江苏专版2018版高考数学复习解析几何初步练习文.docx

第十章解析几何初步第54课直线的基本量与方程A应知应会1. 直线x=tan的倾斜角为.2. 若经过A(4,2y+1),B(2,-3)两点的直线的倾斜角为,则实数y=.3. 经过点(-1,8)和(4,-2)的直线的两点式方程是,截距式方程是,一般式方程是.4. 若A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则实数a=.5. 求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程:(1) 经过点(,-1);(2) 在y轴上的截距是-5.6. 过点P(1,4)引一条直线,使这条直线在两个坐标轴上的截距均为正值,且它们的和最小,求这条直线的方程.B巩固提升1. 已知直线l的倾斜角为,且,则直线l的斜率k的取值范围是.2. 若k,-1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点.3. 已知点A(1,3),B(-2,-1),若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则斜率k的取值范围是.4. 记直线x-3y-1=0的倾斜角为,若曲线y=ln x在点(2,ln 2)处切线的倾斜角为,则+=.5. (2016南通一中改编)已知点(x,y)在直线l上,点(4x+2y,x+3y)仍在此直线上,求直线l的方程.6. 已知直线l经过点M(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,O是坐标原点.(1) 当ABO的面积最小时,求直线l的方程;(2) 当MAMB取得最小值时,求直线l的方程.第55课两条直线的位置关系A应知应会1. (2016上海卷)已知直线l1:2x+y-1=0与l2:2x+y+1=0平行,那么直线l1,l2间的距离d=.2. 若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程为.3. (2016苏北四市模拟)已知直线l1:(a-1)x+2y+1=0与 l2:x+ay+3=0平行,那么实数a=.4. 已知直线l到直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,那么直线l的方程为.5. 已知直线l1:(m+3)x+2y=5-3m与l2:4x+(5+m)y=16,求分别满足下列条件的m的值.(1) l1与l2相交;(2) l1与l2平行;(3) l1与l2重合;(4) l1与l2垂直.6. 已知直线l1:ax-by+4=0与直线l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值:(1) 直线l1过点(-3,-1),且直线l1与l2垂直;(2) 直线l1与直线l2平行,且坐标原点到l1,l2的距离相等.B巩固提升1. 已知直线l:x+2y-2=0,那么点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标为.2. (2016南师附中调研)已知直线l经过点P(3,4),点A(-2,2),B(4,-2)到直线l的距离相等,那么直线l的方程为.3. 已知直线l:y=3x+3,那么直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程为.4. (2016南京、盐城调研)若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是.5. 已知直线l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.(1) 求a的值.(2) 能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:与P在第一象限;点P到l1的距离是点P到l2的距离的;点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是?若能,求点P的坐标;若不能,请说明理由.6. 若直线y=2x是ABC中ACB的平分线所在的直线,且顶点A,B的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求顶点C的坐标,并判断ABC的形状.第56课圆的方程A应知应会1. 与圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为.2. 若直线y=x+b平分圆x2+y2-8x+2y+8=0 的周长,则实数b的值为.3. 若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是.4. 圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为.5. 已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,0),B(1,1),C(4,2),求ABC外接圆的方程.6. 若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出半径最小的圆的方程.B巩固提升1. (2015全国卷改编)已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(0,),C(2,),那么ABC外接圆的圆心到原点的距离为.2. 已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,那么2x-y的最大值与最小值的和为.3. 已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上,若点P的坐标满足不等式x+y+m0,则实数m的取值范围是.4. (2016南京一中)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0),且被x轴分成的两段圆弧的长度之比为12,那么圆C的方程为.5. (2016扬州中学)已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.(1) 求证:不论m取何实数,曲线C恒过一定点;(2) 求证:当m2时,曲线C是一个圆.6. 如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tanBCO=.(1) 求新桥BC的长;(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?(第6题)第57课直线与圆的位置关系A应知应会1. (2016北京卷改编)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为.2. (2016山东卷改编)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,那么圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是.3. 以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为.4. 若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点坐标是(1,2),则直线PQ的方程是.5. 已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(mR).(1) 求证:不论m取什么值,圆心在同一条直线l上;(2) 与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离?6. 已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于点A,B.(1) 若AB=,求MQ的长度及直线MQ的方程;(2) 求证:直线AB过定点.B巩固提升1. (2016扬州模拟)已知过点A(3,1)的直线l与圆C:x2+y2-4y-1=0相切于点B,那么=.2. (2016苏北四市模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,则当SAOB=1时,直线l的倾斜角为.3. (2016青岛一模)已知过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,那么弦长AB=.4. (2016南京、盐城一模)在平面直角坐标系中,已知过点P(-4,0)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=5相交于A,B两点.若A恰好是线段PB的中点,则直线l的方程为.5. 已知圆P满足:截y轴所得的弦长为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为31;圆心到直线l:x-2y=0的距离为.求该圆的方程,并判断该圆与直线x-y+2=0的位置关系.6. (2016江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1) 若圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2) 若平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3) 若点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.(第6题)第58课圆与圆的位置关系A应知应会1. 圆x2+y2=36与圆x2+y2-8x-6y=0的公共弦所在直线的方程为.2. (2016镇江中学)已知集合A=(x,y)|x2+y2=4,B=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2,其中r0.若AB中有且仅有一个元素,则r的值是.3. (2016如东中学)已知点M在圆C1:x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆C2:x2+y2+2x+4y+1=0上,那么MN的最大值为.4. (2016无锡一中)若两圆相交于点(1,3)和(m,-1),且两圆的圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c=.5. 当实数k为何值时,圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0和圆C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交、相切、外离、内含?6. 求经过圆x2+y2=58与直线6x+8y-3=0的交点,且分别满足下列条件的圆的方程:(1) 面积最小的圆;(2) 圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3.B巩固提升1. 经过圆4x2+4y2+3x+y-8=0与圆3x2+3y2-2x+4y-10=0的交点,且经过原点的圆的方程是.2. 若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是.3. (2016前黄中学)已知圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距离都为1,那么实数a的取值范围是.4. (2015南京三模)在平面直角坐标系中,圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9,直线l:y=kx+3与圆C相交于A,B两点,M为弦AB上一动点.若以M为圆心、2为半径的圆与圆C总有公共点,则实数k的取值范围为.5. (2016如皋中学)如图,已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且PQ=PA.(1) 求a,b之间的表达式;(2) 求PQ的最小值;(3) 以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试求出半径最小的圆的方程.(第5题)6. (2016金陵中学)在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1) 若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2, 求直线l的方程;(2) 设P为坐标平面内一点,存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.第59课直线与圆的综合问题A应知应会1. (2016常熟中学)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点.2. 若M(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点,则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系是.(填“相离”“相交”或“相切”)3. (2016淮阴中学)若a0,b0,4a+b=ab,则在以(a,b)为圆心、a+b为半径的圆中,面积最小的圆的标准方程是.4. (2016启东中学模拟)已知圆O的方程为x2+y2=2,圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=1,过圆M上任一点P作圆O的切线PA.若直线PA与圆M的另一个交点为Q,则当弦PQ的长度最大时,直线PA的斜率是.5. 已知圆C:x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1=0(mR,m0).(1) 证明圆C恒过一定点M,并求定点M的坐标;(2) 试判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系,并证明你的结论.6. (2016芜湖模拟)如图,在四边形ABCO中,=2,其中O为坐标原点,A(4,0),C(0,2).若M是线段OA上的一个动点(不含端点).设点M的坐标为(a,0),记ABM的外接圆为圆P.(1) 求圆P的方程;(2) 过点C作圆P的切线CT(T为切点),求CT的取值范围.(第6题)B巩固提升1. 若过点P(1,1)的直线将圆形区域(x,y)|x2+y24分为两部分,且使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为.2. (2016武汉模拟)已知AC和BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,),那么四边形ABCD面积的最大值为.3. (2016无锡一中)已知直线系M:xcos+(y-2)sin=1(02),若点P到直线系M的距离为定值,则点P的坐标为.4. (2016南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴的正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1外切,且APB的大小恒为定值,则线段OP的长为.5. 已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.(1) 求与圆C相切且与直线l垂直的直线方程;(2) 在直线OA(O为坐标原点)上存在点B(不同于点A),满足对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.6. (2016新海中学)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,0),B(4,0),C(0,-2),半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y轴的右侧,圆M被y轴截得弦长为r.(1) 求圆M的方程.(2) 当r变化时,是否存在定直线l与动圆M均相切?如果存在,求出定直线l的方程;如果不存在,请说明理由.第十章解析几何初步第54课直线的基本量与方程A应知应会1. 【解析】因为直线的方程为x=tan=1,斜率不存在,所以倾斜角为.2. -3【解析】由题意知=tan =-1,解得y=-3.3. =+=12x+y-6=04. 4【解析】kAC=1,kAB=a-3.因为A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.5. 【解答】因为直线的方程为y=-x+1,所以k=-,倾斜角=120,由题知所求直线的倾斜角为30,即斜率为.(1) 因为直线经过点(,-1),所以所求直线方程为y+1=(x-),即x-3y-6=0.(2) 因为直线在y轴上的截距为-5,所以由斜截式知所求直线方程为y=x-5,即x-3y-15=0.6. 【解答】方法一:设直线方程为y-4=k(x-1),则这条直线在x轴、y轴上的截距分别为1-,4-k.由于1-0且4-k0,可得k0,b0).由题意知+=1.令S=a+b.得S=(a+b)=5+5+4=9.当且仅当=,即2a=b,即a=3,b=6时,取等号.故所求直线方程为+=1,即2x+y-6=0.B巩固提升1. 1,+)【解析】由k=tan ,根据正切函数图象可知k1,+).2. (1,-2)【解析】因为k,-1,b成等差数列,所以k+b=-2,即b=-2-k,所以直线方程可化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).3. 【解析】由题意知直线l恒过定点P(2,1),如图所示.若l与线段AB相交,则kPAkkPB.因为kPA=-2,kPB=,所以-2k.(第3题)4. 【解析】直线x-3y-1=0的斜率k=tan =,曲线y=ln x在点(2,ln 2)处的切线的斜率k=tan =,故tan(+)=1.又0,00.由此得S=b=b=b+1+=b-1+22+2=4.当且仅当b-1=,即b=2时,面积S取得最小值4,此时a=4,直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0.(2) 如图,设BAO=,则MA=,MB=,所以MAMB=,则当=45时,MAMB有最小值4,此时直线l的斜率为-1,所以直线l的方程为x+y-3=0.第55课两条直线的位置关系A应知应会1. 【解析】d=.2. 3x+2y-1=0【解析】由题意知直线l的斜率为-,因此直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.3. -1或2【解析】若a=0,则两条直线方程分别为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,不平行,所以a0;若a0,因为两直线平行,所以=,解得a=-1或2.4. 2x-y+1=0【解析】因为直线l到两直线的距离相等,所以直线l一定与两直线平行.设直线l的方程为2x-y+m=0,则由两条平行线之间的距离公式有=,解得m=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.5. 【解答】由=,得m2+8m+7=0,解得m1=-1,m2=-7.由=,得m=-1.(1) 当m-1且m-7时,l1与l2相交.(2) 当m=-7时,l1l2.(3) 当m=-1时,l1与l2重合.(4) 当(m+3)4+2(5+m)=0,即m=-时,l1l2.6. 【解答】(1) 因为l1l2,所以a(a-1)+(-b)1=0,即a2-a-b=0.又点(-3,-1)在直线l1上,所以-3a+b+4=0.由解得a=2,b=2.(2) 因为l1l2,所以=1-a,所以b=,故l1和l2的方程可分别表示为(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0.又原点到l1,l2的距离相等,所以4=,解得a=2或,所以a=2,b=-2或a=,b=2.B巩固提升1. 【解析】设点P关于直线l的对称点为P(x0,y0),则线段PP的中点M在直线l上,且PPl,所以解得即点P的坐标为.2. 2x+3y-18=0或2x-y-2=0【解析】显然直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由题意知=,解得k=2或k=-,所以直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.3. 7x+y+22=0【解析】由 得交点为P.又直线x-y-2=0上的点Q(2,0)关于直线l的对称点为Q,故所求直线(即PQ)的方程为=,即7x+y+22=0.4. 4【解析】因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m2+n2的最小值,可先求的最小值,即求原点(0,0)到直线4m+3n-10=0的距离d.又d=2,所以m2+n2的最小值为4.5. 【解答】(1) l2:2x-y-=0,故l1与l2间的距离d=,所以a=3或a=-4.因为a0,所以a=3.(2) 设点P的坐标为(x0,y0).若点P满足条件,则点P在与直线l1,l2平行的直线l:2x-y+C=0上,且=,即C=或C=,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.若点P满足条件,由点到直线的距离公式得=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,解得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.又由知点P在第一象限,则3x0+2=0不可能.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=,舍去.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=,y0=.所以P即为同时满足三个条件的点.6. 【解答】由题意画出大致图象如图所示,设点A(-4,2)关于直线l:y=2x的对称点为A(a,b),则点A必在直线BC上.由对称性可得解得所以A(4,-2),所以直线BC的方程为=,即3x+y-10=0.由得C(2,4),所以kAC=,kBC=-3,所以ACBC,所以ABC是直角三角形.(第6题)第56课圆的方程A应知应会1. (x-2)2+y2=5【解析】圆心(-2,0)关于原点(0,0)的对称点为(2,0),所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.2. -5【解析】圆心坐标为(4,-1),由直线y=x+b平分圆,知-1=4+b,所以b=-5.3. (-1,1)【解析】因为点(1,1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)24,解得-1a0恒成立,所以a0时,方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆.设圆的半径为r,则r2=2,所以当=,即a=2时,圆的半径最小,半径最小的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.B巩固提升1. 【解析】ABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上,即在直线x=1上,设圆心D(1,b).由DA=DB,得|b|=b=,所以圆心到原点的距离d=.2. 10【解析】令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数.当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.由=1,解得b=5,所以2x-y的最大值为5+,最小值为5-,其和为10.3. -1,+)【解析】令x=cos ,y=1+sin ,则m-x-y=-1-(sin +cos )=-1-sin对任意的R恒成立,所以m-1.4. x2+=【解析】由题可知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0,b),半径为r,则rsin=1,rcos=|b|,解得r=,|b|=,即b=.故圆的方程为x2+=.5. 【解答】(1) 曲线C的方程为x2+y2-20+m(-4x+2y+20)=0,故曲线C经过圆x2+y2-20=0与直线-4x+2y+20=0的交点(4,-2),所以不论m取何实数,曲线C恒过定点(4,-2).(2) 曲线C的方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5m2-20m+20,当m2时,5(m-2)20,故当m2时,曲线C是一个圆,此时圆心为P(2m,-m).6. 【解答】(1) 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线 BC 的斜率kBC=-tanBCO=-.又因为 ABBC,所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b),则kBC=-,kAB=,解得a=80,b=120,所以BC=150.因此新桥BC的长是150 m.(第6题)(2) 设圆M的半径为r m,OM=d m(0d60).由条件知直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离为r,即r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得10d35.故当d=10时,r=最大,即圆的面积最大,所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.第57课直线与圆的位置关系A应知应会1. 【解析】根据点到直线的距离公式得d=.2. 相交【解析】由垂径定理得+()2=a2,解得a2=4,所以圆M:x2+(y-2)2=4,所以圆M与圆N的圆心距d=.因为2-12+1,所以两圆相交.3. (x-2)2+(y+1)2=9【解析】由题设知圆心到直线的距离等于半径,得r=3,所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.4. x+2y-5=0【解析】由圆的性质知圆心与PQ的中点的连线与PQ垂直,所以PQ的斜率为-.由直线的点斜式方程得y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.5. 【解答】(1) 配方得(x-3m)2+y-(m-1)2=25.设圆心坐标为(x,y),则消去m,得x-3y-3=0.故不论m取什么值,圆心在同一条直线l:x-3y-3=0上.(2) 设与l平行的直线为n:x-3y+b=0,则圆心到直线n的距离d=.因为圆的半径r=5,所以当dr,即-5-3br,即b5-3时,直线与圆相离.6. 【解答】(1) 如图,设直线MQ交AB于点P,则AP=.又AM=1,APMQ,AMAQ,得MP=.又因为MQ=,所以MQ=3.设Q(x,0),而点M(0,2),由=3,得x=,则点Q的坐标为(,0)或(-,0).从而直线MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=0.(第6题)(2) 设点Q(q,0),由几何性质可知A,B两点在以QM为直径的圆上,此圆的方程为x(x-q)+y(y-2)=0,而线段AB是此圆与已知圆的公共弦,相减可得直线AB的方程为qx-2y+3=0,所以直线AB恒过定点.B巩固提升1. 5【解析】方法一:由题意知圆心C(0,2),半径r=,ABC是直角三角形,则AC=,BC=,所以cosACB=,所以=|cosACB=5.方法二:=(+)=+,因为BC=,ABBC,所以=5+0=5.2. 150【解析】因为SAOB=sinAOB=sinAOB=1,所以AOB=,所以点O到直线l的距离OM=1.又OP=2,OM=1,所以在RtOMP中,OPM=30,所以直线l的倾斜角为150.3. 【解析】如图,因为PA,PB分别为圆O:x2+y2=1的切线,所以ABOP.又P(1,),O(0,0),所以OP=2.在RtAPO中,因为OA=1,cosAOP=,所以AOP=60,所以AB=2OAsinAOP=.(第3题)4. x3y+4=0【解析】方法一:设点B的坐标为(x0,y0).因为A是线段PB的中点,所以点A的坐标为,所以解得所以直线l的方程为y=(x+4),即x3y+4=0.方法二:设圆心C到直线l的距离为d,则CA2=d2+=5.又CP2=d2+=25,解得d=.设直线l的方程为y=k(x+4),则=,解得k=,所以直线l的方程为x3y+4=0.5. 【解答】设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90,所以圆P截x轴所得的弦长为r,故2|b|=r,得r2=2b2.又圆P被y轴所截得的弦长为2,由勾股定理得r2=a2+1,得2b2-a2=1.又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,所以d=,即有a-2b=1.综上所述,得或解得或于是r2=2b2=2,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.易知,以上两圆与直线x-y+2=0的位置关系都是相切.6. 【解答】圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1) 由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y02,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2) 因为直线lOA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.如图,因为BC=OA=2,又MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(第6题)(3) 设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以 因为点Q在圆M上,所以+=25.将代入中得+=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点,所以5-55+5,解得2-2t2+2.因此,实数t的取值范围是2-2,2+2.第58课圆与圆的位置关系A应知应会1. 4x+3y-18=0【解析】易判断两圆相交,所以公共弦所在直线的方程为x2+y2-8x-6y-(x2+y2-36)=0,即4x+3y-18=0.2. 3或7【解析】由题意可知集合A,B中的两圆外切或内切,两圆圆心之间的距离为5,A中圆的半径为2,可知B中圆的半径为3或7.3. +5【解析】由题意知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=9,圆C2(x+1)2+(y+2)2=4.如图,C1的坐标是(-3,1),半径是3;C2的坐标是(-1,-2),半径是2.所以C1C2=,因此,MN的最大值是+5.(第3题)4. 3【解析】因为两圆的交点关于两圆的圆心连线对称,故解得所以m+c=3.5. 【解答】将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=(k50).从而C1C2=5.当1+=5,即k=34时,两圆外切;当-1=5,即k=14时,两圆内切;当14k34时,46,即r2-r1C1C2r2+r1,此时两圆相交;当34k50时,两圆外离;当k14时,两圆内含. 6. 【解答】设经过圆x2+y2=58与直线6x+8y-3=0的交点的圆的方程为x2+y2-58-t(6x+8y-3)=0,即(x-3t)2+(y-4t)2=25t2-3t+58.(1) 若圆的面积最小,则相交弦为圆的直径,所以圆心(3t,4t)在直线6x+8y-3=0上,得t=,所以所求圆的方程为50x2+50y2-18x-24y-2 891=0.(2) 所求圆的圆心为C(3t,4t),半径为.因为所求圆被直线x+y-1=0所截得的弦长为3,点C到直线x+y-1=0的距离为=,所以+=25t2-3t+58,解得t=-4,所以所求圆的方程为x2+y2+24x+32y-70=0. B巩固提升1. 8x2+8y2+23x-11y=0【解析】设所求圆的方程为4x2+4y2+3x+y-8+t(3x2+3y2-2x+4y-10)=0.因为所求圆经过原点,所以-8-10t=0,于是t=-,故所求圆的方程是8x2+8y2+23x-11y=0.2. 4【解析】依题意得OO1A是直角三角形,所以OO1=5,故=OO1=OAAO1,因此AB=4.3. 【解析】由题意知圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4与圆x2+y2=1相交,即13,所以15a2+6a+99,解得-ar2.又圆心到直线x0x+y0y=r2的距离为=r,所以直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系是相交.3. (x-3)2+(y-6)2=81【解析】因为+=1,所以(a+b)=5+5+2=9,当且仅当b=2a,即b=6,a=3时取等号,所以圆的标准方程为(x-3)2+(y-6)2=81.4. -7或1【解析】当直线PA经过圆M的圆心M(1,3)时,弦PQ的长度最大,即为圆M的直径.设直线PA的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0.由直线PA与圆O相切,得=,解得k=-7或k=1.5. 【解答】(1) 圆C的方程可化为(x2+y2-2y+1)-m(8x+6y-6)=0,由解得所以圆C过定点M(0,1).(2) 圆C的方程可化为(x-4m)2+y-(3m+1)2=25m2,圆心到直线4x+3y-3=0