高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课时提升作业含解析新人教A版.docx

排序不等式课时提升作业一、选择题(每小题4分,共12分)1.若0a1a2,0b1b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.12【解析】选A.因为0a1a2,0b10,所以a3b3c3,根据排序原理,得:a3a+b3b+c3ca3b+b3c+c3a.又知abacbc,a2b2c2,所以a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)0.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2016梅州高二检测)若a0,b0且a+b=1,则b2a+a2b的最小值是_.【解析】不妨设ab0,则有a2b2,且,由排序不等式+a2+b2=a+b=1.当且仅当a=b=时取等号,所以+的最小值为1.答案:15.设a,b都是正数,若P=ab2+ba2,Q=ab+ba,则二者的关系是_.【解析】由题意不妨设ab0.由不等式的性质,知a2b2,.所以.根据排序原理,知+.即+.答案:PQ【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.三、解答题6.(10分)(2016广州高二检测)已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).【证明】设正数a,b,c满足abc,则a2b2c2,由排序不等式得,a2b+b2c+c2aa3+b3+c3,a2c+b2a+c2ba3+b3+c3,两式相加,得:2(a3+b3+c3)a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知xy,M=x4+y4,N=x3y+xy3,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.MBB.A0,a2+b2+c2=3,则ab+bc+ca的最大值是_.【解析】不妨设abc0,则b,c,a为乱序,于是由排序不等式知a2+b2+c2ab+bc+ac,所以ab+bc+ca3,即ab+bc+ca的最大值为3.答案:34.(2016珠海高二检测)设a1,a2,an为正数,且a1+a2+an=5,则a12a2+a22a3+an-12an+an2a1的最小值为_.【解析】由所求代数式的对称性,不妨设00,求证:1+x+x2+x2n(2n+1)xn.【解题指南】题中只给出了x0,但是对于x1,x1并不确定,因此,需要分类讨论.【证明】(1)当x1时,1xx2xn.由排序原理知,11+xx+x2x2+xnxnxn1+xn-1x+1xn,所以1+x2+x4+x2n(n+1)xn.又因为x,x2,xn,1为1,x,x2,xn的一个排序,于是由排序原理得1x+xx2+xn-1xn+xn11xn+xxn-1+xn-1x+xn1.所以x+x3+x2n-1nxn.+,得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.(2)当0xxx2xn,同理可得结论.综合(1)与(2),所以当x0时,1+x+x2+x2n(2n+1)xn.【补偿训练】设a1,a2,an为实数,证明:a12+a22+鈥?an2n.【证明】不妨设a1a2a3an由排序原理得a12+a22+a32+an2=a1a1+a2a2+a3a3+anan.a12+a22+a32+an2a1a2+a2a3+a3a4+ana1a12+a22+a32+an2a1a3+a2a4+a3a5+ana2a12+a22+a32+an2a