[高三数学]2011年高考数学学科考试说明的研究与思考.doc

2011年高考数学学科北京卷考试说明的研究与思考根据普通高中数学课程标准（实验）以及北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求（试行）制定的北京市数学学科的北京卷考试说明不仅是高三教师和学生复习备考的重要参考资料，同时也是北京高考试卷命题的依据.学习研究考试说明的目的在于以它为载体，明确北京高考在知识和能力考查方面的基本要求，准确把握北京高考命题的方向和特点，为科学备考做好充分的准备.一、 从2010年北京高考数学卷的特点看考试说明的考查要求 2010年高考是北京市进入实施新课改实验之后的第一次高考.这份高考数学试题所折射出来的信息对今后高考复习的指导意义不言而喻，对高中数学教学的导向作用也是非常重要的，结合这份高考试卷研读北京市的考试说明，能够帮助我们更深刻的理解考试说明的考查要求. 考查要求（1）：对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合试题特点1 传统的主干知识的考查是本套试卷的主体，落脚点在对数学思维品质的考查，对数学本质认识程度的检验.如2010年理科解答题15题的第二问，研究“函数”的最值问题.对学生的思维要求是：先要化简函数的解析式.化简的方向是统一函数的名称和角，最终目标是转化为熟悉的函数形式.如此，利用正余弦的平方关系将转化为非常简单，而转化为只需用一次余弦二倍角公式就能完成. 这样就得到了函数的最简单的形式：.再利用二次函数的性质研究函数就非常简单了.缺乏理性思维的学生盲目的套用公式，见到二次就用降幂公式！把转化为或，同时，为什么这样做不知道！最后在计算上又出现错误导致失分.文科18题的第二问“若在无极值点，求a的取值范围”思维的要点是能够把这个条件转化为“在内恒成立”，从而进一步转化为“”.学生一般都能先去求导，但求导之后对导函数的要求是什么？如何用导函数来刻画“函数在无极值点”，就要难倒对数学问题理解不深刻，不到位的考生.考查要求（2）：数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧试题特点2 试卷突出数学学科内部的学科特点、学科的基本思想. 数学教学的目的就是要让学生掌握数学各个单元的思维特点，学会用数学的思维方法来思考数学问题，解决数学问题.如在解决函数问题时，运用函数的思维就要分析自变量的变化是如何影响因变量的变化的.以2010年理科的第14题为例： 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 本题考查学生能否从自变量的变化，即增加了多少个单位函数值不变来求出的最小正周期.实际上，由题意并结合图象不难得出，当自变量变化到时，函数值不变，从而得出的最小正周期为4.立体几何的思维特征是确定空间中的点、线、面的位置关系.理科的第8题：如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=，DQ=，D（大于零），则四面体PE的体积（）与都有关 （）与有关，与，无关（）与有关，与无关 （）与有关，与无关本题通过空间运动背景下的几何图形的体积问题，来考查学生空间想象能力和逻辑推理的能力，着眼于想，去分析，而不是计算.其中，“四面体PE的体积是否与都有关”的思维核心就是要确定点、线段、面之间的位置关系.解析几何的思维特征就是要用代数的方法解决几何问题.思维的要点是：通过分析几何元素的几何特征进行有效的代数化，并通过代数的运算得出代数的结果，从而得到几何的结论.文科、理科的19题都是关注于解析几何基本思想的考查，学科的思维特征显著. 以理科的18题为例：在平面直角坐标系中，点与点（-1,1）关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.()求动点的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线=3交于点M,N，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。本题几何元素的几何特征是：动点的轨迹方程为，点运动引起与的面积的变化，问是否存在点使得与的面积相等.问题的焦点是点.故有效的代数化方式是：设点,并以此建立直线和的方程，通过运算得出的横坐标，进而通过与的面积相等得出点的坐标. 本题方法很多，不同方法的区别源于对几何特征代数化的不同形式的选择.可以看出：19题的平面解析几何试题全面考查了学生用代数方法研究几何问题的意识和能力，对平面解析几何教学中准确把握学科的基本思想，在平面解析几何学习中体会学科的思维特征进行了正确的导向.考查要求（3）：对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力强调探究性、综合性、应用性突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向（4）：注重试题的基础性、综合性和层次性合理调控综合程度，坚持多角度，多层次的考查试题特点3 多角度考查学生研究数学问题的意识和方法，对数学教学的导向有明确的指导意义. 以研究函数问题为例.本套试题（文科、理科）以解决问题、研究问题为命制试题的出发点，全面考查学生掌握研究函数的一般方法.（1） 利用函数的解析式研究函数的性质：会不会利用函数的解析式研究函数的性质，对于复杂的函数解析式有没有化简的意识，先化简再研究性质，是反映考生是否具备研究函数性质的基本要求.如：文科第4题：若a,b是非零向量，且，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 （2）利用函数的图象研究函数的性质： 利用函数图象的直观性是研究函数性质的有效载体，在已知函数解析式的基础上做出函数图象的简图，能够迅速得到函数的有关性质.如：文科的第6题：给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D）理科的第7题：设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 （A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, （2） 运用导数工具研究函数的性质.如理科解答题的18题的第二问:“求函数的单调区间”.本题对学生的思维的基本要求是：用导数工具研究函数的单调区间问题.思维的焦点在于求导之后，对于导函数符号的讨论.由于是函数定义域的要求，可以将对符号的讨论进一步化简为只需讨论的符号了.而已知条件限定了，从而决定了函数的类型是一次函数或二次函数，也就决定了分类讨论标准分为两大类：和.当时，二次函数的讨论涉及零点和大小的比较，还需分三种情况.题目看似不难，也是在高三复习中学生经常练习的题目，但对学生数学的思维要求不低.真正理解数学问题实质的学生解答本题得心应手，对为什么要进行讨论，如何讨论始终不得要领的学生，本题就要失去一定的分数.可以看出，这道题能够把数学基础扎实，数学思维品质优秀的学生区分出来.二、 从考试说明对高考的要求看高三后半段复习的策略 目前，记忆型的知识复习在课堂上还占有很重要的地位；缺乏理性的思考与点拨，满足于大量的习题训练仍成为数学复习的主流形式.等等.特别是在高三复习的后半段，尤其是在高考复习的冲刺阶段，让学生做大量的各区模拟试题的复习方法还被许多教师采用.这种以练代替复习的做法缺乏复习的针对性，浪费掉了很多宝贵的时间. 依据考试说明的要求，紧紧抓住“核心知识”与“核心思想”是高考数学复习的最重要的特征；概括数学的思维特点和方法是此次复习的主旋律.重复第一学期的复习，是低效的复习，也是一种对学生的不负责任的表现. 在今后的最后几个月的复习中，教师有必要帮助学生提高数学的思维品质，引导学生概括出每个单元数学知识的思维特点和思维方法，逐步树立信心去解决所面对的数学问题. 可以想见，如果我们仅仅是盲目地做题、讲题，而讲不出思维特征，讲不出思维方法，不能从一个较高的观点看待所复习的内容，不能帮助学生建立起知识的逻辑结构，学生真正提高所谓的思维能力和解题能力必然是一种不切实际的天方夜谭. 因此，教师要帮助学生不断地对所复习的内容进行概括：核心知识要概括、核心思想要概括、核心方法要概括，对每一章节、每一单元问题的解决的思维方式做一概括，提高学生对数学知识的整体的认识和对数学本质的深刻的理解.全国高考考试大纲（课标实验版）在“考查要求”指出：数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构.下面是部分章节或单元的核心结构图供老师们复习时参考.1. “函数”的核心结构图： 说明：建立知识结构图的目的，就是要使自己对所复习的内容的逻辑结构有个清晰的认识，如果学生能够结合自己对本章节内容的理解画出自己心目中的知识结构图就更好了.相反，如果合上书本，就什么也想不起来，画不出来，说明学生的复习还远远没有到位！在函数的结构图中，也把三角函数作为特殊函数列在其中，就是要学生从高中数学知识的整体高度去认识所学的知识，用联系的观点、统一的观点去认识其它章节的知识，从而利于学生更深入地理解和看待所复习的数学知识.函数是贯穿高中数学的一条主线,是主干知识，也是历年数学高考中的考查重点.复习函数的目标是什么呢？怎样就可以认为函数的复习到位了呢？其实目标只有一个，就是通过函数的复习，学生是否真正理解了函数概念的本质，是否真正掌握了函数的思维方法，是否能够用函数的思维方法去思考函数问题. 例如函数是奇函数，这句话的数学表达式如何来写呢？要能够正确地写出这句话的数学表达式，首先一点要清楚奇函数的实质是什么？所谓奇函数，即这个函数的两个互为相反的自变量对应的函数值也是互为相反数.其次要明确函数的自变量是谁？只有认识到函数的自变量是，当这个函数的自变量取和时，对应的函数值相反，即. 关于函数图象的平移，同学们已经记住了结论：“左加右减”，可是原因是什么呢？比如函数的图象向左平移一个单位得函数，为什么不是呢？实际上，的自变量是，函数与函数有联系，即都有相同的，显然，的自变量取函数的自变量减1，即时，两个函数取相等的函数值，因此，函数的图象是把函数的图象向左平移了一个单位. 函数与函数的图象是关于直线对称的，也就是关于y轴对称的.原因是：由于这两个函数具有相同的，就意味着它们之间是有关系的，比如，它们也许会取到相等的函数值.第一个函数的自变量是，第二个函数是以谁为自变量呢？仍是. 显然，当第二个函数的自变量取第一个函数自变量的相反数的时候，就是取的时候，两个函数可以取相等的函数值，即y=f-(-x)也就是.反映在图象上，就是这两个函数图象关于y轴对称！ 研究函数性质时，要掌握以下的思维和方法：首先看看自变量是如何变化的，再看看它们对应的函数值之间有什么关系，用语言及图形把这个关系说清楚，并能用符号语言表示出来，或能够读懂符号语言. 也就是说：对于函数性质的讨论，我们要学会用函数的思维去思考、解决函数性质的有关问题. 我们研究函数，就是要了解函数在自变量的变化下，函数值的相应变化！ 例如：什么是偶函数呢？很多学生能够回答：如果函数是偶函数，则 .但这个等式表达的含义却说不清楚.实际上，这个等式所表达的代数含义是：函数如果两个自变量互为相反数，则其对应函数值相等.它所体现出的几何特征是：点(x,f(x)与点（-x,f(-x)）同时在函数的图像上，由于这样的两个点，横坐标互为相反数，而纵坐标相等，因此，函数图象关于y轴对称. 函数如果满足，它的图象又具有什么特征呢？这里是函数的两个自变量，这两个自变量的特点是在轴上中点坐标是，而对应的函数值相等.因此，函数关于直线对称.但如果我们要问：函数与函数的关系时，我们就要注意到这两个函数都是以为自变量的.当函数的自变量取函数自变量的相反数的时候，这两个函数值就相等.因此，函数与函数的图象关于轴对称. 总之，函数的复习一定要学会用函数的思维去思考函数问题.不要死记硬背一些结论，而要学会分析问题并会解决问题.这不仅是我们复习函数这一章知识的目的，也是高中数学复习的最终目的.2.“三角函数”的核心结构图： 3数列的核心结构图：说明：数列是高中数学的主干知识，核心知识.在历届高考试卷中都占有十分重要的位置.复习好数列的关键在于理解数列概念的本质，学会数列的思维方法，掌握研究数列的方法.（1） 用函数的观点认识数列、解决数列问题.数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.用函数的观点来认识数列，用函数的思维理解数列问题，用研究函数的方法来解决数列问题，是我们复习数列知识首先要达到的目标.如：已知数列，求前30项中最大的项和最小的项.我们考察函数的单调性.因为可以得到函数的图象：由反比例函数性质可知，函数在（0，）上单调递减，且，在也是单调递减，且.由于9是（0，）内的最大的整数，10是内的最小的整数.故当x只取不超过30的自然数时， （2）在数列的复习中，要了解数列问题的思维特征. 思维特征要关注数列的属性：当你拿到一个数列问题是时，首先要判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如是，用公式和性质解决. 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法.这是解决数列问题的基本思路. 如：求和： （）.对于这个问题，你不要被它的外在的形式所困扰，而应首先对求和的数列的属性作出判断.通过后项与前项的比不能发现这是一个项数为n+1,公比为的等比数列. 思维特征 要关注数列的项数：如：设，求的值.在你判断出这是一个公比为8的等比数列之后，数列的项数的确定就是一个主要的问题.如果认为这是n项的求和，那就错了.实际上，你可以用归纳法来思考： 有5项； ，有6项； ，有7项；.。由此归纳得：有n+4项.你也可以从2的指数是等差数列这个特点入手，同样可以得到有n+4项. 实际上，关注数列的项数，相当于关注函数的自变量，其重要性也就不言而喻了. （3）掌握研究数列的基本方法.方法研究数列的通项.对于数列来说，通项确定了，数列也就确定了.数列的通项相当于函数的解析式.从研究的角度看，数列通项与数列的前n项的和的关系问题是数列的基本问题之一. 这种关系是：，体现在两个方面：其一：由求. 上升到能力层面，就是如果数列的前n项和所构成的数列是特殊数列的话，可以先求，再利用与的关系求出数列的通项.如：已知数列，=，=,求通项公式. 用归纳法分析知： a=-2 =-2 a=-4 a=-8 故从第二项起是等比 可以看出：是等比数列 从而，将条件“=”变形为为 有 所以， 故数列是首项，公比为2的等比数列. 因此， 由此可以求得：=另一方面：通项与前n项的和的关系体现在由求.对于非等差、等比数列的的求解来说，通过观察数列的通项特点，选择相应的方法如：错位相减法，裂项相消法等.方法研究数列的项与项的关系问题.在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推关系给出的.如：我们熟悉的等差数列和等比数列实际上都是递推数列.等差数列可以表示成 （是常数），等比数列可表示为（都是为不零的常数）,而且数列的递推关系也是获得一个数列的通项公式的途径.递推数列的热点问题是求通项及其前n项和.求递推数列的通项公式的方法较多，也比较灵活，主要应掌握一些常见的方法,其解题的基本思想方法是：把问题转化为等差数列或等比数列的问题加以解决.4.立体几何的核心结构图： 5.平面解析几何的核心结构图：说明：平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科.它的基本思想简单说就是用代数方法解决几何问题. 解析几何课总复习的根本任务就是深刻领会“平面解析几何”的基本思想，把握“平面解析几何”的本质.解析几何的基本思想可以用下面的框图表示为：可以看出：平面解析几何研究的是几何问题，要得到的也是几何的结论.但它使用的方法却不是几何问题中常用的演绎推理的思维方法，而是用代数的知识和方法去解决.为此，采取了如下的三步：第一步：就是要把几何对象如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等代数化，也就是在平面直角坐标系中建立它们的方程.当然，这是最基本的代数化，随着学习的深入，我们还要将各种不同情况下的几何元素的几何特征进行代数化. 第二步：就是在代数化的基础上，进行代数运算；第三步，从代数的结论中分析出几何的特征，得出几何的结论. 在复习中，重点要放在第一步和第三步，要能够从中体会解析几何的思维特征，要学会用解析几何的思维方法分析问题和解决问题. 在复习中，怎样体会解析几何的基本思想呢？复习的效果体现在哪里呢？解析几何思维的落脚点放在那里？关键是同学们在复习中要解决好以下两个问题：问题1：怎样把几何问题转化为代数问题呢？ （1）首先，在复习中，要能主动的去理解几何对象的本质特征.这是实现几何问题代数化的基础. 解析几何毕竟是几何，决不能忽视对几何对象的几何特征的认识与理解. 解析几何审题的主要目的之一，就是要理解几何对象的几何属性，为准确的代数化打好基础. 例如：直线y=kx+1与圆交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称.求m+k 的值. 通过审题，学生要能够得到直线与圆的几何特征是：MN是圆的弦；弦MN被直线x+y=0垂直平分. 这样就可以进一步分析得出几何特征：圆的圆心在直线x+y=0上，而这个几何特征的代数化就是圆心坐标（，）满足直线方程x+y=0，进而得到结果：m+k=0. 可以看出：对几何对象进行代数化的关键在于挖掘几何对象的几何特征，而要做到这一点，就要在审题上下功夫.（2）在进行代数化的时候要学会选择恰当的代数化的形式. 很多学生在做解析几何的题目的时候，往往做到一半，就做不下去了，其原因主要就是代数化的形式不恰当造成的.如看到“垂直关系”就想到用“勾股定理”进行代数化；见到“线段相等”就用两点间的距离公式.这种不假思索的代数化往往会使我们的解题陷入困境.比较好的做法是：如果见到条件如“”的时候，在将点代数化即之后，最好的代数化形式是：“”，从而得到其坐标形式“”； 如果见到条件如“”的时候，应该是先取线段AB的中点M，这样就会得到两个非常重要的几何特征：中点和垂直关系.而其代数化在解析几何里是最为常见的.(3)代数化一定是等价的.如果对所研究的几何对象的代数化是不等价的形式，随后的代数运算的结果以及所得到的几何结论一定是错误的.例如：双曲线的右支上一点P（a,b）到的距离为，求a+b的值一种做法是：由得：；又因为点P（a,b）在双曲线的右支上，故，从而得到：.这个解法是错误的.原因是“”是“双曲线上一点P（a,b）”的代数化. “双曲线的右支上一点P（a,b）”与代数化“”是不等价的.问题2：解析几何复习的另一个主要任务，即是提高将“代数结论”向“几何结论”转化的意识和能力. 这种转化突出的特征是 “数”“方程”向“形”的转化. 也就是说，要能够从几何对象的代数形式中去分析它的几何特征，这也是解析几何思维特征之一. 如已知方程，我们即使不做图也能够从这个方程中知道这是一个半径为2，圆心坐标为（，）的圆；如给出方程y=kx+k，我们应该知道方程所表示的这不是一条直线，而是无数条直线，给一个k值，就对应着一条直线.为什么这些直线可以用一个方程的形式写出来呢？说明这一定是有一个共同的几何特征的.特征是什么？我们来分析方程，原方程即y=k(x+1),表明x=1时,y=0,因此，这些无数条直线都过定点（1，0）.我们分析这样一个例子：点P在曲线上，若则= .原题没有告诉点P在双曲线的那一支上. 分析双曲线的方程，我们知道： , 所以，点P不可能在右支上，故：-2a = 8 得 = 17 如果没有注意分析方程所提供的几何特征，就可能这样做： 根据双曲线的定义： ，故 ，从而得出一个错误的答案1或17. 可见，要正确解答本题，需要你能够从“点P在曲线上，若”读出许多几何的特征出来.总之，通过平面解析几何复习，要掌握解析几何的基本思想，要体会解析几何的思维方法.只有不断深入地领悟这种思维方法，努力尝试应用这种思维模式去解决问题，才有可能使得我们的解析几何的复习落到实处，有所收获.6.统计的核心结构图：三、研究2010年高考典型考题和考试说明样题，把握备考的针对性.考试说明第三部分中的参考样题，不仅有今年高考新增内容的部分题型示例，也有历届高考试题中的重点内容，不仅有详细的知识点分析和解题过程，并标注了这些试题的难度系数.如何用好这些参考样题，也是我们在备考中要关注的问题.特别是研究2010年高考试题，更是提高备考针对性，提高复习效率的重要工作. 例题1 （2010年北京卷理科15题）已知函数。（）求的值；（）求的最大值和最小值。命题意图：本题主要考查特殊角的三角函数值和简单的三角变换。要求学生能正确运用三角函数的概念和公式（如二倍角公式和同角的三角函数关系等）对已知的三角函数进行化简、求值。同时考查了运算能力。本题的考查体现了考试说明的要求，考题的定位注重三角函数的工具性和基础性。学生的主要错误：1、变形的目的不明确、方向性不强，盲目套用公式，如：使问题变得复杂，或正用、逆用同一个公式把题目变过来再变回去.2、把三角函数解析式的化简与解方程混淆，如：3、缺少必要的变形过程和运算过程，如：=，4、特殊角的三角函数值记错；5、认为三角函数的最值一定在时取得；教学建议：1、三角函数是函数版块的重要组成部分，是重要的函数模型。这部分的教学，应该“函数立意”，不能让学生误以为这部分的内容就是“背公式、套公式”，要让学生真正地理解函数的概念。如本题的第一问就是已知自变量值求函数值。变形不是必需的。不论文科还是理科题，直接求值并不难；2、三角变换的目的是化简，化简的最终结果是为了把问题本质的东西更好地体现出来，所以教学中要讲清三角变换的目的、思路和方法，准确把握变换目标、变换对象，从宏观上把控变换方向。一切为实现目标服务，避免机械、盲目地套用公式。只有理解了变换的目的，才能做恰当的变换；3、教学中处理好质与量的关系。盲目的重复训练，不利于基础知识的掌握、基本技能的提高。要注意解题思路的展示和解题后的反思。讲一个题就把它讲透，同时加强学法指导.例题2 （2010年北京卷理科18题）已知函数.（）当时，求曲线在点（1）处的切线方程；（）求的单调区间.命题意图：从能力的角度看，考查学生研究函数的意识和能力；从知识的角度看，考查了学生导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性的知识. 本题对学生的思维的基本要求是：用导数工具研究函数的单调区间问题.思维的焦点在于求导之后，对于导函数符号的讨论.学生典型错误：1、不考虑函数的定义域；2、对k的讨论不全，只分k=0和k0两种情况；或没有注意到已知条件中的这个条件，还讨论了；3、计算错误：如求导出错；分类时由得，由得；函数的零点算错，错写成.教学建议：1、教学中要注意函数的思维方式的教学，研究函数要关注自变量，关注自变量的取值范围；2、分类讨论时，分类的标准是什么？如何确定分类讨论的标准？在教学时一定要给学生讲明白.3、研究函数的意识和方法，仍然是函数教学与函数复习的重点和难点，要通过教学，帮助学生树立研究函数