2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.5空间直角坐标系学案湘教版.docx

75空间直角坐标系学习目标1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置2掌握空间两点间的距离公式知识链接在平面直角坐标系中，以点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为，两点间的距离为|P1P2|预习导引1空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面2空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标3空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|.要点一求空间中点的坐标例1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标解以BC的中点O为原点，BC所在的直线为y轴，射线OA所在的直线为x轴，点O与B1C1的中点的连线所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，AO2，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，1，0)，A1(，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，1，3)规律方法(1)题目若未给出坐标系，则建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标跟踪演练1画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系(1)求各顶点的坐标；(2)求棱C1C中点的坐标；(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标解建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)(2)棱CC1的中点为M.(3)面AA1B1B对角线交点为N.要点二求空间中对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，点P(2，1，4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4)(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2，1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)规律方法任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(x，y，z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(x，y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，y，z)求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆跟踪演练2求点A(1，2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标解如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AMCM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1)过点A作ANx轴于点N并延长到点B，使ANNB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，2，1)点A(1，2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1，2，1)；点A(1，2，1)关于x轴对称的点为B(1，2，1)(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)要点三空间中两点之间的距离例3已知ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)(1)求ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度解(1)由空间两点间距离公式得|AB|3，|BC|，|AC|，ABC中最短边是BC，其长度为.(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.AC边上中线的长度为.规律方法解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键跟踪演练3已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，1)(1)求P，Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|MQ|.解(1)|PQ|.(2)设M(0，0，z)，由|MP|MQ|，得，z6.M(0，0，6).1点(2，0，3)在空间直角坐标系中的()Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 D第一象限内答案C解析点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上2在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，4，5)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于xOy平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对答案A解析点P(3，4，5)与Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称3已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|2，则实数x的值是()A3或4 B6或2C3或4 D6或2答案D解析由题意得2，解得x2或x6.4已知A(3，2，4)，B(5，2，2)，则线段AB中点的坐标为_答案(4，0，1)解析设线段AB的中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，线段AB的中点坐标为(4，0，1)5在空间直角坐标系中，点A(1，0，1)与点B(2，1，1)间的距离为_答案解析|AB|.1结合长方体的长、宽、高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力2学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系3在导出空间两点间的距离公式过程中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想一、基础达标1空间两点A，B的坐标分别为(x，y，z)，(x，y，z)，则A，B两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于z轴对称 D关于原点对称答案B解析由A，B两点的纵坐标相同，而横、竖坐标互为相反数，可知两点关于y轴对称2在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线AC1的长为()A9 B. C5 D2答案B解析由已知求得C1(0，2，3)，|AC1|.3在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为()A(4，0，6) B(4，7，6)C(4，0，6) D(4，7，0)答案C解析点M关于y轴的对称点是M(4，7，6)，点M在坐标平面xOz上的射影是(4，0，6)4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，则A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A.a B.aCa D.a答案B解析由题意得A1(a，0，a)，C(0，a，0)，E，又F，则|EF|a.5已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)(aR)，则|AB|的最小值是()A3 B3 C2 D2答案B解析|AB|2(2a1)2(7a)2(25)25a210a595(a1)254.a1时，|AB|2的最小值为54.|AB|min3.6已知A(1，2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|PB|，则点P的坐标为_答案(0，0，3)解析设P(0，0，c)，由题意得.解之得c3，P的坐标为(0，0，3)7.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离解根据已知条件可得|A1C1|2，由|MC1|2|A1M|，可得|A1M|，如图所示，以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M，C(2，2，0)，D1(0，2，4)，N为CD1的中点可得N(1，2，2)|MN|.二、能力提升8ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是()A. B2C. D3答案C解析BC的中点坐标为M(1，1，0)，又A(0，0，1)，|AM|.9在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A. B. C. D.答案A解析设P(x，y，z)，由题意可知x2y2z2.该点到原点的距离为.10已知点A(1，a1，5)，B(a，6，2)，则|AB|的最小值为_答案解析由空间两点间的距离公式易得|AB|，所以a3时，|AB|的值最小，最小值为.11.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，|DE|，|EF|.三、探究与创新12如图所示，BC4，原点O是BC的中点，点A的坐标，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30，求AD的长度解由题意得B(0，2，0)，C(0，2，0)，设D(0，y，z)，则在RtBDC中，DCB30，所以BD2，CD2，z，2y3.所以y1.所以D(0，1，)又因为A，所以|AD|.13.如图，已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面