2018届静安区高考数学一模含详细答案.pdf

第 1 页 静安区 2017 学年度第一学期教学质量检测 高三数学试卷 考生注意： 1本场考试时间 120 分钟试卷共 4 页，满分 150 分另附答题纸 2作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息 3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位在试卷上作答一律不 得分 4用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 计算： + lim (1)= +1 n n n _ 2.计算行列式 1 i2 3i 1 1 i 的结果是_ （其中i为虚数单位） 3与双曲线 22 1 916 xy 的渐近线相同，且经过点( 3,2 3)A 的双曲线的方程是_ 4从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同 的选派方案共有_种 （结果用数值表示） 5已知函数( )23 x f xaa （aR）的反函数为 1( ) yfx ，则函数 1( ) yfx 的图像经过的定 点的坐标为 6在 10 ()xa的展开式中， 7 x的系数是15，则实数a _ 7已知点(2,3)A到直线(1)30axay 的距离不小于 3，则实数a的取值范围是 . 8 类似平面直角坐标系， 我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系 （两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系斜坐标系在斜坐标系xOy中，若 12 OPxeye（其中 12 ,e e分别为斜坐标 系的x轴、y轴正方向上的单位向量，, x yR） ，则点P的坐标为( , )x y.若在斜坐标系xOy中， 60xoy ，点M的坐标为(1,2)，则点M到原点O的距离为 . 9已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为 8 3 ，则该圆锥的侧面积等于 . 10已知函数 (5)1,(1) ( ) ,(1) x a xx f x ax (0,1)aa是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围 为 11.已知函数 2 31 ( )sin3cos cos() 22 f xxxx ，若将函数( )yf x的图像向左平移a个单位 第 2 页 (0)a，所得图像关于y轴对称，则实数a的取值集合为 . 12.已知函数 2 ( )41f xaxx,若对任意xR，都有( ( )0ff x 恒成立，则实数a的取值范围 为 . 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）分） 每题有且只有一个正确选项每题有且只有一个正确选项考考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 已知无穷等比数列 n a的各项之和为 3 2 ，首项 1 1 2 a ，则该数列的公比为 【 】 A 1 3 B 2 3 C 1 3 D 1 3 或 2 3 14. 设全集 3 ,log (1) ,11UR Ax yxBx x ，则 UA B 【 】 A0, 1 B 0, 1 C1, 2 D1, 2 15 两条相交直线l、m都在平面内， 且都不在平面内 若有甲：l和m中至少有一条直线与相交； 乙：平面与平面相交，则甲是乙的 【 】 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 16若曲线2yx与曲线 22 :1 44 xy C 恰有两个不同交点，则实数的取值范围为 【 】 A, 11 + （ ， ） B, 1 C1 +（ ， ） D 1,0)1, 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤必要的步骤 17 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 如图，在正三棱柱 111 ABCABC中, 4 1 AA,异面直线 1 BC与 1 AA所成角的大小为 3 （1）求正三棱柱 111 ABCABC的体积； （2）求直线 1 BC与平面 11 AACC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） B1 A1 C1 A C B 第 3 页 18 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 在ABC中，角ABC、 、的对边分别是abc、 、，设向量( , cos),maB( , cos),nbA 且 / ,mn mn. (1)求证： 2 AB ； (2)若sinsinsinsinxABAB，试确定实数x的取值范围. 19 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 如图， 有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD， 在点 A 处有一个可转动的探照灯， 其照射角PAQ 始终为45(其中点 P，Q 分别在边 BC，CD 上)，设,tanPABt. (1) 当三点CPQ、 、不共线时，求直角CPQ的周长； (2) 设探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域PAQC的面积为 S(平方百米) ，试求 S 的最大值. QC D AB P 45 第 4 页 A C P Q M N x y O m l 20 （本题满分 （本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分） 如图,已知满足条件3i3iz（其中i为虚数单位） 的复数z在复平面xOy对应点的轨迹为圆C （圆心为C）. 设复平面xOy上的复数i (,)zxyxR yR对应的点为( , )x y，定直线m的方程为 360xy， 过)0 , 1(A的一条动直线l与直线m相交于N点,与圆C相交于PQ、两点，M是弦PQ 中点. （1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直； （2）当2 3PQ 时，求直线l的方程； （3）设t AM AN,试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值；若t不为定值，请说明理由. 21 （本题满分 （本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分，第分，第 3 小题满分小题满分 7 分）分） 已知数列 n a的通项公式为 an n an ，(, n aN*) (1) 若， 2 a， 4 a成等差数列，求a的值； (2) 是否存在k(10k 且kN*)与a，使得， 3 a， k a成等比数列？若存在，求出k的取值集合； 若不存在，请说明理由； (3) 求证：数列 n a中的任意一项 n a总可以表示成数列 n a中的其它两项之积 1 a 1 a 第 5 页 静安区 2017 学年度第一学期教学质量检测 高三数学解答 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 0；2.6i；3. 22 4 1 94 xy ；4.60 种；5(3 0)，；6 1 2 7. 3 , 3, 7 ；87；94 2；103,5) 11. 75 12 3 126 ， ， ，；12.3，+ 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项分）每题有且只有一个正确选项考考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13.B；14.D；15.C；16A 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤必要的步骤 17 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1） 11BC B是异面直线 1 BC与 1 AA所成的角，所以 11BC B= 3 2 分 因为 11 4BBAA，所以34 11 CB，4 分 于是，三棱柱体积 1 3 16 3 448 3 4 ABC VSHSAA 6 分 （2）过 B 作 BDAC，D 为垂足，则 BD平面 11 AACC，DBC1是直线 1 BC与平面 11 AACC所 成的角，8 分 8,6 1 BCBD， （ 1 2 7DC ） ， 所以直线 1 BC与平面 11 AACC所成的角为 4 3 arcsin14 分 ( 3 7 arctan 7 ， 7 arccos 4 ) B1 A1 C1 A C B 第 6 页 18 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）( ,cos ),( ,cos ),maB nbA且/mn，coscos0aA bB2 分 又 2 sinsin ab R AB sincossincosAABB, 即sin2sin2AB 又ABC中02 ,22AB22AB或22AB即AB或 2 AB 5 分 若AB，则ab且coscosAB，mn， mn 2 AB 6 分 （2）由sinsinsinsinxABAB可得 sinsinsincos sinsinsincos ABAA x ABAA 8 分 设sincosAAt，则 2sin() 4 tA ， 0 2 A 3 444 A 12sin()2 4 A 10 分 2 1 2sincostAA 2 1 sincos 2 t AA 11 分 2 22 1 1 t x t t t 1 t t 在(1, 2t上单调增 2 22 2 2 11 1 2 22 t x t t t 实数x的取值范围为(2 2,)(开区间)14 分 19 （本题满分 （本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）,tanPABt，所以BPt，1CPt ； 因为点CPQ、 、不共线，所以01t ， 1 tan(45) 1 t DQ t , 1 1 1 t CQ t ; 22 PQCPCQ= 2 1 1 t t ;5 分 QC D AB P 45 第 7 页 A C P Q M N x y O m l 直角CPQ的周长= 2 11 (1)(1) 11 tt t tt =26 分 (2) 1 1 =1 22 1 tt S t 8 分 12 =2(1)22 21 t t 12 分 当12t 时，等号成立13 分 探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为22平方百米14 分 20 （本题满分 （本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第3 小题满分小题满分 6 分）分） 解 : (1) 由 已 知 ， 圆 心C)3 , 0(, 3 1 m k , 2 分 则3 10 03 l k .故1 lm kk. 所以直线l与m垂直. 4 分 （直线l经过点（-1，0）和（0，3） ，所以方程为330xy） (2) 当直线l与x轴垂直时,易知1x符合题意; 5 分 当直线与x轴不垂直时,设直线l的方程为) 1( xky. 6 分 由于32PQ,所以. 1CM7 分 由1 1 3 2 k k CM,解得 3 4 k. 9 分 故直线l的方程为1x或0434 yx. 10 分 (3)当l与x轴垂直时,易得)3 , 1(M,) 3 5 , 1(N,又)0 , 1(A，则),3 , 0(AM ) 3 5 , 0( AN,故5tAM AN . 11 分 当l的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线l的 方 程 为) 1( xky, 代 入 圆 的 方 程 22 (3)4xy得 第 8 页 056)62()1 ( 2222 kkxkkxk.则, 1 3 2 2 2 21 k kkxx xM 2 2 1 3 ) 1( k kk xky MM ,即) 1 3 , 1 3 ( 2 2 2 2 k kk k kk M ,13 分 AM 2 222 31 331 (,)=1, ) 111 kkkk k kkk （.又由 , 063 ),1( yx xky 得) 31 5 , 31 63 ( k k k k N ,则 555 (,)=(1, ) 1 31 31 3 k ANk kkk . 故t 22 222 1555 (3)5(1 3 )(1) 5 (1)(1 3 )(1)(1 3 )(1 3 )(1) kkkkkk AM AN kkkkkk （）. 综上,t的值与直线l的斜率无关,且5tAM AN . 16 分 （3）另解:连结CA并延长交直线m于点B,连结,CNCM由(1)知,mAC 又lCM , 所以四点BNCM,都在以CN为直径的圆上,由相交弦定理得 5tAM ANAMANACAB . 16 分 21 （本题满分 （本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分，第分，第 3 小题满分小题满分 7 分）分） 解：(1) a a 1 1 1 ， a a 2 2 2 ， 4 4 4 a a ， ， 2 a， 4 a成等差数列， 142 2