江苏专版2018版高考数学复习解三角形练习文.docx

第五章解 三 角 形第30课正弦定理与解三角形A应知应会1. 在ABC中,若A=60,a=4,b=4,则角B的大小为.2. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,c=,A=45,则C=.3. 在ABC中,已知9cos2A-4cos2B=5,那么=.4. 在ABC中,若AB=,AC=1,B=30,则ABC的面积等于. 5. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acos C=2ccos A,tan A=,求角B的大小.6. (2016苏北四市期末)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA=,tan(A-B)=-.(1) 求tanB的值;(2) 若b=5,求c的值.B巩固提升1. 在ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则SABC=.2. (2016泰州中学改编)在ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若Cb,所以B=45.2. 60或120【解析】在ABC中,由正弦定理可得=,即=,解得sin C=,所以C=60或120.3. 【解析】由9cos2A-4cos2B=5,得9(1-2sin2A)=5+4(1-2sin2B),所以9sin2A=4sin2B,即3sinA=2sinB.由正弦定理得=.4. 或【解析】由正弦定理有=,得sin C=,即C=60或120,则A=90或30,所以ABC的面积为或.5. 【解答】由题设及正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A,故3tan A=2tan C.因为tan A=,所以tan C=,所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=-1.因为B(0,180),所以B=135.6. 【解答】(1) 方法一:在锐角三角形ABC中,由sinA=,得cosA=,所以tanA=.由tan(A-B)=-,得tanB=2.方法二: 在锐角三角形ABC中,由sinA=,得cosA=,所以tanA=,所以tanB=tanA-(A-B)=2.(2) 由tanB=2,得sinB=,cosB=,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.由正弦定理得=,则c=.B巩固提升1. 【解析】因为A,B,C依次成等差数列,所以B=60.由正弦定理得=,即sinA=,所以A=30或150(舍去),所以C=90,所以SABC=ab=1=.2. 等腰三角形【解析】因为=,所以=,所以= .由正弦定理得sinB=sin2C,所以B=2C或B+2C=.若B=2C,由C,知2C,即,与三角形内角和为矛盾,故B=2C舍去.所以B+2C=,所以A=-(B+C)=-(-2C+C)=C,故ABC为等腰三角形.3. 2(,)【解析】由正弦定理得=,则=,即=.因为sinA0,故=2,所以AC=2cosA.又由已知得角A的大小满足解得A,故cos A,所以AC的取值范围为(,).4. (2,+)【解析】由三角形的三个内角成等差数列,得中间角为60.设最小角为,则最大角为120-,其中0+=2.故实数m的取值范围为(2,+).5. 【解答】(1) 由正弦定理及bsin-csin=a,得sinBsin-sinCsin=sinA,即sinBsinC+cosC-sinCsinB+cosB=,整理得sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(B-C)=1.由于0B,C0),则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入+=中,得+=,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,得sin(A+B)=sin(-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2) 因为b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=,所以sinA=.由(1)知sinAsinB=sin(A+B),所以sinB=cosB+sinB,故tanB=4.6. 【解答】(1) 在ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得=-,即cosC=-.因为0C,所以C=.(2) 方法一:因为c=2acosB,由正弦定理得sinC=2sinAcosB.因为A+B+C=,所以sinC=sin(A+B),所以sin(A+B)=2sinAcosB,即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.又-A-B,所以A-B=0,即A=B,所以a=b=2,所以=absinC=22sin=.方法二:由c=2acosB及余弦定理,得c=2a,化简得a=b,所以SABC=absinC=22sin=.B巩固提升1. 或【解析】由余弦定理得=cos B,结合已知等式得 cos Btan B=,所以sin B=,所以B=或.2. 120【解析】由题意得lg(a+c)(a-c)=lgb(b+c),所以(a+c)(a-c)=b(b+c),所以b2+c2-a2=-bc,所以cos A=-,所以A=120.3. 【解析】因为SABC=,所以acsinB=,即sinB=.若B为锐角,则cos B=,则b=1,所以a=,b=c=1,所以ABC是等腰直角三角形,这与ABC为钝角三角形矛盾,所以B为钝角,则cosB=-=-,所以b=.4. 【解析】由sinA+sinB=2sinC,结合正弦定理可得a+b=2c.又由余弦定理得cosC=,所以cosC1,故cosC的最小值为.5. 【解答】(1) 由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-sinAcosB=0,即sinAsinB-sinAcosB=0.因为sinA0,所以sinB-cosB=0.又cosB0,所以tanB=.因为0B,所以B=.(2) 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.因为a+c=1,cosB=,所以b2=3+.又0a1,所以b21,即有b1.故b的取值范围为.6. 【解答】(1) 因为A为四边形ABCD的内角,所以090,所以sin0,所以tan=.(2) 由A+C=180,得C=180-A,D=180-B,故tan+tan+tan+tan=+=+.连接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcosA=BC2+CD2+2BCCDcos A,则cosA=,所以sinA=.连接AC.同理可得cosB=,所以sin B=.所以tan+tan+tan+tan=+=+=.第32课解三角形的综合应用A应知应会1. 70 n mile【解析】设轮船A,B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=252=50,CF=152=30,且ECF=120,所以由余弦定理得EF=70.(第2题)2. 3 km【解析】如图,由条件知AB=24=6.在ABS中,BAS=30,AB=6,ABS=180-75=105,所以ASB=45.由正弦定理知=,故BS=sin 30=3.3. 20【解析】如图,由题设知BDC为等腰直角三角形,故DB=40.由ACB=60和ADB=60知A,B,C,D四点共圆,所以BAD=BCD=45.在BDA中,运用正弦定理可得AB=20.(第3题)4.(1,【解析】x=sinA+cosA=sin.又A,所以A+,所以0,得b=c,所以a=b=c,所以ABC是等边三角形.6.【解答】(1) 在ADC中,由余弦定理得AD2+CD2-2ADCDcosADC=AC2.将AD=5,CD=3,AC=7代入上式中,得cosADC=-.因为0ADC,所以ADC=.(2) 在ABD中,由正弦定理得=,所以AB=sinADB=,所以=5cos=.B巩固提升1. 【解析】因为ADAC,所以DAC=90,所以在ABD中,cosBAD=cos(BAC-90)=sinBAC=,所以BD=.2. 50【解析】如图,连接OC.在OCD中,OD=100,CD=150,CDO=60,由余弦定理可得OC2=1002+1502-2100150=17 500,则OC=50.(第2题)3. 【解析】在ABC中,由正弦定理得=,所以=,所以2cosA=.又由余弦定理得cosA=,所以2=,解得b=5,所以cosA=,故sinA=,故ABC的面积等于56=.4. 100【解析】在ABC中,CAB=30,ACB=75-30=45,根据正弦定理知=,即BC=sinBAC=300,所以CD=BCtanDBC=300=100.5. 【解答】(1) 由题意知PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12.在PAB中,AB=20,所以cosPAB=.在PAC中,AC=50,所以cosPAC=.因为cosPAB=cosPAC,所以=,解得x=31.(2) 过点P作PDAC于点D.在ADP中,由cosPAD=,得sinPAD=,所以PD=PAsinPAD=31=418.33.6. 【解答】(1) 在ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos A.在CBD中,BD2=CB2+CD2-2CBCDcosC.因为A和C互补,所以AB2+AD2-2ABADcosA=CB2+CD2-2CBCDcosC=CB2+CD2+2CBCDcosA,即x2+(9-x)2-2x(9-x)cosA=x2+(5-x)2+2x(5-x)cosA,解得cosA=,即f(x)=,其中x(2,5).(2) 四边形ABCD的面积S=