的任意两点有证 1）2）在区间上的任取两点，对充分小的正数，由于，则由性质8可知因是区间上的可导函数，令 时可得所以是区间上的增函数。2）3）在以为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和是区间上的增函数得：移项后得，且当时仍可得到相同的结论。3）1）任取区间上的两点，由3）并利用与得分别用和乘上述两式并相加。便得则是区间上的凸函数。定理2 15设是区间上的二阶可导函数，则在上的为凸函数的充要条件是证 1）必要性。因为为上凸函数，则是区间上的增函数，即。2）充分性。因为，所以是区间上的增函数，即为上凸函数。4 凸函数的性质的应用4.1 凸函数在画函数图像上的应用4.1.1 利用凸函数画函数图像的基本步骤1、 考察自身：（1）确定定义域，讨论其大范围特性（奇偶、对称与周期性）。（2）寻求的零点、不连续点以及渐进线。2、 考察和：（1）寻求稳定点（）以及导数不存在的点，判定的符号，用以确定的增减区间与极值点（同时计算极值）。（2）寻求的零点以及二阶导数不存在的点，判定的符号，用以确定图形的凸性区域和拐点。3、 列表并画图。4.1.2 凸函数在画函数图像上的实例16下面举例说明如何按照上述程序做出函数图像。例1 作曲线的图形。解 1）因在处无定义，且有，即直线是该曲线的垂直渐近线，直线是该曲线的水平渐近线；且。2）令，有及使导数无意义。3、列表、画图（见图（4-1）+-0+0-0xy 图（4-1） 图（4-2）例2 作由方程（）或给出的曲线图形。解 1）考察函数本身，可知它有周期性，周期为。从而只需讨论从0变到即可。此时，的取值范围为，且有：， ；曲线无渐近线。2）对其求一阶、二阶导数得，在时，且有，；使无意义。3）列表、画图（见图（4-2）0-+0-+-04.2 凸函数在不等式证明中的应用在许多证明问题中,我们常常会遇到一些不等式,其中有些不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙，关键是构造能够解决问题的凸函数。4.2.1 两个重要不等式例3 霍尔德(Holder) 不等式设则其中。证 考虑函数，显然，故是上的严格凸函数。由定义5知，对所有的和，且有 (10)取，则显然有。又因为，将其代入(10)式得 即 当时，即为柯西不等式例4 闵可夫斯基(Minkowski) 不等式若则对任给的实数，有证 设；由例3得 即当时，显然成立。4.2.2 凸函数在初等不等式证明中的应用例5 对任意实数有。证 设，则当，所以在上是凸函数。由凸函数的定义，令有即例6 当时，有证 设，则，所以在上是凸函数。令，由定义9 得 整理得又将用替换即得所以有4.2.3 凸函数在积分不等式中的应用例7 设是区间上的凸函数，则证 由于是区间上的凸函数，所以存在。且当时，故 即又因 令，得故 从而 作变换,则有 从而 综合以上可知 凸函数在不等式的证明中很有用, 利用它解题显得巧妙、简练。通过对上述问题的证明,我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式,关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则可以对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。4.3 凸函数在最优化中的应用4.3.1凸规划定义在凸集上的凸函数其极值点有很好的性质。把它应用到非线性规划问题上，相当于目标函数是凸函数，可行域是凸集的规划问题。称这样的规划问题为凸规划问题。我们知道如何判断是凸函数，那么如何判断可行域是凸集呢？即如何判断一个规划问题是凸规划问题呢。给出下列形式： （11）当是凸函数，是凸函数，是线性函数时，（11）式是一个凸规划。是凸函数，则由凸函数的性质，水平集是一个凸集，则个凸集之交集也是凸集，记作（凸集之交仍是凸集）。而线性函数也是凸函数。满足（）的点集也是凸集，个凸集之交也为凸集，记作。显然也是凸集，故规划（11）式是一个凸规划。显然，形如： （12）当是凸函数，是凹函数，是线性函数时，规划（12）式也是一个凸规划。 因为，是凹函数，即为凸函数。满足的水平集：也是一个凸集。但无论在（11）式还是（12）式中，当等式约束是一个非线性的凸函数时，满足等式约束的点集不是凸集，这时问题就不是凸规划。显然，线性规划也是凸规划。凸规划是非线性规划中一类比较简单而又具有重要理论意义的问题。凸规划的局部最优解就是全局最优解，且全局最优解连成一片构成凸集。若目标函数是严格凸函数，又存在极小点，则此时凸规划的全局最优解是唯一的。4.3.2 线性规划问题首先我们考虑下面的线性不等式组 （13）或记为；构造函数由性质10可知，是连续可微的凸函数且命题1 若为的极小点，当时，则为不等式组（13）之解；当时，则（13）无解。由此命题可知，我们可用无约束极小化方法求（13）之解。进一步可推广到非线性凸不等式组 （14）其中为凸函数，构造函数有性质10可知，是凸函数，且具有下列结论。命题2 若为的极小点，当时，则为（14）式之解；当时，则（14）式无解。对于标准线性规划问题 （15）其中，。将上述线性规划问题等价变形为下列线性等式和不等式其中为变量。构造函数其中为分量分别取绝对值后得到的向量，则为关于，的连续可微凸函数，进而有命题3 若为的极小点，则为线性规划（15）的最优解，为（15）的最优Lagrange乘子；若，则（15）无解。4.4 凸函数在求方程近似解中的应用在实际应用中，常常求解方程的解，而方程求解的方法主要有两种：解析法和数值法。解析法也称公式法，得到的解是精确解，如一元二次方程的求解公式。然而并不是所有的方程的解都能通过此方法而求得。法国数学家伽罗瓦（Galois）在19世纪就证明了形如（）的代数方程，当时，一般不存在求解公式。因此求解一般的方程，我们必须寻求其他的求解方法。对方程，设为上的二阶可导函数，满足求解的基本思想是构造一收敛的点列，使其极限恰好是方程的解，因此当充分大时，可作为的近似值。下面分四种情况进行讨论。1）设。从而有，并设，令， （16）因为，所以为上的严格凸函数，由定理1可知： （17）设，则在点的切线与轴的交点为 y由（17）式可知（见图4-1） （图4-1）以代替重复上述步骤可将在点的切线与轴的交点为其中；如此继续上述过程可得如（16）式确定的点列，显然严格递增且有上界，故可设，由于和连续，对（16）式取极限得因而有。由于严格单调，可知的解是唯一的，从而。最后我们估计以作为的近似值的误差。由中值定理知即，记，则 （18）类似地可以讨论以下三种情况：2）设，这时有；3）设，这时有；4）设，这时有。例8 求方程的近似解，使误差不超过0.01。解 设，求得导数，易知为极大值点，为极小值点，并且，又因，所以方程有且只有一个根。又注意到，因而方程的根，由于上，因此是属于情形2），从点作切线与轴交于。再估计以代替的误差：在上的最小值，而，由误差估计公式（18）得：不符合要求。再在点作切线，与轴交于由于，此时因此取已能达到所要求的精确度。5 结论本文主要讨论了凸函数的定义，凸函数的性质及应用。不等式的证明方法多种多样，常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大(小) 值法和泰勒展开式等方法。在利用凸函数的性质证明有关不等式的例子中探索一种比较简便的证明方法；并从具体的例子可以看出，利用凸函数的性质证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易，证明过程简单的问题，在“丰富证明不等式方法，简化不等式证明过程”中发挥了一定的作用。凸规划的问题就是通过某种方式使之和凸函数紧密的联系在一起。因此深入研究凸函数的性质具有很重要的意义。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态；把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。另外还研究了如何利用凸函数画函数图像的问题。 致谢从开始进入论文的开课到论文的顺利完成，整整经过了四个多月的时间。在这几个月里，有很多老师、同学、朋友给了我无数的帮助，在这里我真心的谢谢他们！首先感谢嘉兴学院四年来对我的培养，是我们的老师们教会了我学习的方法、锻炼了我思考的能力，指明了我未来奋斗的方向，使我进一步明确了人生的目标。其次，我要感谢我的指导老师柴惠文老师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；柴老师循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在撰写整个毕业论文的过程当中，柴老师为我们考虑到了每一个细节，尤其是在开题报告和毕业论文的拟定修改上，柴老师更是不厌其烦的为我们做好每一步的细心指导。因为我比较心急，对于任何事情我都是想一下子就把它完成，之后痛痛快快的玩；什么事情我只想完成了就好，不会去追求更加完美。但在这四个多月中柴老师还是一直不停的给我鼓励和支持。对此，我表示衷心地感谢。没有柴老师，我的论文也不可能这么顺利的完成。最后，我要感谢每一位给过我帮助的老师和同学，在我撰写论文的过程当中同样给了我大量有益的建议，在此向他们表示衷心地感谢，感谢他们对我的支持和帮助。参考文献1 白景华.凸函数的性质、等价定义及应用J.开封大学学报.2003年6月，第17卷第2期：59-64.2 宋方.关于凸函数的定义和性质J.数学的实践与认识.2007年4月,第37卷第8期：189-19