浙江高考数学第七章不等式、推理与证明考点规范练33基本不等式与绝对值不等式.docx

考点规范练33基本不等式与绝对值不等式基础巩固组1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+10时,x2+142x12=x,所以lgx2+14lgx(x0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当xk,kZ时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有1x2+1=1,故选项D不正确.2.若a,b都是正数,则1+ba1+4ab的最小值为()A.7B.8C.9D.10答案C解析a,b都是正数,1+ba1+4ab=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,当且仅当b=2a0时取等号.故选C.3.(2018浙江平湖模拟)已知a为实数,则|a|1是关于x的绝对值不等式|x|+|x-1|a有解的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由|a|1,得a-1或a1,因为关于x的绝对值不等式|x|+|x-1|a有解,而|x|+|x-1|=|x|+|1-x|x+1-x|=1,所以a1.所以|a|1是关于x的绝对值不等式|x|+|x-1|a有解的必要不充分条件.故选B.4.若ab1,P=lgalgb,Q=12(lg a+lg b),R=lga+b2,则()A.RPQB.QPRC.PQRD.PRb1,lgalgb0,12(lga+lgb)lgalgb,即QP.a+b2ab,lga+b2lgab=12(lga+lgb)=Q,即RQ.PQ1,则y(x+8)的最小值是()A.33B.26C.25D.21答案C解析由xy-3=x+y,得y=x+3x-1,y(x+8)=(x+3)(x+8)x-1=(x-1)2+13(x-1)+36x-1=x-1+36x-1+13,由x-10可知,x-1+36x-1+1326+13=25,当且仅当x=7时等号成立.故y(x+8)的最小值为25.6.(2018浙江余姚中学模拟)若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为.答案22解析1a+2b=ab,a0,b0,ab=1a+2b21a2b=22ab.ab22(当且仅当b=2a时取等号),即ab的最小值为22.7.不等式|x-3|+|x+1|6的解集为.答案(-,-2)(4,+)解析方法一:当x6,解得x6,不成立;当x3时,(x-3)+(x+1)6,得x4.综上可知x(-,-2)(4,+).方法二:|x-3|+|x+1|6表示数轴上到-1和3的距离之和大于6的点的集合,因为-1和3之间的距离为4,所以由不等式的几何意义可知x4.8.(2018浙江金华一中模拟)已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是.答案92解析x+2y+2xy=8,x2y=8-(x+2y)x+2y22,解不等式得x+2y92.故填92.能力提升组9.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)x恒成立,则a的取值范围为()A.a-1B.-2a0C.0a2D.a1答案A解析依题意,得f(x)=a(x-2),x2,a(2-x),x2,易知当a0时,f(x)x不恒成立,故a0.在同一直角坐标系中作出y=f(x)与y=x的图象如图所示,观察可知f(x)x-a1,即a-1.故选A.10.已知xy=1,且0y22,则x2+4y2x-2y的最小值为()A.4B.92C.22D.42答案A解析因为xy=1且0y2,所以x-2y0.x2+4y2x-2y=(x-2y)2+4xyx-2y=x-2y+4x-2y4,当且仅当x=3+1,y=3-12时等号成立.故选A.11.设函数f(x)=|2x-1|,若不等式f(x)|a+1|-|2a-1|a|对任意实数a0恒成立,则x的取值范围是()A.(-,-13,+)B.(-,-12,+)C.(-,-31,+)D.(-,-21,+)答案B解析由题意,令g(a)=|a+1|-|2a-1|a|(a0),不等式f(x)g(a)对任意实数a0恒成立,等价于函数f(x)大于或等于g(a)的最大值,由函数g(a)的解析式,可对a的取值范围进行分段讨论,当a-1时,g(a)=a-2-a=-1+2a;当-1a0时,g(a)=-3,当0a0,则xx+y+2yx+2y的最大值为()A.2-2B.2+2C.4+22D.4-22答案D解析xx+y+2yx+2y=x(x+2y)+2y(x+y)(x+y)(x+2y)=x2+4xy+2y2x2+3xy+2y2=1+xyx2+3xy+2y2=1+1xy+3+2yx1+13+22=4-22,当且仅当xy=2yx,即x2=2y2时取等号.故选D.13.若正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且xy的最小值为18,则a的值为()A.1B.2C.3D.4答案B解析正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且ax+y2axy,即有xy6+2axy,令t=xy,即为t2-2at-60,由xy的最小值为18,可得32为方程t2-2at-6=0的解,即有18-62a-6=0,解得a=2.14.已知a0,b0,且22+a+1a+2b=1,则a+b的最小值是,此时a=.答案2+122解析a+b=12(2+a+a+2b)-1=12(2+a+a+2b)22+a+1a+2b-1=123+2(a+2b)2+a+2+aa+2b-1123+22(a+2b)2+a2+aa+2b-1=12+2,当且仅当a=2,b=12时取等号.15.设a+b=2,b0,则当a=时,12|a|+|a|b取得最小值为.答案-234解析由于a+b=2,所以12|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b,由于b0,|a|0,所以b4|a|+|a|b2b4|a|a|b=1,因此当a0时,12|a|+|a|b的最小值是14+1=54.当a0时,12|a|+|a|b的最小值是-14+1=34.故12|a|+|a|b的最小值为34,此时b4|a|=|a|b,a0,即a=-2.16.(2018浙江余姚中学模拟)已知不等式|x+2|+|x|a的解集不是空集,则实数a的取值范围是;若不等式|x2+x-1|+|x2+x+1|a+1|-|3a-1|a|对任意实数a恒成立,则实数x的取值范围是.答案a2x(-,-21,+)解析|x+2|+|x|的最小值为2,要使不等式|x+2|+|x|a的解集不是空集,则有a2.化简不等式|x2+x-1|+|x2+x+1|a+1|-|3a-1|a|有|a+1|-|3a-1|a|=-2+2a,a-1,-4,-1a0,4,0a13,2a-2,a13,即|x2+x-1|+|x2+x+1|4.而|x2+x-1|+|x2+x+1|=2x2+2x,x-1-52或x-1+52,2,-1-52x4.(2)若不等式f(a)|b+1|对任意的实数a恒成立,求b的取值范围.解(1)函数f(x)=|2x+b|+|2x-b|,b=1时,不等式f(x)4即|2x+1|+|2x-1|4,它等价于x12,4x4或x-12,-4x4或-12x4,解得x1或x4的解集为(-,-1)(1,+).(2)f(a)=|2a+b|+|2a-b|=|2a+b|+|b-2a|(2a+b)+(b-2a)|=|2b|,当且仅当(2a+b)(b-2a)0时f(a)取得最小值|2b|;令|2b|b+1|,得(2b)2(b+1)2,解得b1.b的取值范围是-,-13(1,+).18.(2018浙江杭州学军中学高三模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),当x-1,1时,|f(x)|1.(1)求证:|b|1;(2)若f(0)=-1,f(1)=1,求实数a的值.(1)证明由题意知f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,所以b=12f(1)-f(-1).因为当x-1,1时,|f(x)|1,所以|f(1)|1,|f(-1)|1,所以|b|=12|f(1)-f(-1)|12|f(1)|+|f(-1)|1.(2)解由f(0)=-1,f(1)=1可得c=-1,b=2-a,所以f(x)=ax2+(2-a)x-1.当a=0时,不满足题意,当a0时,函数f(x)图象的对称轴为x=a-