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Go the distance 高中数学必做 100 题-数学 1 1. 试选择适当的方法表示下列集合： （1）函数 2 2yxx的函数值的集合； （2）3yx与35yx的图象的交点集合. 解： （1） 2 2 17 2 24 yxxx （3 分） 7 4 y，（5 分） 故所求集合为 7 | 4 y y .（6 分） （2）联立 3 35 yx yx ，（8 分） 解得 2 1 x y ，（10 分） 故所求集合为2, 1.（12 分） 2. 已知集合 |37Axx， |510Bxx，求() R CAB、() R CAB、() R C AB、 () R AC B. （P14 10） 解：()|310 R CABx xx或，（3 分） ()|57 R CABx xx或，（6 分） ()|710 R C ABxx，（9 分） ()|710 R AC Bx xx或.（12 分） 3. 设全集 * |9UxNx，1,2,3A，3,4,5,6B . （P12 例 8 改编） （1）求AB，AB，() U CAB，() U CAB； 解：1,2,3,4,5,6AB ，（1 分） 3AB ，（2 分） ()7,8 U CAB ，（3 分） Go the distance ()1,2,4,5,6,7,8 U CAB .（4 分） （2）求 U C A， U C B， ()() UU C AC B，()() UU C AC B； 解：4,5,6,7,8 U C A，（5 分） 1,2,7,8 U C B ，（6 分） ()()1,2,4,5,6,7,8 UU C AC B ，（7 分） ()()7,8 UU C AC B . （8 分） （3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合 Venn 图进行分析. 解：()()() UUU CABC AC B，（9 分）()()() UUU CABC AC B. （10 分） Venn 图略. （12 分） 4. 设集合 |(4)()0,AxxxaaR， |(1)(4)0Bxxx. （P14 B 4 改编） （1）求AB，AB； 解：当4a 时， 4A ，1,4B ，故1,4AB ， 4AB；（2 分） 当1a 时，1,4A，1,4B ，故1,4AB ，1,4AB ；（4 分） 当4a 且1a 时，,4Aa，1,4B ，故1, ,4ABa， 4AB. （6 分） （2）若AB，求实数 a 的值； 解：由（1）知，若AB，则1a 或 4. （8 分） （3）若5a ，则AB的真子集共有 个, 集合 P 满足条件()()ABPAB，写 出所有可能的集合 P. 解：若5a ，则4,5A，1,4B ，故1,4,5AB，此时AB的真子集有 7 个. （10 分） 又 4AB，满足条件()()ABPAB的所有集合P有1,4、4,5. （12 分） 5. 已知函数 3 ( ) 41 x f x x . Go the distance （1）求( )f x的定义域与值域（用区间表示） （2）求证( )f x在 1 (,) 4 上递减. 解： （1）要使函数有意义，则410x ，解得 1 4 x . （2 分） 所以原函数的定义域是 1 | 4 x x .（3 分） 311241(41)1311311 0 4144144144 4144 xxx y xxxx ， （5 分） 所以值域为 1 | 4 y y .（6 分） （2）在区间 1 , 4 上任取 12 ,x x，且 12 xx，则 21 12 12 1212 1333 414141 41 xxxx f xf x xxxx （8 分） 12 xx， 21 0xx（9 分） 又 12 1 , 4 x x ， 12 410,410xx ，（10 分） 12 0f xf x 12 f xf x，（11 分）函数( )f x在 1 (,) 4 上递减. （12 分） 6. 已知函数 (4),0 ( ) (4),0 x xx f x x xx ，求(1)f、( 3)f 、(1)f a 的值.（P49 B4） 解：(1)5f，（3 分）321f ，（6 分） 2 2 65,1 1 23,1 aaa f a aaa .（12 分） 7. 已知函数 2 ( )2f xxx . （P16 8 题） （1）证明( )f x在1,)上是减函数;（2）当2,5x时，求( )f x的最大值和最小值. 解： （1）证明：在区间1,)上任取 12 ,x x，且 12 xx，则有（1 分） 22 1211222112 ()()(2)(2)() (2)f xf xxxxxxxxx ，（3 分） 12 ,1,)x x ， 12 xx，（4 分） Go the distance 2112 0,xxxx即 12 ( )()0f xf x（5 分） 12 ( )()f xf x，所以( )f x在1,)上是减函数（6 分） （2）由（1）知( )f x在区间2,5上单调递减，所以 maxmin ( )(2)0,( )(5)15f xff xf （12 分） 8. 已知函数( )log (1),( )log (1) aa f xxg xx其中(01)aa且 （P84 4） （1）求函数( )( )f xg x的定义域； （2）判断( )( )f xg x的奇偶性，并说明理由； （3）求使( )( )0f xg x成立的x的集合. 解： （1）( )( )log (1)log (1) aa f xg xxx. 若要上式有意义，则 10 10 x x ，即11x . （3 分） 所以所求定义域为11xx （4 分） （2）设( )( )( )F xf xg x，则 ()()()log (1)log(1)( ) a FxfxgxxxF x .（7 分） 所以( )( )f xg x是偶函数. （8 分） （3）( )( )0f xg x，即 log (1)log (1)0 aa xx，log (1)log (1) aa xx. 当01a时，上述不等式等价于 10 10 1 1 x x xx ，解得10x .（10 分） 当1a 时，原不等式等价于 10 10 1 1 x x xx ，解得01x.（12 分） 综上所述, 当01a时，原不等式的解集为10xx ；当1a 时，原不等式的 解集为01xx. 9. 已知函数 2 ( )(0,0) 1 bx f xba ax . （P37 例 2） （1）判断( )f x的奇偶性； （2）若 32 11 (1), log (4)log 4 22 fab，求 a，b 的值. 解： （1）( )f x定义域为 R， 2 ()( ) 1 bx fxf x ax ，故( )f x是奇函数. （6 分） Go the distance （2）由 1 (1) 12 b f a ，则210ab .（8 分） 又 log3(4a-b)=1，即 4a-b=3. （10 分） 由 210 43 ab ab ，解得 a=1，b=1. （12 分） 10. 对于函数 2 ( )() 21 x f xaaR . （1）探索函数( )f x的单调性； （2）是否存在实 数 a 使得( )f x为奇函数. （P91 B3） 解: (1) ( )f x的定义域为 R, 设 12 xx, 则 12 12 11 ()() 2121 xx f xf xaa = 12 12 22 (12 )(12 ) xx xx ,（3 分） 12 xx, 1212 220,(12 )(12 )0 xxxx ,（5 分） 12 ( )()0,f xf x 即 12 ( )()f xf x,所以不论a为何实数( )f x总为增函数. （6 分） （2）假设存在实数 a 使( )f x为奇函数, ()( )fxf x （7 分） 即 22 2121 xx aa ,（9 分） 解得: 1.a （12 分） 11. （1）已知函数( )f x图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （P40 9） x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 f (x) 3.51 1.02 2.37 1.56 0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 （2） 已知二次方程 2 (2)310mxmx 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m的取值范 围. 解： （1）由( 2)( 1.5)0ff，( 0.5)(0)0ff，(0)(0.5)0ff，（3 分） 得到函数在（2，1.5） 、 （0.5，0） 、 （0，0.5）内有零点. （6 分） （2）设( )f x= 2 (2)31mxmx，则( )f x=0 的两个根分别属于(-1,0)和(1,2). 所以 ( 1)(0)0 (2)(0)0 ff ff ，（8 分）即 ( 21) 10 (107) 10 m m ， （10 分） 17 210 m（12 分） Go the distance 12. 某商场经销一批进货单价为 40 元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表： 销售单价/元 50 51 52 53 54 55 56 日均销售量/个 48 46 44 42 40 38 36 为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （P49 例 1） 解：由题可知，销售单价增加 1 元，日均销售量就减少 2 个. 设销售单价定为 x 元，则每个利润为（x40）元，日均销量为482(50)x个. 由于400x，且482(50)0x，得4074x.（3 分） 则日均销售利润为 2 (40)482(50)22285920yxxxx ，4074x. （8 分） 易知，当 228 57 2 ( 2) x ，y 有最大值. （11 分） 所以，为了获取最大利润，售价定为 57 元时较为合理. （12 分） 13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数函数型变 化，满足关系式 400 0 t QQ e ，其中 0 Q是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含 量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（P44 9） 解： （1） 0 0Q ，0 400 t ，1e ， 400 0 t QQ e 为减函数. （3 分） 随时间的增加，臭氧的含量是减少. （6 分） （2）设 x 年以后将会有一半的臭氧消失，则 400 00 1 2 x Q eQ ，即 400 1 2 x e ，（8 分） 两边去自然对数， 1 ln 4002 x ，（10 分） 解得400ln2278x .（11 分） 287 年以后将会有一半的臭氧消失. （12 分） 14. 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件，为 了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产 量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数 2 ( )f xpxqxr（其中, ,p q r为常 数，且0p ）或指数型函数( ) x g xa bc（其中, ,a b c为常数） ，已知 4 月份该产品 Go the distance 的产量为 1.37 万件， 请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由. （P51 例 2） 解：当选用二次函数 2 ( )f xpxqxr的模型时， 2 0f xpxqxr p，由 12,21.2,31.3fff，有 1 421.2 931.3 pqr pqr pqr ， 解得0.05,0.35,0.7pqr，（4 分） 41.3f.（5 分） 当选用指数型函数( ) x g xa bc的模型时， , x g xa bc 由 11,21.2,31.3,ggg 有 2 3 1 1.2 1.3 a bc a bc a bc ，解得0.8,0.5,1.4abc， （9 分） 41.35g.（10 分） 根据 4 月份的实际产量可知，选用0.80.51.4 x y 作模拟函数较好. （12 分） 15. 如图，OAB是边长为 2 的正三角形，记OAB位于 直线(0)xt t左侧的图形的面积为( )f t. 试求函数 ( )f t的解析式,并画出函数( )yf t的图象. （P126 B2） 解： （1）当01t 时， 如图，设直线xt与OAB分别交于C、D两点，则 OCt， 又 3 3 1 CDBE OCCE ，3CDt， 2 113 3 222 f tOCCDttt （4 分） （2）当12t 时， 如图，设直线xt与OAB分别交于M、N两点，则2ANt， x y O B A x=t Go the distance 又 3 3 1 MNBE ANAE ，3 2MNt 2 2 1133 23322 33 2222 f tANMNttt （8 分） （3）当2t 时， 3f t . （10 分） 2 2 3 ,01 2 3 2 33,12 2 3,2 tt f tttt t （12 分） 16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂 量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y（微克） 与时间 t（小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 微 克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？ （P45 例 3） 解： （1）当 0t1 时，y=4t；（2 分） 当