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谈高中立体几何中二面角的求解方法贵州省印江民族中学 张 学二面角是立体几何三种空间角中最重要的一种角 ，是高考常考的考点，如何准确找出二面角的平面角是解题的关键，在学习中，许多同学都对其感到困难，而且不能很好地解决求二面角的问题。下面,我就二面角的求解问题介绍几种常用的方法与技巧，希望对同学们的学习有所帮助。1、定义法：利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、 如图,已知二面角-L -等于120,PA,A,PB,B. 求APB的大小.解: 设平面PAB=OA,平面PAB=OB。POBA PA, PA 同理PB 平面PAB又OA平面PAB OA 同理OB. AOB是二面角-的平面角.在四边形PAOB中, AOB=120,. PAO=POB=90, 所以APB=602、三垂线法:CDPMBA由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2、如图，ABC中，A=90，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角PACB的大小为45。求（1）二面角PBCA的大小；（2）二面角CPBA的大小解：PM丄平面ABC，AC丄AB，由三垂线定理得：AC 丄AP， PAB是二面角PACB的平面角，即PAB =45，又AM=2 AB=4. PM=2 作MD丄 BC于D，连PD，则PD丄 BC， 故 PDM是二面角PBCA的平面角 RtMBDRtCAB BM：BC=MD：CA 又BC=5，MD=在Rt PDM中，tanPDM=，故PDM=arctan， 即二面角PBCA的大小为arctan。（2）PM丄平面ABC，BM=MA，PA=PB，又PAB=45PM丄PA，又PM丄平面ABC，BM丄AC，PB丄PA，又PM丄平面ABC，BM丄ACPB丄AC，故PB丄平面PAC，PB丄PC，即APC是二面CPBA的平面角，在RtPAB中，PAC=90，AC=3，PA= ，AM=2， tanAPC=因此二面角CPBA的大小为arctan。 3、平移法:将图形中有关线段或平面进行平移，以其得到二面角的两个平面的交线,进而得到其二面角的方法。例3、正三角形ABC的边长为10，A平面，B、C在平面的同侧，且与的距离分别是4和2，求平面ABC与所成的角的正弦值。解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；AEE、F是B、C射影 BE丄；CF丄 BECF 又CF：BE= ， B C是BD的中点 BC=DC， CABC是正三角形B=BCA=BAC=60， 又ACB+ACD=180 ， A E F DaACD=120又AC=DC ， ACAD=CDA=30，又BAD=BAC+CAD ，BAD=90，BA丄AD ，又AE是AB在平面上的射影，AEAD 又 BAAD ，平面ABC平面=A，BAE是平面ABC与所成的角，BE平面， BEAE ， ABC是 Rt sinBAE=BE：AB=，即平面ABC与所成角的正弦值为。4、射影面积法:由公式S射影=S斜面cos，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。例4、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD与底面ABCD所成的二面角的大小。 C1解：D1D面ABCD，C1C面ABCD， BMD1在底面上的射影为BDC，B1D1M设正方体的棱长a，则SBCD=a，BD1=aDCA1HMH=a，SBMD1=aBA由SBDC=SBMD1cos得=arccos 5、垂面法:由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例5、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且ABPA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。 解:PA平面ABCD，PACD 又CDAD，故CD平面PAD P 而CD平面PCD， A D所以 平面PCD平面PAD 同理可证 平面PAB平面PAD B C因为 平面PCD平面PADPD，平面PAB平面PADPA，所以PA、PD与所求二面角的棱均垂直，即APD为所求二面角的平面角，且APD456、向量法:两平面所成的角的大小与分别垂直于这两个平面的两向量所成的角（或补角）相等。例6、在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D AB4，AD3，AA15，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小 解：如图，以D为原点，DA为X轴建立空间直角坐标系过C作CGBD，交AB于G。 ZAD=3，AB=4，AA1=5 A1(3, 0, 5)、 C(0, 4, 0)、 G(3, , 0) D1 C1A1C平面AEF, GC平面D1B1BD(易证) A1 B1C平面AEF, F E平面D1B