江苏高考数学复习三角函数解三角形第25课三角函数的图象与性质教师用书.docx

第25课 三角函数的图象与性质最新考纲内容要求ABC正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2图象的五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2图象的五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R单调性递增区间：kZ，递减区间：kZ递增区间：2k，2kkZ，递减区间：2k，2kkZ递增区间(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)kZ对称中心kZ对称中心kZ对称轴xk(kZ)对称轴xk(kZ)周期性221(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yacos x的值域为a，a()(2)函数ysin x的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)ysin |x|是周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2函数ytan 2x的定义域是_由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.3(教材改编)函数f(x)42cos x的最小值是_，取得最小值时，x的取值集合为_2x|x6k，kZf(x)min422，此时，x2k(kZ)，x6k(kZ)，所以x的取值集合为x|x6k，kZ4函数f(x)cos的图象关于_(填序号)原点对称；y轴对称；直线x对称； 直线x对称函数f(x)cossin 2x是奇函数，则图象关于原点对称5函数ysin，x2，2的单调递增区间是_zx，函数ysin z的单调递增区间为(kZ)，由2kx2k得4kx4k，而x2，2，故其单调递增区间是.三角函数的定义域与值域(1)(2016全国卷改编)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为_(2)函数ylg(sin 2x)的定义域为_(1)5(2)(1)f(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x22，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.(2)由得3x或0x，函数ylg(sin 2x)的定义域为.规律方法1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin xcos x换成t，转化为二次函数求解变式训练1(1)已知函数y2cos x的定义域为，值域为a，b，则ba的值是_(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值. 【导学号：62172138】(1)3x，cos x，故y2cos x的值域为2,1，ba3.(2)令tsin x，|x|，t，yt2t12，当t时，ymax，当t时，ymin，函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.三角函数的单调性(1)(2017苏州模拟)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_(2)函数f(x)sin的单调减区间为_(1)(2)(kZ)(1)由x得x，由题意知，所以解得.(2)由已知函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间即可由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调减区间为(kZ)规律方法1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”(2)求形如yAsin(x)(0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解若0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错2已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解变式训练2(1)函数f(x)tan的单调递增区间是_(2)若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.(1)(kZ)(2)(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)(2)f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度1奇偶性与周期性的判断(1)在函数：ycos|2x|；y|cos x|；ycos2x；ytan中，最小正周期为的所有函数为_(填序号)(2)函数y12sin2是_函数(填奇偶性)(1)(2)奇(1)ycos|2x|cos 2x，T.由图象知，函数的周期T.T.T.综上可知，最小正周期为的所有函数为.(2)y12sin2cos 2sin 2x，所以f(x)是奇函数角度2求三角函数的对称轴、对称中心已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且对任意xR，都有f(x)f成立，则下列是f(x)图象的一个对称中心的坐标是_(填序号) 【导学号：62172139】；.由f(x)sin (x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，2k(kZ)，由|，得，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图象的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为.角度3三角函数对称性的应用(1)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为_(2)已知函数f(x)sin xacos x的图象关于直线x对称，则实数a的值为_(1)(2)(1)由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.(2)由x是f(x)图象的对称轴，可得f(0)f，即sin 0acos 0sinacos，解得a.规律方法1.对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断2求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义(2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(3)借助函数的图象思想与方法1讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式，再用换元法令tx，将其转化为研究ysin t的性质2求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为yAsin(x)k的形式，逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)(2)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题3若f(x)Asin(x)(A0，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)易错与防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2求yAsin(x)(A0)的单调区间，要注意的正负，只有当0时，才能将“x”整体代入相应单调区间3利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性4正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形课时分层训练(二十五)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1函数y的定义域为_(kZ)由cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.2已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f_.1由题设知，所以2，f(x)sin，所以fsinsin 1.3函数ytan的图象与x轴交点的坐标是_. 【导学号：62172140】，kZ由2xk(kZ)得，x(kZ)，函数ytan的图象与x轴交点的坐标是，kZ.4函数f(x)sin(2x)的单调增区间是_(kZ)由f(x)sin(2x)sin 2x,2k2x2k得kxk(kZ)5已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有ff，则f的值为_2或2ff，x是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴，f2.6下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是_(填序号) 【导学号：62172141】ycos ；ysin ；ysin 2xcos 2x；ysin xcos x.ycos sin 2x，最小正周期T，且为奇函数，其图象关于原点对称，故正确；ysin cos 2x，最小正周期为，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故不正确；，均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故，不正确7若函数ycos(N)图象的一个对称中心是，则的最小值为_2由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N，min2.8若函数f(x)sincos x(0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则下列是f(x)的一个单调递增区间的是_(填序号)；.依题意得f(x)sin xcos xsin的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T2，2，f(x)sin.当2k2x2k，即kxk，kZ时，f(x)sin单调递增因此结合各选项知f(x)sin的一个单调递增区间为.9函数ycos 2xsin2x，xR的值域是_0,1因为ycos 2xsin2x12sin2xsin2x1sin2x.又sin2x0,1，所以1sin2x0,1故y0,110(2017如皋中学高三第一次月考)已知函数f(x)sin x，g(x)sin，直线xm与f(x)、g(x)的图象分别交于M、N两点，则MN的最大值是_g(x)sincos x，由题意可知MN|sin xcos x|.xR，|f(x)g(x)|0，故M，N的距离的最大值为.二、解答题11(2016北京高考)已知函数f(x)2sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)求f(x)的单调递增区间解(1)因为f(x)2sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.依题意，得，解得1.(2)由(1)知f(x)sin.函数ysin x的单调递增区间为(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间为(kZ)12已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【导学号：62172142】解(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函数f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)的计算结果知，f(x)sin1.当x时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值1；当2x，即x时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知函数ycos x与ysin(2x)(0)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_由题意cos sin，即sin，k(1)k(kZ)因为0，所以.2已知函数f(x)3sin(0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同，若x，则f(x)的取值范围是_依题意得2，所以f(x)3sin.因为x，所以2x，所以sin，所以f(x).3已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间解f(x)的最小正周期为，则T，2，f(x)sin(2x)(1)当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)，sin(2x)sin(2x)，将上式展开整理得sin 2xcos 0，由已知上式对xR都成立，cos 0.0，.(2)f(x)的图象过点时，sin，即sin.又0，f(x)sin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为，kZ.4