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2019年高考数学总复习压轴题突破-导数与零点个数(附解析)与综上可2019年高考数学总复习压轴题突破-极值点的关系证明(含解析)2019年高考数学总复习压轴题突破-导数与零点个数(附解析)专题02 导数与零点个数导数与零点个数,对于考生来讲中等偏难,基本的思路是利用导数分析函数的单调性,确定函数的极值或最值,作出函数的大致图像,再数形结合可求得结果。【题型示 例】1、设 为实数,函数 (1)求 的极值点;(2)如果曲线 与 轴仅有一个交点,求实数 的取值范围【答案】(1) 的极大值点为 ,极小值点为 (2) 或 2、已知函数 .(1)求 的极值;(2)若函数 的图象与函数 的图象在区间 上有公共点,求实数 的取值范围.【答案】(1)极大值 ,无极小值;(2) .【解析】(1) 的 定义域为 , ,令 得 ,当 时, , 是增函数;当 时, , 是减函数,所以 在 处取得极大值,无极小值.(2)当 时,即 时,由 (1)知 在 上是增函数,在 上是减函数,所以 ,因为 的图象与 的图象在 上有公共点,所以 ,解得 ,又 ,所以 .当 时,即 时, 在 上是增函数,所以 在 上最大值为 ,所以原问题等价于 ,解得 .又 ,所以此时 无解.综上,实数 的取值范围是 .3、设函数 (其中 )()求函数 的极值;()求函数 在 上的最小值;()若 ,判断函数 零点个数【答案】(1)极小值 ,不存在极大值;(2)(3)1个【解析】() ,由 得 ,由 得 ,在 单调递增,在 单调递减极小值 ,不存在极大值() 由()知, 在 单调递增,在 单调递减 当 时, 在 单调递减, 单调递增, 当 时, 在 单调递增, ;() 由题意求导得 ,由 得 或 ,由 得所以 在 上单调递增,在 上单调递减当 时, ,故函数 只有一个零点4、已知函数 .(I)若 ,求 的极值;(II)若 ,函数 有且只有一个零点,求实数 的取值范围.【答案】(I) 的极小值为 ;(II) 或 .【解析】(I) 时, ,其中则 得当 时 , 单调递减,当 时 , 单调递增,因而 的极小值为 ;(II)若 有且只有一个零点,即方程 在 上有且只有一个实数根,分离参数得 ,设 ,则 ,又设 , ,而因而当 时 ,当 时 ,那么当 时 , 单调递增,当 时 , 单调递减, ,又 时 ,且 时从而 或 ,即 或 时函数 有且只有一个零点.【题型专练】1、已知函数 .(1)当 时,求 的极值;(2)若函数 有两个零点,求实数 的取值范围.【答案】(1) 有得极大值 ,无 极小值;(2) .2、设函数 , .关于 的方程 在区间 上有解,求 的取值范围;【答案】 的取值范围 .【解析】方程 即为 ,令 ,则 ,当 时, , 随 变化情况如表:, , ,当 时, , 的取值范围 .3、已知函数 .(1)求函数 的单调区间;(2)若当 时(其中 ),不等式 恒成立,求实数 的取值范围;(3)若关于 的方程 在区间 上恰好有两个相异的实根,求实数 的取值范围.【答案】(1) 的单调减区间为 ,增区间 ;(2) ;(3) .【解析】 ,所以(1) ,令 , 得: ,所以 的单调减区间为 ,增区间 ;(2)由(1)知 , 得 ,函数 在 上是连续的,又所以,当 时, 的最大值为故 时,若使 恒成立,则(3)原问题可转化为:方程 在区间 上恰有两个相异实根.令 ,则 ,令 ,解得: .当 时, 在区间 上单调递减,当 时, 在区间 上单调递增.在 和 处连续,又且 当 时, 的最大值是 , 的最小值是在区间 上方程 恰好有两个相异的实根时,实 数 的取值范围是: 4、设函数 ,其中 为实数.(1)若 在 上是单调减函数, 且 在 上有最小值, 求 的取值范围;(2)若 在 上是单调增函数, 试求 的零点个数, 并证明你的结论.【答案】() ;()当 或 时, 有 个零点,当 时, 有 个零点,证明见解析 (2) 在 上恒成立, 则 ,故 .若 , 令 得增区间为 ;令 得减区间为 ,当 时, ;当 时, ;当 时, ,当且仅当 时取等号. 故: 时, 有 个 零点;当 时, 有 个零点.5、已知函数 在 处的切线斜率为2.(1)求 的单调区间和极值;(2)若 在 上无解,求 的取值范围.【答案】(1)函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 .函数的极小值为 ,极大值为 .(2)【解析】(1) , , ,令 ,解得 或 .当 变化时, 的变化情况如下表:函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 .函数的极小值为 ,极大值为 .(2)令 , 在 上无解, 在 上恒成立, ,记 , 在 上恒成立, 在 上单调递减, ,若 ,则 , , 单调递减, 恒成 立,若 ,则 ,存在 ,使得 ,当 时, ,即 , 在 上单调递增, , 在 上成立,与已知矛盾,故舍去,综上可2019年高考数学总复习压轴题突破-极值点的关系证明(含解析)2019年高考数学总复习压轴题突破-极值点的关系证明(含解析)专题01 极值点的关系证明极值点的关系证明是今年高考的热点和难点,其关键在于根据极值的必要条件确定极值 点 的关系,再通过极值的加减,运算整理,构造函数,再利用导数求最 值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。【题型示例】1、已知函数 ,其中 为正实数(1)若函数 在 处的切线斜率为 ,求 的值;(2)求函数 的单调区间;(3)若函数 有两个极值点 ,求证: 【答案】(1) (2)单调减区间为 , ,单调减区间为 (3)见解析【解析】(1)因为 ,所以 ,则 ,所以 的值为 (2) ,函数 的定义域为 ,若 ,即 ,则 ,此时 的单调减区间为 ;若 ,即 ,则 的两根为 ,此时 的单调减区间为 , ,单调减区间为 (3)由(2)知 ,当 时,函数 有两个极值点 , 且 因为要证 ,只需证 构造函数 ,则 ,在 上单调递增,又 ,且 在定义域上不间断,由零点存在定理,可知 在 上唯一实根 , 且 则 在 上递减, 上递增,所以 的最小值为 因为 ,当 时, ,则 ,所以 恒成立所以 ,所以 ,得证2、已知 。(1)若 时, 在 上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)当 时, , 在 上为单调递增函数,即 ,只需满足 即可,即 .(2) , , ,令 , 时, , , 无极值点,时,令 得: 或 ,由 的定义域可知 ,且 , 且 ,解得: , , 为 的两个极值点,即 , ,且 , ,得:,令 , , 时, , , 在 递减, , 时, ,不合题意,综上, .3、已知函数 (1)当 时,求 的极值;(2)讨论 的单调性;(3)设 有两个极值点 , ,若过两点 , 的直线 与 轴的交点在曲线 上,求 的值【答案】(1)当 时, 的极大值为 ;当 时, 的极小值为 ;(2)见解析;(3) 或 或 【解析】(1)当 时, ,则则 的关系如下:增 减 增所以,当 时, 的极大值为 ;当 时, 的极小值为 (2) ,当 时, ,且仅当 时 ,所以 在R是增函数当 时, 有两个根当 时,得 或 ,所以 的单独增区间为: ;当 时,得 ,所以 的单独减区间为: (3)由题设知, , 是 的两个根, ,且所 以同理, 所以,直线 的解析式为设直线 与 轴的交点为 则 ,解得代入 得因为 在 轴上,所以解得, 或 或 4、已知 。(1)若 时, 在 上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2 ) .【解析】(1)当 时, , 在 上为单调递增函数,即 ,只需满足 即可,即 .(2) , , ,令 , 时, , , 无极值点,时,令 得: 或 ,由 的定义域可知 ,且 , 且 ,解得: , , 为 的两个极值点,即 , ,且 , ,得:,令 , , 时, , , 在 递减, , 时, ,不合题意,综上, .【专题练习】1、设函数 , .(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,求 的值;(2)求函数 的单调区间;(3)若函数 有两个极值点 ,且 ,求证: .【答案】(1) ;(2)函数 在 , 单调递增,在 单调递减(3)当函数 有两个极值点时, , ,故此时 ,且 ,即 ,所 以 ,设 ,其中 ,则 ,由于 时, ,故 在 是增函数,故 ,所以 . 当 ,即 时, 的两个根为 , ,当 ,即 时, ,当 时, 故当 时,函数 在 单调递减,在 单调递增;当 时,函数 在 , 单调递增,在 单调递减(3)当函数 有两个极值点时, , ,故此时 ,且 ,即 ,所以 ,设 ,其中 ,则 ,由于 时, ,故 在
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