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2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔承 诺 书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B 队员签名 ：1. 王永鹏 2. 杨明华 3. 杨绍辉 日期： 2011 年 8 月 18 日2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔编 号 专 用 页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注 2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔题 目 高校综合奖学金评定摘要本题旨在通过对奖学金评定标准的探索与分析，将半定量，半定性多因素的综合选优评价问题利用综合模型评价的方法探索出奖学金评定的最佳评价模型，最终使评定标准能较好的促进学校培养目标的具体化，并能正确引导学生的行为。 首先对问题一，由于考试科目成绩和考查科目的成绩对综合成绩的影响程度不同，我们采用层次分析法用MATLAB编程求得二者权重0.75和0.25，按五分制将考察课量化，依据学分分配分别求出二者平均分后，最后按照线性加权求和法在Excel中得到每个学生的成综合成绩及排名（见表5）。接着针对问题二，结合学校希望实现的培养目标，同样采用层次分析法运用MATLAB编程求得综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重分别为：0.5028，0.0348，0.1344，0.2602，0.0678。然后对问题三，采用综合模型评价的方法，未量化的指标按照高校培养目标选择合理的量化准则将其量化，建立指标得分与权重的加权求和模型，将评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，用Excel求出最终成绩，并得出排名，制定出最终的获奖名单为：一等奖学生N二等奖学生C、学生F、学生E三等奖学生G、学生I、学生B、学生H、学生D最后问题四，在奖学金的评定说明中简明清晰的阐述了计算奖学金的主要依据和过程，我们采用的计算方法及过程大部分能够使用Excel完成，使奖学金评定操作更为方便。本文的主要特点在于，所用算法简单易懂，并且具有很强的实用性，在对原始数据仅作简单预处理的条件下，结合常用的数学软件Matlab和Excel，运用数学建模中综合评价的方法合理的算出了总体成绩的排名。模型简单，易于操作，对综合评价问题的解决具有现实指导作用。关键词：综合模型评价、综合成绩、层次分析、总体成绩、奖学金评定 一、问题重述高等教育是我国教育的重要组成部分，其质量的高低直接影响社会主义现代化建设，在“十二五规划”中国家已将高等教育的发展纳入到社会主义和谐社会建设的宏伟蓝图中，因此促进高等教育质量的提高，受到社会的普遍关注。目前高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的奖学金制度，良好的促进了大学生全面素质的提高。评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票是影响评定结果的重要因素。我们收集了某班级评定奖学金可以用到的一些资料（在奖学金评定信息.xls中）。考虑到该班级所在学校对奖学金的评定有基本条件限制，如考试课成绩不能低于70分等，根据满足基本条件的同学的信息（资料中数据）建立数学模型，确定奖学金获得者名单。具体要求如下：1) 根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。 (2) 结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。权重应该与学校希望实现的培养目标一致，即各部分的权重应该体现出学校对学生各方面要求的侧重，以引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。(3) 该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。(4) 撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。为了方便奖学金评定操作，建议大部分计算过程最好能够使用Excel完成（评定说明中只要给出具体公式即可，这些公式应该能够在Excel中实现）。如果模型中用到的数学方法比较复杂，简化模型相关内容，以方便具体计算过程，提高模型的实用性。二、问题分析 根据奖学金的评定公平公正合理的原则，为选择一个能综合权衡各影响因素的模型来进行求解，我们对各个问题做出如下分析：（一）问题一分析 通过对表中数据的分析及我们所了解的情况，为了较好的达到高校培养目标，我们在确定学生综合成绩的过程中，参考各高校的评分原则，考试课与考查课对学生的综合成绩影响不同，采用层次分析的方法具体确定考试课与考查课在综合成绩中的权重，进而通过加权求和法得出各学生的综合成绩，并得出排名。（二）问题二分析根据高校培养的目标，为体现出学校对学生不同方面要求的侧重，我们同样可以采用层次分析法计算出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定中所占权重，并从国家、社会、个人三个方面来综合考虑这个问题，以此为标准来确定和衡量加权的合理性，同时使加权结果有助于引导学生适当调节学习方法和策略，有目的的学习，注重提高学习效率。（三）问题三分析我们在前两个问题的基础上，建立奖学金评定的综合评价模型，并在对可影响因子量化的基础上得出奖学金评定的量化公式，结合所给资料，由此得出最终排名，从而确定奖学金名单。（四）问题四分析由于本文主要采用建立综合评价模型的常用方法层次分析法，且层次分析法的一般步骤如下：首先，要确定待评价对象的评价指标，建立综合评价递阶结构；其次，基于已建立的层次递阶结构，根据当前的实际情况及分析者的主观认识，确定各级评价指标的判断矩阵，并求出各评价指标的权值；再次，根据当前实际情况和分析者的认识，确定各评价指标所对应的评价值模型；最后，采用线性加权法，将各评价指标所得标准分数与相应的权重系数加权，其加权和作为评价对象的总体成绩。三、模型假设1、假设题目所给的数据真实可靠；2、假设上文求解的结果对下文都可以利用且视为真实可靠的；3、学生投票都是公平公正的；4、奖学金的评定因素只受到资料中所给因素影响，与其他因素无关；5、奖学金的评定过程公平公正，无特殊情况；四、符号约定S1综合成绩标准得分S2获奖标准得分S3学生工作标准得分S4学生民主投票标准得分S5卫生状况标准得分SIJ第j 个同学的第i项影响因素的标准得分各影响因素在参评奖学金时所占的权重（i=1，2，3，4，5）A1j考试成绩的分数A2j考查成绩的分数Y总体成绩得分Yj第j个同学总体成绩得分五、模型建立与求解5、1计算学生的综合成绩5、1、1数据分析根据各高校奖学金评定的标准，我们将优秀、良好、中等、及格进行等级分化,在考虑考查成绩的时候我们粗略的认为优秀为95分，良好为85分，中等为75分，合格为65分，据此我们可以得出学生各科的考查分数，如下表：表1 考查课成绩分数学生姓名考查课1考查课2考查课3考查课4考查课5考查课6学生A659595959595学生B658595959585学生C659575959585学生D659595857575学生E659595958575学生F658595958585学生G659585858575学生H658585958585学生I658585959585学生J658585958585学生K659585958585学生L659585959595学生M658575857575学生N659595959595同时将学生的各科考查成绩汇总，如此表：表2 考试课成绩分数学生姓名考试课1考试课2考试课3考试课4考试课5考试课6学生A829391959494学生B879596978491学生C968280858580学生D877485707678学生E857975707379学生F819576868586学生G928490768382学生H858591888284学生I849688888186学生J779289808289学生K748389807880学生L908580928887学生M707275717276学生M9897929695935、1、2运用层次分析法(AHP)确定考试成绩和考查成绩的权重（1） 建立成对比较判断矩阵基于当前中国的国情、题中所给资料以及分析者的认识建立判断矩阵。考试成绩和考查成绩之间的判断矩阵：A=（2）运用求和法计算权重及判断矩阵的最大特征值A.和法计算步骤：对于阶判断矩阵Aa.运用和法求解权重及判断矩阵最大特征向量的步骤如下：这里我们用和法来计算，以下为步骤：将的每一列向量归一化得将按行求和得将归一化得 为近似特征向量；计算最大特征值；B.计算权重、判断矩阵的最大特征值：根据求和法，采用MATLAB编程求解各判断矩阵的权向量及最大特征值，计算结果如下：W1= =2C.判断矩阵有效性检验：对成对比较矩阵进行一致性检验时，为检验构造的成对比较矩阵求出的特征向量（权值）是否合理。用一致性比例作为判断依据，越小，表明判断矩阵的一致性越好，权重可接受性越强。计算公式为,其中（为判断矩阵阶数），为矩阵的随机一致性指标，其值参见下表。表3 随机一致性指标的值n234567891011RI00.580.91.121.241.321.411.451.491.51根据公式得到随机一致性比率：由于判断矩阵的一致性比例为0，所以判断矩阵具有良好的一致性，可以通过矩阵的相容性检验。因此计算的权重是可以接受的，各级指标权重值如下表所示：表4 权重值权重（w1）考试成绩(A1i)0.75考查成绩(A2i)0.255、1、3综合成绩的计算通过Excel根据上述公式可以算出最终的S1。表5 学生综合成绩标准得分排名学生姓名综合成绩S1排名学生N94.74661学生A93.16552学生B92.31933学生L88.50514学生I87.2775学生F86.16896学生H85.757学生J84.93928学生C84.25689学生K82.560810学生G82.429111学生D77.814212学生E77.604713学生M73.7804145、2运用层次分析法计算各影响因素的权重与奖学金的评定相结合将从14名学生中选拔出获奖人员为目标层，将衡量学生的五个指标作为准则层，将14名学生作为方案层。选拔获奖人员综合成绩竞赛获奖学生工作民主评议卫生状况. . . . . . . . . .目标层：准则层：方案层：图一 层次分析图根据目前我国高等教育的培养目标，参考全国部分高校的奖学金评定方法，我们可以得出资料中所给的5个影响指标：综合成绩、竞赛获奖、学生工作、民主评议、卫生状况在参评综合奖学金的过程中的重要性依次递减：由此我们建立如下判断矩阵：参考第一问中运用求和法计算权重及判断矩阵的最大特征值的方法，综合运用MATLAB，计算可得：=5.2426CR=0.05420.1W=(0.5028,0.2602,0.1344,0.0678,0.0348)由于判断矩阵的一致性比较为0.0542，小于0.1，因此具有良好的一致性，可以通过矩阵的相容性检验。因此计算的权重是可以接受的，各级指标权重值如下表所示：表6 各指标的权重项目权重综合成绩S10.5028获奖情况S20.2602学生工作S30.1344学生民主投票S40.0678卫生S50.0348=5.2426CR=0.05420.1利用MATLAB软件我们可以绘出各个影响指标的权重示意图，如下所示：图二 五个影响指标的权重从图中可以看出在五个影响评定结果的指标中，从综合成绩到卫生的权重值依次递减，说明其对奖学金评定的结果影响程度也依次递减。加权结果显示了学生认真学习知识的重要性，同时其他方面也不可忽略，这样能引导学生根据各指标的权重，合理地调整学习方法和策略，做到有目的的学习，从而提高效率，有助于学生自身全面协调发展。 5、3确定具体获奖名单5、3、1求出各个有关指标因素的标准分数1、综合成绩的标准分数S1 由问题一，我们已经运用层次分析法求得了综合成绩的标准分数，具体求法不再一一赘述，结果见表4；2、获奖加分的标准分数S2由于不同级别的奖项带不同的水平，级别越高水平越高，为了鼓励大学生积极参加更高级别的比赛，综合各高校对获得不同奖项的学生在奖学金评定的加分策略，我们制定出了下面具有普遍性的加分细则：表7 获奖百分制加分析则表特等奖一等奖二等奖三等奖优秀奖参与并完成国家级1008060504020省部级504540352010市级40353025105校级2520151052备注1、 获得多个奖项的同学，按最高加分项算，不累加；2、 获得国际级比赛奖项的按照国家特等奖项对待；3、 评定加分最高不得超过100分；表8 获奖学生的加分情况如下学生姓名获奖情况分数/S2学生C校三等奖10学生F省二等奖40学生I校二等奖15学生N校一等奖203、学生工作获得标准分数S3大学学习不同于高中，它有很多工作需要学生去完成，老师有很多工作是通过学生干部传递给同学的，学生干部是联系学生与老师之间的纽带，不同角色的学生干部工作量有所不同，根据工作量的不同在奖学金的评定中所加的分数也不相同，由于全国高校的学生干部加分政策大体相同，参照我校加分原则，制定出以下标准：表9 学生工作加分参照表职位加分绩点校、院学生会主席团成员，青协会长，班联理事长，媒体事务中心主任，党支部书记，班长、辅导员助理等0.25院学生会部长、副部长，党支部委员，团总支成员，学校社团协会会长，团支书，0.2副班长、学习委员，院学生会、社团委员，学校社团协会部长0.15班级其他学生干部，院学生会、社团干事、学校社团委员0.1备注：身兼多职者，只取最高项加分，不做累计；学生工作所加绩点和分数之间的转化同样也是用到了层次比例计算的方法。对照表如下：表10 学生工作加分积点与标准得分：工作加分绩点分数/S30.0000.10400.15600.20800.25100表11 担任职务学生所获加分学生姓名担任职务绩点标准得分值/S3学生B(2)女工委员0.140学生C(3)学习委员0.1560学生D(4)纪律委员、某社团宣传部长0.280学生E(5)班长、某社团办公室主任0.25100学生G(7)团支书0.280学生I(9)文艺委员0.140学生K(11)劳动委员、某社团组织部长0.280学生N(14)体育委员0.1404、学生民主投票标准分数S4学生民主投票也是影响奖学金评价的因素，为保证奖学金的公平发放，我们需充分考虑各个学生的得票数，由于该班总共32名同学，我们假定当学生的票数为32时，应加分数为100分，当学生的票数为16票时应加分数为50分，当学生得24票时应加75分，当学生票数为8时，应加分数为25分，的零票，加零分，我们选取（32,100），（24,75），（16,50），（8,25），（0，0）五点，我们观察近似线性，利用SPSS软件进行线性拟合，所得结果如下：模型汇总RR 方调整 R 方估计值的标准误1.0001.0001.000.000系数未标准化系数标准化系数tSig.B标准误Betax13.125.0001.000.（常数）-1.405E-15.000.图三 线性拟合图由此可以得出直线方程：X2=3.125X1把得票数代入方程即可得出各个学生的民主投票分数，如下表表12 学生民主测评分数学生姓名学生投票分数/S4学生A2681.25学生B2371.875学生C2887.5学生D2062.5学生E3093.75学生F2475学生G2681.25学生H1546.875学生I1443.75学生J1753.125学生K2475学生L1856.25学生M1237.5学生N2990.6255、学生卫生评比S5标准分数 资料中所给数据为所扣分数，为简便过程计算，我们按百分制计算，用100分减去被扣分数即为学生所得卫生标准分数。所得结果如下：表13学生卫生所的标准分数学生姓名宿舍卫生扣分分数/S5学生A(1)298学生B(2)3070学生C(3)0100学生D(4)5050学生E(5)2476学生F(6)0100学生G(7)4555学生H(8)7030学生I(9)595学生J(10)0100学生K(11)9010学生L(12)955学生M(13)9010学生N(14)01006、模型建立及求解不妨假设14个同学的5个指标得分向量S=和权重向量，求得综合评价函数为：Y=利用线性加权求和法确定奖学金评判标准的总体得分模型Y：即：Yj=w1S1j+w2S2j+w3S3j+w4S4j+x5S5j;其中 (i=1，2，3，4，5)表示评判指标Si的权重， Sij 表示第j个同学的第i项影响指标的标准得分值（i=1，2，3，4，5；j=1，2，14）。五个指标的标准分数如下所示：表14 每位同学5个影响指标的标准得分值汇总表：学生姓名综合成绩/S1获奖加分/S2学生工作加分/S3民主投票加分/S4卫生加分/S5学生A（1）93.16550081.2598学生B（2）92.319304071.87570学生C（3）84.2568106087.5100学生D（4）77.814208062.550学生E（5）77.6047010093.7576学生F（6）86.168940075100学生G（7）82.429108081.2555学生H（8）85.75000046.87530学生I（9）87.2770154043.7595学生J（10）84.93920053.125100学生K（11）82.56080807510学生L（12）88.50510056.255学生M（13）73.78040037.510学生N（14）94.7466204090.625100利用Excel软件代入公式Yj=w1S1j+w2S2j+w3S3j+w4S4j+x5S5j，可得总体成绩排名及获奖情况如下表：表15 学生综合成绩及排名获奖情况学生编号综合分数排名获奖情况学生N67.842971一等奖学生C62.442822二等奖学生F62.298723二等奖学生E61.460694二等奖学生G59.62015三等奖学生I59.434136三等奖学生B59.103277三等奖学生H57.696578三等奖学生D55.854489三等奖学生A55.7627610学生J49.789311学生L48.4881112学生H47.3372313学生M39.9872914六、奖学金评定说明一）模型结构的建立思想我们采用AHP法(层次分析法)来建立奖学金评定模型。层次分析法是美国数学家T.L.Satty 于20 世纪70 年代提出的一种整体和综合主观判断的客观方法。首先把要解决的问题按性质和要达到的目的分解成不同的因素，按各因素之间的相互影响和隶属关系进行分层聚类组合，形成一个有序的层次结构模型。然后对模型中每一层因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。最后通过综合计算出各层因素相对重要性的权值，得到方案层对目标层的相对重要性次序的组合权值，以此作为评价的依据。计算过程：运用层次分析法，将学生的综合测评因素层次化，据因素间的相互关联影响及隶属关系按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析模型。分为目标层，准则层，指标层。对已建的层次分析模型，应用层次分析法原理，采用Saaty 提出的1- 9 标度法，标度法值如下所示：表16 19标度法表根据各因素之间的比较得到量化的判断矩阵，在构造判断矩阵之后，解出判断矩阵的最大特征值，计算一致性指标，为一致性比率，然后逐个验证判断矩阵是否具有一致性。CI的值越大，判断矩阵不一定程度越严重，CR=0.1时A的不一致性仍可接收，否则必须调整判断矩阵。RI为随机一致性指标表17 RI分布表再利用对应的特征方程，解出对应的特征向量，经过标准化后，即为同一层次中相应元素对于上一层次中的某个因素相对重要性的排序权值，根据上述判断矩阵排序的结果，综合出对目标层的优劣程度的判断，得到指标层对目标层的优劣程度的判断向量，综合出各指标的权重。二）模型的求解思路1、综合成绩的计算根据层次分析法我们算出了考查课与考试课的权重分别为，综合成绩是由加权求和的方法得出，其计算公式如下：其中，考察成绩也是采用百分制，符合评优条件的学生分四个等级，优秀：95分，良好：85分，中等：75分，合格：65分，利用Excel计算工具得出学生的综合成绩。2、综合排名的计算方法对于影响评定结果的5项指标：综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票，我们按照百分制量化的方法将5个指标量化，最后得出五个指标得分向量S=，再根据层次分析法得出各个指标的权重向量为，求得综合评价函数： Y=为了公平公正的将奖学金合理的分配下去，我们需要将所有有关指标的因素按照常用的加权求和的方法得出一个总体成绩，计算方法如下： Y=Si*i （i=1，2，3，4，5）具体算式为Y=0.5028S1+0.2602S2+0.1344S3+0.0678S4+0.0348S5总体成绩多少与获得的奖项高低正相关，根据总体成绩高低排名最终确定出获奖的人员。七、模型评价及推广（一）模型的评价本文主要研究的是对奖学金的分配问题。由于涉及各个学生的利益问题，所以要求所采用的评定方法只有尽可能的公平才能使大家更好地接受。因此本文采用了数学建模中通用的综合评价法加以评定。在充分收集和整理数据的基础上，我们对学生工作、得票情况等定性因素进行了定量化处理，并且很好地运用了层次分析法对不同因素指标求出其对评定结果的权重，然后运用常用的加权和的方法