高中数学第一章坐标系单元质量评估新人教A版.docx

第一章 坐标系单元质量评估(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.以直角坐标系的O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度,平面内的点P的极坐标为(3,4),则P在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.平面内的点P的极坐标为(3,4),由于40),点(3-,3+)在第一象限,tan=tan,所以点(3-,3+)的极坐标为.3.将点的柱坐标化为直角坐标为()A.(3,1,3)B.(1,3,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)【解析】选A.设点的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z),因为(,z)=,由得即所以点的直角坐标为(,1,3).4.(2016漳州高二检测)圆=5cos-53sin的圆心坐标是()A.-5,-4蟺3B.C.D.,【解析】选A.由圆的极坐标方程=5cos-5sin得2=5cos-5sin,化为直角坐标方程为x2+y2-5x+5y=0,圆心坐标是,结合选项化为极坐标,选A.5.(2016蚌埠高二检测)在极坐标系中,点P(,)关于极点对称的点的一个坐标是()A.(-,-)B.(,-)C.(,-)D.(,+)【解析】选D.把点P(,)绕极点逆时针旋转弧度,即可得到点P关于极点对称的点,故点P(,)关于极点对称的点的一个坐标是(,+).6.(2016上海高考)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图的是()A.=6+5cosB.=6+5sinC.=6-5cosD.=6-5sin【解析】选D.当=-时,达到最大.7.(2016宜春高二检测)在极坐标系中与圆=4sin相切的一条直线的方程为()A.cos=2B.sin=2C.=4sinD.=4sin【解题指南】将极坐标方程化为直角坐标方程判断.【解析】选A.圆=4sin的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,直线cos=2的直角坐标方程为x=2与圆相切,直线sin=2的直角坐标方程为y=2经过圆心,选项C、D表示圆,不满足题意.8.极坐标方程=,=2蟺3(0)和=4所表示的曲线围成的图形的面积是()A.B.8蟺3C.4蟺3D.【解析】选B.如图所示,射线=,=(0)与圆=4围成的图形面积是阴影扇形的面积:42=.【一题多解】选B.如图所示,围成的图形面积是阴影扇形的面积42=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.规定0,0,2),曲线x2=4y焦点的极坐标可以为_.【解析】方程x2=4y的曲线为抛物线,其中p=2,焦点为(0,1),对称轴为y轴,开口向上,所以抛物线的焦点的极坐标为.答案:10.在极坐标系中,点F(1,0)到直线=(R)的距离是_.【解析】直线=(R)的直角坐标方程为y=x,故点F(1,0)到直线的距离为=.答案:11.在极坐标系中,直线(3cos-sin)=2与圆=4sin的交点的极坐标为_.【解析】直线(cos-sin)=2,即x-y-2=0,圆=4sin即x2+(y-2)2=4,表示以(0,2)为圆心、半径等于2的圆,由求得故直线和圆的交点坐标为(,1),故它的极坐标为.答案:12.(2016邢台高二检测)在以O为极点的极坐标系中,圆=4sin和直线sin=a相交于A,B两点,若AOB是等边三角形,则a的值为_.【解析】由=4sin可得2=4sin,所以x2+y2=4y.所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r=2;由sin=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于AOB是等边三角形,所以圆心C是等边AOB的中心,若设AB的中点为D(如图).则CD=CBsin30=2=1,即a-2=1,所以a=3.答案:3三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换x=2x,y=2y后,曲线C变为曲线(x-5)2+(y+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.【解析】将代入(x-5)2+(y+6)2=1,得(2x-5)2+(2y+6)2=1,即+(y+3)2=,故曲线C是以为圆心,半径为的圆.14.(10分)(2016衡水高二检测)极坐标系中,圆C的极坐标方程为2-8sin+13=0,C点为圆心,已知A,B,求ABC的面积.【解析】圆C的直角坐标方程为x2+y2+4x-4y+13=0,即(x+2)2+(y-2)2=3.又A(0,-1),B(0,-3),所以AB=2.C到直线AB的距离为2,所以CAB的面积=2.15.(10分)在极坐标系中,曲线C:=2sin上的两点A,B对应的极角分别为2蟺3, ,求弦长|AB|的值.【解析】A,B两点的极坐标分别为,化为直角坐标为,故|AB|=.16.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为cos=-1,曲线C2的极坐标方程为=22cos,判断两曲线的位置关系.【解析】将曲线C1,C2化为直角坐标方程,得C1:x+y+2=0,C2:x2+y2-2x-2y=0,即C2:(x-1)2+(y-1)2=2,圆心到直线的距离d=,所以曲线C1与C2相离.17.(10分)(2015全国卷)在直角坐标系xOy中.直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程.(2)若直线C3的极坐标方程为=,设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.【解析】(1)因为x=cos,y=sin,所以C1的极坐标方程为cos=-2,C2的极坐标方程为2-2cos-4sin+4=0.(2)将=代入2-2cos-4sin+4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=.故1-2=,即|MN|=.由于圆C2的半径为1,所以C2MN的面积为.18.(10分)在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:cos=4相交于点M,在OM上取一点P,使OMOP=12.(1)求点P的轨迹方程.(2)设R为l上任意一点,试求RP的最小值.【解析】方法一:(1)设动点P的极坐标为(,),则点M为(0,).因为OMOP=12,所以0=12,得0=12蟻.因为M在直线cos=4上,所以0cos=4.即12蟻cos=4,于是=3cos(0)为所求的点P的轨迹方程.(2)由于点P的轨迹方程为=3cos=2cos,所以点P的轨迹是圆心为,半径为的圆.又直线l:cos=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1.方法二:(1)直线l:cos=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)为轨迹上任意一点,点M(4,y0),由,得y0=(x0).又OMOP=12,则OM2OP2=144.所以(x2+y2)=144,整理得x2+y2=3x(x0),这就是点P的轨迹的普通方程.(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉原点).又点R在直线l:x=4上,由此可知RP的最小值为1.【拓展延伸】求曲