高考数学优化方案第13章§13.1.ppt

13.1 数学归纳法及其应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 13.1 数学 归纳 法及 其应 用 双基研习面对高考 双基研习面对高考 1由一系列有限的特殊事例得出一般结论的 推理方法，通常叫做_. 2对某些与正整数有关的数学命题常采用下 面的方法来证明它们的正确性，先证明当n取 第1个值n0时，命题成立，然后假设当n k(kN*，kn0)时命题成立，证明当nk1 归纳归纳 法 时时，命题题也成立，这这种证证明方法叫做 _ _用数学归纳归纳 法证证明一个与正整数有关的 命题时题时 ，其步骤为骤为 ： (1)_ ； (2)_ _ 数学归纳归纳 法 证证明n取第一个自然数n0时时命题题成立 假设设nk(kN*，kn0)时时，命题题成立 ， 证证明当nk1时时，命题题成立 思考感悟 用数学归纳法证明问题时，只证明第二步可以 吗？ 提示：不可以，第一步是证明问题的基础，即 从哪个自然数开始递推；第二步是递推的依据, 即解决这个问题为什么能由上一个自然数成立 可推得下一个自然数也成立，这是归纳法的实 质，二者缺一不可 课前热身 答案：B 答案：C 答案：D 4记记凸k边边形的内角和为为f(k)，则则凸k1边边 形的内角和f(k1)f(k)_. 答案： 考点探究挑战高考 用数学归纳归纳 法证证明等式 考点突破 用数学归纳归纳 法证证明等式问题问题 ，关键键在于弄清 等式两边边的构成规规律：等式的两边边各有多少 项项，从nk到nk1时时，等式两边边会增加多 少项项,增加怎样样的项项难难点在于寻寻求nk时时和 nk1时时的等式的联联系 例1 【名师师点评评】 证证明nk1时时的命题时题时 ， 实际实际 就是在nk的命题题加添第k1项项 若不等式是关于正整数的不等式时，可以用数 学归纳法证明其过程，与证明等式类似 用数学归纳法证明不等式 例例2 2 【思路分析】 验证验证 n2成立，证证明nk1 不等式成立，要用nk时时的不等式 【思维总结】 在证明nk1的不等式时， 本方法采用了放缩法 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归 纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一 般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般 性的结论，然后用数学归纳法证明这是数列 中常用的求an和Sn的方法 用数学归纳法证明数列问题 例3 在数列an，bn中，a12，b14，且 an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成 等比数列(nN*) 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测：an， bn的通项公式，并证明你的结论 【思路分析】 猜想an及bn，用数学归纳法证 明 【解】 由条件得2bnanan1，abnbn1. 由此可得a26，b29，a312，b316，a4 20，b425. 猜测ann(n1)，bn(n1)2. 用数学归纳法证明： 当n1时，由上可得结论成立 假设当nk(k1且kN*)时，结论成立， 即akk(k1)，bk(k1)2. 【思维总结维总结 】 本题题是an与bn相互依赖赖而 递递推：a1和b1a2，由a2和b1b2，. 方法技巧 1数学归纳法与递推思想 步骤(1)，当nn0时命题成立；步骤(2)，取k n0，则nk1时命题也成立，由步骤(2)， 取kn01，则nk2时命题也成立；由 此递推断定命题对于从n0开始的所有正整数n 都成立 方法感悟 数学归纳法的两个步骤体现了递推思想，第一 步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个 步骤缺一不可，否则会导致错误 2用数学归纳法可以证明与正整数有关的一 些命题：等式、不等式、整除及数列问题 失误防范 1运用数学归纳法应注意：nn0时n0的取 值；证明nk1时成立必须用上归纳假设. 2“归纳猜想证明”的解题方法， 其中“猜想”是对满足题意的所有“n”值都成 立的规律的体现，不是部分“n”值 考向瞭望把脉高考 从近两年的高考试题来看，数学归纳法是高考 的常考内容，主要以解答题的形式考查：(1)运 用数学归纳法证明一些与正整数有关的命题(如 等式和不等式)；(2)对于一些与正整数有关的探 索性问题，往往需先归纳、猜想，然后用数学 归纳法进行论证，难度中等或较大主要是在 数列的解答题中出现，有时是一个填空题，归 纳猜想出一个一般性结论 考情分析考情分析 在2010年的高考中，浙江理第14题，陕西理 第12题等都是由特殊到一般的归纳推理的填 空题，大纲全国卷理第22题可用数学归纳 法证明bn的通项公式或者探索c的值同样 卷理第18题第(2)问中也可用数学归纳证明. 预测2012年高考中以解答题的形式求出数列 的通项公式或Sn或者由an和Sn构成的不等式， 用数学归纳法证明，甚至与函数结合起来再 转化为数列 (本题满题满 分10分)(2010年高考江苏苏卷)已 知ABC的三边长边长 是有理数求证证： (1)cosA是有理数； (2)对对任意正整数n，cosnA是有理数 规范解答 例 【名师师点评评】 本题题(1)考查查了余弦定理的运 算，对对于理科学生来说说，属于基础题础题 ，易得 分；(2)主要是利用数学归