高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法学案北师大版选修.docx

1.4数学归纳法1.了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点)2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点)基础初探教材整理数学归纳法阅读教材P16P18，完成下列问题.1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立；(2)在假设当nk(nN，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.2.应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤(2)的证明必须以“假设当nk(kn0，kN)时命题成立”为条件.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式123(n3) (nN)时，第一步验证n1时，左边应取的项是()A.1B.12C.123D.1234(2)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_. 【自主解答】(1)当n1时，左边应为1234，故选D.(2)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1).【答案】(1)D(2)2(2k1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.再练一题1.下面四个判断中，正确的是()A.式子1kk2kn(nN)中，当n1时，式子的值为1B.式子1kk2kn1(nN)中，当n1时，式子的值为1kC.式子1(nN)中，当n1时，式子的值为1D.设f(n)(nN)，则f(k1)f(k)【解析】A中，n1时，式子1k；B中，n1时，式子1；C中，n1时，式子1；D中，f(k1)f(k).故正确的是C.【答案】C用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_.(2)证明：不等式12(nN).【精彩点拨】(1)写出当nk时左边的式子，和当nk1时左边的式子，比较即可.(2)在由nk到nk1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.【自主解答】(1)当nk1时左边的代数式是，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是.【答案】(2)证明：当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立.假设当nk(k1且kN)时，不等式成立，即12.则当nk1时，12.假设当nk(k2且kN)时不等式成立，即，那么当nk1时，.这就是说，当nk1时，不等式也成立.由可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.归纳猜想证明已知数列an的前n项和为Sn，其中an且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明.【精彩点拨】(1)令n2，3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明.【自主解答】(1)a2，a1，则a2，类似地求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜得：an.证明：当n1时，由(1)可知等式成立；假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1.因此，k(2k3)ak1，所以ak1.这就证明了当nk1时命题成立.由可知命题对任何nN都成立.1.“归纳猜想证明”的一般环节2.“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和.(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简单的命题(n1，2，3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.再练一题3.数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明.【解】由a12a1，得a11；由a1a222a2，得a2；由a1a2a323a3，得a3；由a1a2a3a424a4，得a4.猜想an.下面证明猜想正确：(1)当n1时，由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当nk时猜想成立，则有ak，当nk1时，Skak12(k1)ak1，ak12(k1)Skk1，所以，当nk1时，等式也成立.由(1)和(2)可知，an对任意正整数n都成立.探究共研型用数学归纳法证明整除性问题探究1数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?【提示】不一定，如证明n边形的内角和为(n2)180时，第一个值为n03.探究2数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN).【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.【自主解答】(1)当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立；(2)假设当nk(kN，k1)时结论成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除.则当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3).因为k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切nN成立.与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将nk1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.再练一题4.用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_. 【解析】由nk成立推证nk1成立时必须用上归纳假设，(k1)35(k1)(k35k)3k(k1)6.【答案】(k35k)3k(k1)6构建体系1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为()A.1B.2C.3D.4【解析】边数最少的凸n边形为三角形，故n03.【答案】C2.用数学归纳法证明1aa2an1(nN，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为()A.1B.1aa2C.1aD.1aa2a3【解析】当n1时，n12，故左边所得的项为1aa2.【答案】B3.用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_. 【解析】当nk1时，应将表达式1427k(3k1)k(k1)2中的k更换为k1.【答案】1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)24.以下是用数学归纳法证明“nN时，2nn2”的过程，证明：(1)当n1时，2112，不等式显然成立.(2)假设当nk(kN)时不等式成立，即2kk2.那么，当nk1时，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即当nk1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何nN不等式都成立.其中错误的步骤为_(填序号).【解析】在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，这是一个不确定的结论.如k2时，k22k1.【答案】(2)5.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n21)2(n222)n(n2n2).【证明】(1)当n1时，左边1210，右边0，所以等式成立.(2)假设当nk(kN)时等