决策中的效用理论.ppt

3 决策中的效用理论,一、期望收益准则 其中， 为在自然状态 下采用策略 时的收益； 为自然状态 发生的概率，,1、存在问题： （1）决策的一次性与期望这种“多次平均”意义有矛盾； （2）多目标决策情况下不同后果难以进行直接比较； （3）不同决策者有自己的偏好。,2、二个悖论 （1）圣 彼得堡悖论（st. petersburg paradox） 掷币者的收入序列（相应于i=1,2,n）： 2， 4， 8， 16， , 2n 相应的概率序列（条件概率）pi ： 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, , 1/2n 期望收益： （2）巴斯葛赌注（pascals wager） 由于信仰对极小概率事件寄以厚望。,二、事态体理论 1、事态体的概念 方案不同 事态不同（局面不同） 事态即方案的可能结果（结果，出现的可能性） 描述事态的模型称为事态体,图3.1 事态体,n=2 时，这时的事态体称为简单事态体。 （1）当p1=p2 时，事态体t1与t2无差异， 即二者等价，记为t1t2 （2）当 o1o0 , p1p2 时，事态体t1优于t2， 记为 t1 t2,2、等价确定值 将非确定性事件与确定性事件建立联系，加以比较。,若a=50, 肯定放弃博弈 当a=0，肯定参加博弈 当a=a*，t1与t2等价（转折方案） a*为确定性当量（等价确定值ce） aa*时，不参加博弈,寻求适宜的a*使非确定性事件与某一确定性事件等价,图3.3,3、基本定理(von neumann和oskar morgenstern提出) 设t 为事态体的集合，t1,t2, t, pi 0,1, t 中的元素都可以相互比较，即对 ti,tj t，下式之一成立： 定理1（传递性） 若 则有,定理2（连续性） 若 则存在某一p 0，1，使 即一个中间事态体，可以与一个较优的事态体和一个较差的事态体组成的复合事态体等价。 这与凸组合的概念一致。,定理3（替代性） 若 p 0，1，则有 即二个简单事态体t1和t2的优先关系，与二个复合事态体pt1+(1-p)t3 与pt2+(1-p)t3的优先关系是一致的，在辨别优先关系时可以互相替代。 t1 t2，,t1,p,t2,p,定理4（简化性） 复合事态体t=(p1t1,piti,pmtm), 可和一简单事态体等价。 可以证明，满足上述4个定理（公理），则存在反映决策者偏好的效用函数，可用它计算各方案的期望效用值，并依据它们进行方案比较和优选。基于此，冯诺曼-摩根斯坦创立了期望效用理论，将其用于风险决策的定量研究。,三、效用函数 1、无差概率 考虑某一确定性事件的后果oc和一事态体p,o1;(1-p),o2，且o1oco2，则总可以找到使二者等价的概率0p1。这个概率p称为oc关于o1和o2的无差概率。,图3.5,再考虑以下等价关系： 图中，o* max(o1,o2,on) o* min(o1,o2,on) 用 表示oj(j=1,2,n)关于o*和o*的无差概率，则有,2、效用函数 考虑决策问题：有m个备选方案a1,a2,am，每个方案ai有n个可能结果oi1,oi2,oin，其出现的概率分别为p1,p2,pn，可表示为下述矩阵,每个方案看成是有n个可能结果的事态体，方案优选就是对m个事态体进行比较和选择。这些事态体又分别等于一个简单的事态体：,其中 为相应的oij关于o*和o*的无差概率。 这里oij实质上就是方案i对决策者所能提供的价值。若决策者认为它有利，估计出的 就会较大，于是 就可看成是oij的函数，称之