江苏高考数学复习不等式第15课基本不等式及其应用教师用书.docx

第15课 基本不等式及其应用最新考纲内容要求ABC基本不等式及其应用1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号且不为零)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是_(填序号)a2b22ab；ab2；2.a2b22ab(ab)20，错误；对于，当a0，b0，22.3若a，b都是正数，则的最小值为_9a，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号4若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于_3当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为(202x)(10x)m，则yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.利用基本不等式求最值角度1配凑法求最值(1)已知xy0，且log2xlog2y1，则的最小值为_(1)1(2)4(1)因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)由log2xlog2y1得xy2.(xy).又xy，xy0.(xy)24，当且仅当xy，即xy2时等号成立故的最小值为4.角度2常数代换或消元法求最值(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_(2)设ab2，b0，则取最小值时，a的值为_(1)5(2)2(1)法一：由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5.(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二：由x3y5xy，得x，x0，y0，y.3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)ab2，21，当且仅当时等号成立又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值角度3不等式的综合应用(1)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_(2)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是_(填序号)qrp；prp; prq.(1)1(2)1，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以211.(2)因为ba0，故.又f(x)ln x(x0)为增函数，所以ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln p，pr0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9. 【导学号：62172085】证明(1)2.ab1，a0，b0，2224，8(当且仅当ab时等号成立)(2)法一：a0，b0，ab1，112，同理12，52549，9(当且仅当ab时等号成立)法二：1，由(1)知，8，故19.规律方法1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形2利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到变式训练1设a，b均为正实数，求证：ab2.证明由于a，b均为正实数，所以2，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab22，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，当且仅当即ab时取等号.基本不等式的实际应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(h)，y214，x50,100所以这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x.(或yx，x)(2)yx26 ，当且仅当x，即x18，等号成立故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解变式训练2某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解(1)由题意得，y，即yx1.5(xN)(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，当且仅当x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备思想与方法1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解2基本不等式的两个变形：(1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)(2)(a0，b0，当且仅当ab时取等号)易错与防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致课时分层训练(十五)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1下列命题中正确的是_(填序号)yx的最小值是2；y23x(x0)的最大值是24；ysin2x的最小值是4；y23x(x0)的最小值是24.不正确，如取x1，则y2.正确，因为y23x22224.当且仅当3x，即x时等号成立不正确，令sin2xt，则0t1，所以g(t)t，显然g(t)在(0,1上单调递减，故g(t)ming(1)145.不正确，x0，x0，y23x224.当且仅当3x，即x时等号成立2关于x的不等式x24ax3a20(a0)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是_依题意可得x1x24a，x1x23a2，x1x24a4a2，故x1x2的最小值为.3已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为_. 【导学号：62172086】16因为a0，b0，所以由0恒成立得m(3ab)10恒成立因为26，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16.4(2017盐城模拟)若x0，y0，且2xy2，则的最小值是_由2xy2得x1.12.5要制作一个容积为4 m3 ，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_160元由题意知，体积V4 m3，高h1 m，所以底面积S4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m又设总造价是y元，则y204108020160.当且仅当2x，即x2时取得等号6已知x，y(0，)，2x3y，若(m0)的最小值为3，则m的值为_4由2x3y得xy3，则(xy)(1m2)，(1m2)3，即(1)29，解得m4.7若实数a，b满足，则ab的最小值为_2由知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.8已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_. 【导学号：62172087】3由x22xy30得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.9当a0且a1时，函数f(x)loga(x1)1的图象恒过点A，若点A在直线mxyn0上，则4m2n的最小值为_2由题意可得：点A的坐标为(2,1)，所以2mn1，所以4m2n22m2n222.10(2017苏州期末)已知ab，a，b(0,1)，则的最小值为_. 【导学号：62172088】4ab，b.2222(32)24.当且仅当a时，取“”二、解答题11(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解(1)y(2x3).当x0，24，当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数的最大值为.(2)0x0，y，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为.12已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2016扬州期末)已知ab1且2logab3logba7，则a的最小值为_3由2logab3logba7得logab或logab3(舍去)，ab2，ab2(b21)1213.当且仅当b21，即b，a2时等号成立2(2015山东高考)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_因为xy，所以(2y)x.又x0，y0.故xy(2y)x，当且仅当xy时，等号成立3经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解(1)W(t)f(t)g(t)(120|t20|)(2)当t1,20时，4014t4012441(t5时取最小值)当t(20,30时，因为W(t)5594t递减，所以t30时，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元4(2017盐城模拟)已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元设苹果公司一年内共生产该款i