高等数学中值定理的题型与解题方法.doc

高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明： 基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例1. 在可导，证明：存在，使得.分析：由，容易想到零点定理。证明：，存在，使得， 又，同号，存在，使得，所以根据罗尔中值定理：存在，使得.例2. 在内可导，证明：存在，使得证明：（1），在使得上有最大值和最小值， 根据介值性定理，即存在，使得，（2），所以根据罗尔中值定理：存在，使得.例3. 在三阶可导，证明：存在，使得证明：（1），存在，使得，（2），所以，存在，使得，（3），所以，存在，使得，例3. 在内可导，证明：存在，使得证明：，存在，使得，又在内可导，存在，使得题型二：证明：含，无其它字母基本思路，有三种方法：（1）还原法。能够化成这种形式例1. 在可导，证明：存在，使得.分析：由， 证明：令 ，存在，使得，而存在，使得例2. 在可导，证明：存在，使得.分析：由， 证明：令 ，存在，使得，而即存在，使得例3. 在上二阶可导，证明：存在，使得.分析：由， 证明：令 ，使得，所以，又因为由罗尔定理知，存在，使得.记： （2）分组构造法。 （还原法行不通）例1. ，在内可导，证明：存在，使得，存在，使得. 证明： 令 ，使得，即 （分析） 令 ，存在，使得.题型三：证明：含.分几种情形：情形1：结论中只有例1. ，在内可导，证明：存在，使得，存在，使得. 证明： 令 ， 使得 ,使得，所以存在，使得例2. ，在内可导，证明：存在，使得，存在，使得. 证明： 令 ，使得,使得， ，所以存在，使得情形2：结论中含有，但是两者复杂度不同。例1. ，在内可导证明：存在，使得. 证明： 令 ，由柯西中值定理使得，所以使得，得证。例2. ，在内可导 证明：存在，使得. 证明： 令 ，由柯西中值定理使得，所以使得，得证。例3. ，在内可导, 证明：存在，使得. (分析：“留复杂”)证明： 令 ，由拉格朗日中值定理使得，即.题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。 可导 见到3点两次使用拉格朗日中值定理。例1. ，且则 解：， . 又因为例2. ，且，则的大小关系。解：由拉格朗日中值定理知， 单调递增又又因为例3. 在内可导，且，在内至少有一个零点。证明：证明：1）因为在内至少有一个零点，所以2）下边用两次拉格朗日中值定理， 所以 ， ，例4. 在内二阶可导，有一条曲线，如图证明：，使得证明：1）使得因为共线，所以，所以由罗尔定理知，使得题型五：Taylor公式的常规证明。例1. ，证明：存在，使得. （题外分析：考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用！时考虑，但是为题型一，考虑罗尔定理时比较尴尬，有时候用拉格朗日中值定理，有时候不用，该怎么考虑呢，分情况：）证明： ，两个式子相减得：，在上有，则，所以根据介值定理得：存在，使得例2. ，在二阶可导，证明：存在，使