长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案.pdf

书书书 理科数学? 长郡版? ? 题 ? 答 ? 要 ? 不 ? 内 ? 线 ? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 密 ? 号 ? 学 ? 名 ? 姓 ? 级 ? 班 ? 校 ? 学 长郡中学? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期入学考试 数?学? 理科? 得分? ? ?本试卷分第?卷? 选择题? 和第?卷? 非选择题? 两部分? 共?页?时量 ? ? ?分钟?满分? ? ?分? 第?卷 一? 选择题? 本大题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选 项中? 只有一项是符合题目要求的? ? ? ?设集合? ? ? ? ? ? ? 集合? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?数列? 中? 若? ? ? ? ? ? ? 则该数列的通项? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?执行如图所示的程序框图? 则输出的?是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或? ? ?定义在?上的偶函数? ? 当?时? ? ? ? ? 则函数?的零点个 数为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知?为两条不同的直线? ? ?为两个不 同的平面? 给出下列?个命题? ?若? 则? ?若? 则? ?若? 则? ?若? 则? 其中真命题的序号为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的三个顶点是? ? ? ? ? 直线?将? ? ?分 割成面积相等的两部分? 则?的值是 槡? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? 槡? ? 理科数学? 长郡版? ? ? ?已知实数?满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ?的最小值是 ? ? ? ? ? ? ? ?已知两圆相交于两点? 和? ? 且两圆的圆心都在直线? ? ?上? 则?的值是 ? ? ? ? ? ? ? ?如图? 小方格是边长为?的正方形? 图中粗线画出的是某几何体的三视 图? 则该几何体的体积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若关于?的方程? ? ? ? ? ? ? ?且? 有两个不等实根? 则?的取 值范围是 ? ? ? ? ? ? ? ?已知?是? ? ?内的一点? 且 ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? 若? ? ? ? ? ?的面积分别为? ? ? 则? ? ? ?的最小值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对于函数? ? 和区间? 如果存在? 使得? ? ? 则称?是函数? 与? 在区间?上的? 互相接近点?现给出四组 函数? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则在区间? ? 上存在唯一? 互相接近点? 的是 ? ? ? ? ? ? ? ? 选择题答题卡 题?号 ? ? ? ? ? ?得分 答?案 理科数学? 长郡版? ? 第?卷 二? 填空题? 本大题共?小题? 每小题?分? 共? ?分?把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上? ? ? ?已知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则不等式? ?的解集是 ? ? ? ?若直线?与曲线? ?槡 ?有两个不同的公共点? 则实数? 的取值范围为? ? ? ?用一个边长为?的正三角形硬纸? 沿各边中点连线垂直折起三个小三角 形? 做成一个蛋托? 半径为?的鸡蛋? 视为球体? 放在其上? 如图? ? 则鸡蛋 中心? 球心? 与蛋托底面的距离为? ? ? ?已知数列? 中各项是从?这三个数中取值的数列? 前?项和为 ? 定义? ? 且数列? ? 的前?项和为? 若? ? ? ? ? ? 则数列? 的前? ?项中?的个数为? 三? 解答题? 本大题共?小题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演 算步骤? ? ? ? 本小题满分?分? 已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是奇函数? ? ? 求实数?的值? ? ? 若函数? 在区间? ? ? 上单调递增? 求实数?的取值范围? 理科数学? 长郡版? ? ? ? ? 本小题满分?分? 已知? ? ?的内角? ?的对边分别为? 且满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求? ? 的值? ? ? 若? ?槡? ? 求? ? ?的面积? 理科数学? 长郡版? ? ? ? ? 本小题满分?分? 已知平面上三点? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?坐标原点? ? 求向量 ? ? ? ?与 ? ? ? ?夹角?的大小? ? ? 若 ? ? ? ? ? ? ? ? 求? ? ?的值? 理科数学? 长郡版? ? ? ? ? ? 本小题满分?分? 如图? ? ? ?所在的平面与长方形? ? ? ?所在的平面垂直? ? ? ? ? ? ? ? ? ?点?是? ?边的中点? 点?分别在线段? ? ? 上? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证明? ? ? ? ? 求直线? ?与直线? ?所成角的余弦值? 理科数学? 长郡版? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 在平面直角坐标系? ? ?中? 圆? ? ? ? ? ? ? ? 圆心为? 圆?与直 线? ?的一个交点的横坐标为? ? ? ? 求圆?的标准方程? ? ? 直线?与?垂直? 且与圆?交于不同两点? 若? ? ? ? 求直线 ?的方程? 理科数学? 长郡版? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 已知数列? ? ? ? ?为数列? 的前?项和? 向量? ? ? ? ? ? ? 若? ? 求数列? 的通项公式? ? ? 若? ? ? ? ? ?证明? 数列? 为等差数列? ?设数列? 满足? ? ? ? ? 问是否存在正整数? ? ? 且? ? ? ? 使得?成等比数列? 若存在? 求出?的值? 若不存在? 请说明理由? 书书书 理科数学参考答案? 长郡版? ? 长郡中学? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期入学考试 数学? 理科? 参考答案 一? 选择题 题 号 ? ? ? ? 答 案 ? ? ? ? ? ? ? 解析? 因为? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 即数列? ? 是以? ? ? ? ?为首项? ?为公比的等比数列? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 依题意知? 若 ? ? ?与?垂直? 则有? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? 若 ? ? ?与?平行? 则有? ? ? ? ? 解得? ? ?结合题中的程序框图? 输出的?是? ? ? ? ? ? ? 解析? 是?上的偶函数? 当? ? ?时? ? ? ? ?当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根 据 图 形 可 判 断 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与? ?有?个交点? 即可得出函数? ?零点个数为? 故选? ? ? ? ? ? 解析? 若? ? 则?与?的位置关系不能确定? 所以命题? 错误? 若? ? 则? 命题?正确? 若两平面垂直于同一条直 线? 则这两平面平行? 所以命题?正确? 两直线同时平行于一个平面? 这 两条直线的位置关系不能确定? 所以命题?不正确?综上所述? 选? ? ? ? ? 解析? ?所在的直线方程为? ? ? ? 直线?与? ?交于? 与? ?交于? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?点的坐标为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ?槡? ? 理科数学参考答案? 长郡版? ? ? ? ? 解析? 作出不等式组 ? ? ? ? ? ? ? ? 所表示的平面区域? 如图中阴影部 分所示? 由图易知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? 平移直线? ?可知? 当直线经过点? ? 时?取得最小值? 最小值 为? ?故选? ? ? ? ? 解析? 已知两圆相交于两点? ? 和? ? 且两圆的圆心都在直线 ? ? ?上? 所以公共弦方程为? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? 因为? 在公共弦上? ? 中点在连心线上? 即? 在连心线 上? 所以? ? 所以? ? 选? ? ? ? ? 解析? 由三视图知? 该几何体是由一个边长为?的正方体挖去一个 底面半径为? 高为?的半圆锥而得到的组合体? 所以该几何体的体积 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选? ? ? ? ? 解析? 方程? ? ? ? ? ? ? ?且? 有两个实数根转化为函数 ? ? ? ? ?与? ? ?有两个交点?当? ? ?时? 如图? ? ? ? ? 即? ? ? 当? ?时? 如图? 而? ? ? ?不符合要求? 综上知? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由题可得? ? ? ? 即? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? 当且仅当? ? ?时取等号? 故? ? ? ? 的最小值为? ? 故选? ? ? ? ? ? 解析? 对于? ? ? ? ? ? ? ? 当? ? ?时? ? ? 故?符合? 对于? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ?槡? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? 故?不 理科数学参考答案? 长郡版? ? 符合? 对于? ? ? ? ? ? ? ? ? 故?不符合? 对于 ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故?符合? 故选? 二? 填空题 ? ? ? ? ? ? ? ? 解析?依题意得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? 解析? 因为? ?槡 ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 表示圆心为? ? 半径为?的右半圆? 圆心? ? ? 到直线? ?的距离为? ? ? ? 槡 ? ? 解得? ? 槡 ?或? 槡? ? ? ? 舍去? ? 当直线?过点? ? 时? 直线与圆有 两个交点? 此时? ? ?所以要使直线?与曲线? ? ?槡 ? 有两个不同的公共点? 所以? ? 槡? ? ? 即实数?的取值范围为? 槡? ? ? 故答案为?槡? ? ? ? ? ? 槡 ?槡 ? ? 解析? 由题意可知蛋槽的高为槡 ? ? 且折起三个小三角形顶点 构成边长为?的等边三角形? ? ? ? ? ? 所以球心到面? ? ? ? ? ?的距离? ? ? 槡 ? ? ? ?槡 ? ?槡 ? ? ?鸡蛋中心与蛋槽底面的距离为槡 ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?数列? 中各项是从? ?这三个整数中取值? ?数列? 的前? ?项中?的个数为? ? ? ? ? ? ? ? ?故答案为? ? ? 三? 解答题 ? ? ? 解析? ? 设? ? 则? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 又? ? 为奇函数? 所以? ? 于是? ?时? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? 要使? 在? ? ? 上单调递增? 结合? ? 的图象知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? 故实数?的取值范围是? ? 理科数学参考答案? 长郡版? ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? 槡 ? ? 即? ? ?的面积为槡 ? ? ? ? ? 解析? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? ? ? ?且点?为? ?的中点? ? ? ? 又面? ? ?面? ? ? ? 且面? ? ?平面? ? ? ? ? ? ?平面? ? ? ? ?平面? ? ? ? 又? ?平面? ? ? ? ? ? ? ? ? 连接? ? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为直线? ?与直线? ? 所成角或其补角? 在? ? ?中? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? 槡? ? ? 由余弦定理可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ?直线? ?与直线? ?所成角的余弦值为 槡? ? ? ? ? ? ? ? 解析? ? 由圆?与直线?的一个交点的横坐标为? 可知交点坐标为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? 所以圆的标准方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? 可知圆的圆心?的坐标为? ? 理科数学参