山东省沂水县高中数学第二章点直线平面之间的位置关系章末复习课学案新人教A版.docx

第二章 点、直线、平面之间的位置关系学习目标1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系3平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab(2)面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba(3)空间中的平行关系的内在联系4垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直图形条件结论判定ab，b(b为内的任意直线)aam，an，m、n，mnOaab，ab性质a，baba，bab(2)平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l(3)空间中的垂直关系的内在联系5空间角(1)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：设两异面直线所成角为，则090.(2)直线和平面所成的角平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和0.(3)二面角的有关概念二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.类型一几何中共点、共线、共面问题例1如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上证明(1)BGGCDHHC，GHBD，又EFBD，EFGH，E、F、G、H四点共面(2)G、H不是BC、CD的中点，EFGH.又EFGH，EG与FH不平行，则必相交，设交点为M.M面ABC且M面ACDM在面ABC与面ACD的交线上，又面ABC面ACDACMAC.GE与HF的交点在直线AC上反思与感悟1.证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合2证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上3证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题跟踪训练1如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点求证：O、M、A1三点共线证明OAC，AC平面ACC1A1，O平面ACC1A1.MAC1，AC1平面ACC1A1，M平面ACC1A1.又已知A1平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，所以O、M、A1三点共线类型二空间中的平行关系例2如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.证明(1)如图，取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG綊B1C1，BE綊B1C1，OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形OBGE.OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，GE平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.反思与感悟1.判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面2判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)跟踪训练2如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN平面ABC.证明M、N分别是EA与EC的中点，MNAC，又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，N为EC中点，EC2BD，NC綊BD，四边形BCND为矩形，DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN，平面DMN平面ABC.类型三空间中的垂直关系例3如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.反思与感悟空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法：计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角)；线面垂直的性质(若a，b，则ab)(2)判定线面垂直的方法：线面垂直定义(一般不易验证任意性)；线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)；平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)；面面垂直的性质(，l，a，ala)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(l，l)(3)面面垂直的判定方法：根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90)；面面垂直的判定定理(a，a)跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点在ABC中，AB2，ACBC，等边ADB以AB为轴运动(1)当平面ADB平面ABC时，求CD；(2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论解(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，可知DECE，由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2.(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.证明如下：当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.当D不在平面ABC内时，由(1)知ABDE.又因ACBC，所以ABCE.又DE，CE为相交直线，所以AB平面CDE，由CD平面CDE，得ABCD.综上所述，总有ABCD.类型四空间角问题例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值(1)解在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，所以CD平面PAC.又AE平面PAC，所以AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC.又PCCDC，所以AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为.反思与感悟1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)2求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)3二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法跟踪训练4如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数解(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.AB平面BC，OC平面BC，OCAB，又OCBO，ABBOB.OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30.即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图，作OEBC于E，连接AE.平面BC平面ABCD，OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE ，tanOAE.即AO与平面ABCD所成角的正切值为.(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90.1下列四个结论：(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案A解析(1)两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能；(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内2设有不同的直线m、n和不同的平面、，下列四个命题中，正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m答案D解析选项A中当m，n时，m与n可以平行、相交、异面；选项B中满足条件的与可以平行，也可以相交；选项C中，当，m时，m与可以垂直，也可以平行等故选项A、B、C均不正确3如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点求证：(1)C1O面AB1D1；(2)A1C面AB1D1.证明(1)如图，连接A1C1，设A1C1B1D1O1，连接AO1，ABCDA1B1C1D1是正方体，A1ACC1是平行四边形，A1C1AC且A1C1AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，O1C1AO且O1C1AO，四边形AOC1O1是平行四边形，C1OAO1，AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，C1O面AB1D1.(2)CC1面A1B1C1D1，CC1B1D1，又A1C1B1D1，B1D1面A1C1CA，即A1CB1D1，同理可证A1CAB1，又B1D1AB1B1，A1C面AB1D1.4如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点(1)证明：PBC是直角三角形(2)若PAAB2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解(1)因为AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以BCAC，因为PA平面ABC，所以BCPA，又PAACA，所以BC平面PAC，所以BCPC，所以PBC是直角三角形(2)如图，过A作AHPC于H，连接BH，因为BC平面PAC，所以BCAH，PCBCC，所以AH平面PBC，所以ABH是直线AB与平面PBC所成角，因为PA平面ABC，所以PCA即是PC与平面ABC所成角，因为tan PCA，又PA2，所以AC，所以在RtPAC中，AH，所以在RtABH中，sinABH，即AB与平面PBC所成角的正弦值为.一、平行关系1平行问题的转化关系2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.二、垂直关系1空间中垂直关系的相互转化2判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直