近世代数课件--4.1.素元、唯一分解环.ppt

1. 素元、唯一分解 1.1整除及其性质 1.2单位与相伴元 1.3真因子 1.4素元 1.5唯一分解 1.1整除及其性质 要在一个整环里讨论因子分解，我们首 先需要把整数环的整除以及素数两个概念 推广到一般整环里去。 定义1 我们说，整环 的一个元 可以被 的元b 整除，假如在 里找得出元c来，使得 假如 能被b整除，我们说b是 的因子，并且用符号 来表示。b不能整除 ，我们用符号 来表示。 整除的定义,和整数及多项式的整除定义完全 一样. 因此,一些最基本的性质可以平移过来. 例1 表达“ ”正确吗？ (2) , (3) , (1) (4) 任一个元素整除0, 特别地, 0整除0 (5) 被0整除的只有0. (传递性) 1.2 单位与相伴元 定义2 整环 的一个元 叫做 的一个单位，假 如 是一个有逆元的元。 注意: 两个表达“单位”与“单位元”的区别. 一个整环至少有两个单位，就是1和-1，在一般情形之下， 在一个整环里常有两个以上的单位存在（参看本书习题2）。 定理 1 两个单位 和 的乘积 也是一个单位 。单位 的逆元 也是一个单位。 整除的性质: (6) 任一个元 可以被单位整除 . (7) 任一个元 可以被单位整除 事实上, 这就是说，一个任意元 可以被每一个单位 和 的每一个相伴元 整除。 定义3 元b叫做元 的相伴元，假如b是 个 一个单位 的乘积： 注1. 相伴关系是等价关系. 注2. 相伴元有另外的描述: 和 是一对相伴元 和 相互整除. (留作练习) 例2发现一些整环的单位及一个元a的相伴元。 例3. 在整环中, (1) (2) 是相伴元 1.3 真因子 元 永远存在的因子 和 ,.同其它因子区别一下。 定义4 单位以及元 的相伴元叫做 的平凡因 子。 其余的 的因子，假如还有的话，叫做 的真 因子。 定理 3 整环中一个不等于零的元 有真因子 的充分而且必要条件是： b 和c都不是单位。 证明 (1) 必要性. 若 有真因子 ，那么 这里的b由真因子的定义不是单位。c也不是单 位，不然的话 b是 的相伴元，与b是 的真因子的假定不合 。 (2)充分性. 设 b 和c都不是单位。这时b不会是 的相伴元，不然 的话 c 是单位，与假定不合。这样，b既不是单位，也不 是 的相伴元，b和 的真因子。 证完。 定理 3 整环中一个不等于零的元 有真因子的 充分而且必要条件是： b 和c都不是 的相伴元。 由定理的证明, 容易得到: 推理 假定 ，并且 有真因子 。 那么c也是 的真因子。 证明 c不是单位, 否则, b是a 的相伴元. c也不 会是 a 的相伴元, 否则, b是单位。 证完。 1.4素元 我们知道，一个素数 只有因子 和 ，除了 这四个数以外素数 没有其它因子。依照上面的规 定， 都是整数环的单位， 都是 的 相伴元，所以我们可以说，素数 的一个性质是， 它只有平凡因子。素数 还有另外一个性质，就是 或 。依照素数的这些性质，定义素元 定义 整环 的一个元 叫做一个素元，假如 既不是零元，也不是单位，并且 只有平凡因子( 或曰: 没有真因子)。 按照这个定义以下事实成立： 定理 2 单位 同素元 的乘积 也是一个素元。 证明 由于 ，而整环没有零因子， 所以 。 也不会是单位，不然的话 是单位，与假定不合。 假定 有真因子b, 那么: b和c都不是单位, 注意: b和 不是单位， 有真因子, 矛盾。证完。 1.5 唯一分解 已经有了素元的定义，让我们现在看一看， 在什么情形之下可以说，一个元 可以唯一地分 解成素元的乘积。首先我们必须要求， 可以分 解成有限素元的乘积： 不然的话，我们根本无法讨论 是不是能唯一 地分解。可是 能够写成以上的乘积，也就能 够写成以下的素元的乘积： 假如我们把以上的几种分解看作不一样的，那么 只要一个元能够写成两个以上的素元的乘积，这 个元就不能有唯一的分解；这样我们的问题就没 有什么多的意义了。因此我们下以下 定义 我们说，一个整环 的一个元 在 里有唯一分解，假如以下条件被满足： （）分解性. （）唯一性. 若同时 那么 并且我们可以把 的次序掉换一下，使得 注3. 依照这个定义，一个整环的零元和单位 一定不能唯一分解.假如，我们把零写成若干 个元的乘积 那么某一个 一定是0，但0不是素元。 假如我们能把一个单位 写成若干个元的乘积： 那么 是一个单位，但单位不是素元。 所以唯一分解问题的研究对象只能是既不对于0也不是 单位的元（我们说整数都能唯一分解，也没有把0同 算上）。 注4. 注意“唯一分解”是定义，而不是定理。现在 我们就问，一个整环的不等于零的元可以没有分 解, 分解也可以不唯一. 例4 (分解不唯一的例子) 显然是一个整环。 的元都是复数，我们很 容易得到以下事实。 （1） 的一个元 是一个单位，当而且只当 的时候， 只有两个单位，就是 。 假定 是一个单位，那么 但 是一个正整数，同样 也是一个正 整数，因此有 。反过来看，假定 那么 ；这就是说， 而显然是单位 。 （2）适合条件 的 的元 一定是素元。 首先，既然 ；并且（1）， 也不是单位 。假定 是 的因子： 那么 但不管 ，b是什么整数， ，因此 若是 ，由（1）， 是单位。若是 ， 那么 ， 是单位，因而 是 的相伴元。这样 只有平凡因子， 是素元。 现在我们看 的元4的分解： （A） 因为 由（2）知道，2， 都是 的素元