不等式-总结-(老师版).doc

优化系列（代数卷） 编写：江小谦 方法篇方法篇 第第 1 讲讲 不等关系与不等式不等关系与不等式 1. .比较原理：比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;a0)0CByAx 当 B0 时, 表示直线上方区域; 表示直线0CByAx0CByAx0CByAx 的下方区域.0cByAx 当 B0，y0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值 【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应 将 lgx+lgy 转化成 lgxy 考虑 解析x0，y0，3x+4y=12， ， lgx+lgy=lgxylg3 yxxy43 12 1 3 2 43 12 1 2 yx 由 解得 当 x=2，y=时，lgx+lgy 取得最大值 lg3 yx yx yx 43 1243 0, 0 2 3 2 y x 2 3 题型题型 3.灵活运用基本不等式求取值范围灵活运用基本不等式求取值范围 例 3. 若正数 a，b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是_ 优化系列（代数卷） 编写：江小谦 【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解 解法一 由 a、bR+，由重要不等式得 a+b2，ab 则 ab=a+b+32+3，ab 即3， ab9 32abab) 1)(3(0ababab0 解法二 a、b 为正数， ab=a+b+30， 3 33ab 两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三 原条件式变为 ab-3=a+b， a、b 均为正数，故式两边都为正数，两边平方得 a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab， 即 a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0， 由式可知 ab3， ab9 解法四 把 a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为 x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0， 即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0， ab-1=a+b+20 成立， ab9 解法五 由已知得 a(b-1)=b+3，显然 a1， ， 1 3 b b a ，5 1 4 1 1 4) 1(5) 1( 1 3 2 b b b bb b b bab9542 即 ab9 考点考点 2 利用基本不等式证明利用基本不等式证明 题型：用综合法证明简单的不等式题型：用综合法证明简单的不等式 例 1.已知, ,a b cR,求证: 222 abcabbcca. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体. 解析 222222 2,2,2abab bcbc acac, 相加整理得 222 abcabbcca. 当且仅当abc时等号成立. 优化系列（代数卷） 编写：江小谦 考点考点 3 基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用 题型题型 1.处理恒成立的有关问题处理恒成立的有关问题 例 1. (2008中山)若, x yR,且xya xy恒成立,则a的最小值是_ 【解题思路】分离系数得令求最大值即可 xy a xy ( , ) xy f x y xy 解析: 事实上求函数( , ) xy f x y xy 的最大值,即 2 ()2 ( , )1 xyxy f x y xyxy 的 最大值,运用基本不等式不难得到2a . 题型题型 2.处理函数应用题处理函数应用题 .例 2.(2008梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产x千件,需另投入成本 为( )C x.当年产量不足 80 千件时, 2 1 ( )10 3 C xxx(万元);当年产量不小于 80 千件时, 10000 ( )511450C xx x (万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的 商品能全部售完. (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【解题思路】凑出基本不等式的形式. 解析: (1)当080x时, 22 11 ( )0.05 10001025040250 33 L xxxxxx 当80x 时, 1000010000 ( )0.05 10005114502501200()L xxxx xx 2 1 40250,080 3 ( ) 10000 1200(),80 xxx L x xx x (2)当080x时, 2 1 ( )(60)950 3 L xx ,此时,当60x 时,( )L x取得最大值 (60)950L(万元); 当80x 时, 1000010000 ( )1200()1200212002001000L xxx xx 此时,当 10000 x x 时,即100x 时,( )L x取得最大值 1000 万元. 所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. 优化系列（代数卷） 编写：江小谦 题型题型 3.处理数列应用题处理数列应用题 例 3. 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007 年该乡从 甲企业获得利润 320 万元,从乙企业获得利润 720 万元.以后每年上交的利润是：甲企业 以 1.5 倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的 3 2 .根据测算,该乡从两个企业获得的利 润达到 2000 万元可以解决温饱问题,达到 8100 万元可以达到小康水平. （1）若以 2007 年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还 需要筹集多少万元才能解决温饱问题？ （2）试估算 2015 年底该乡能否达到小康水平？为什么？ 【解题思路】经审题抽象出数列模型 解析（）若以 2007 年为第一年,则第 n 年该乡从这两家企业获得的利润为 ) 1( ,) 3 2 (720) 2 3 (320 11 ny nn n = 1111 ) 3 2 (9) 2 3 (4802) 3 2 (9) 2 3 (480 nnnn =9606802 当且仅当 11 ) 3 2 (9) 2 3 (4 nn ,即 n=2 时,等号成立， 所以第二年（2008 年）上交利润最少，利润为 960 万元. 由 2000960=1040（万元）知：还需另筹资金 1040 万元可解决温饱问题. （）2015 年为第 9 年,该年可从两个企业获得利润 88 9 ) 3 2 (720) 2 3 (320y 16 8181 20 1616 8181 320) 2 3 (320 8 810058120 所以该乡到 2015 年底可以达到小康水平. 优化系列（代数卷） 编写：江小谦 训练篇训练篇 1.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 答（C ） 23, 23, 0, 0 xy xy x y zxy （A）1. （B）. （C）2. （D）3. 3 2 解析：当直线过点 B(1,1)时，z 最大值为 2zxy 2、若实数，满足不等式组且的最大值为 9，则实数xy 330, 230, 10, xy xy xmy xym （A） （B） （C）1 （D）221 解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C， 本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题 3、不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 【答案】C （A）2,3x xx或 （B）213x xx，或 （C） 213xxx ，或 （D）2113xxx ，或 【解析】利用数轴穿根 法解得-2x1 或 x3，故选 C 4、若变量 x,y 满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值为 1 325 x yx xy （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析解析】C】C：本题考查了线性规划的知识。：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与与的交点为最优解点，的交点为最优解点，即为（即为（1 1，1 1） ，当，当时时 yx325xy1,1xy max 3z 优化系列（代数卷） 编写：江小谦 5、不等式0 的解集为 【解析解析】A】A 3 2 x x （A） （B） （C） （D）23xx 2x x 23x xx 或 3x x 本题考查了不等式的解法本题考查了不等式的解法 ， ，故选，故选 A A 3 0 2 x x 23x 6、不等式 的解集是（ ） 【答案】 A 22xx xx A. B. C. D. (0 2)，(0)，(2)，(0)（-，0）， 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得 A。 2 0 x x 或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。 7、设 x,y 满足约束条件 260, 260, 0, xy xy y 则目标函数 z=x+y 的最大值是 （A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3 个顶点是，目标函数(3,0),(6,0),(2,2) 在取最大值 6。zxy(6,0) 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则 区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最 大值. 8、设变量满足约束条件则的最, x y 0, 0, 220, x xy xy 32zxy 大值为 （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大32zxy 由 B（2,2）知4 max z 9、已知 x0，y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. 11 2 解析：考察均值不等式 优化系列（代数卷） 编写：江小谦 ，整理得 2 2 2 8)2(82 yx yxyx032242 2 yxyx 即，又，08242yxyx02yx42yx 10、已知 x0，y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. 11 2 解析：考察均值不等式，整理得 2 2 2 8)2(82 yx yxyx 032242 2 yxyx 即，又，08242yxyx02yx42yx 11、 （10）设则 1 2 3 log 2,ln2,5abc （A）（B） (C)(C) (D) abcbcacabcba 【解析 1】 a=2=, b=In2=,而,所以 ab, 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c=,而,所以 ca,综上 cab. 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 12、设，则的最小值是0ab 2 11 a aba ab （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解析：w_w w. k#s5_u.c o*m 2 11 a aba ab 2 11 () aabab aba ab 224 11 () () aba ab aba ab 当且仅当 ab1,a(ab)1 时等号成立如取 a,b满足条件.2 2 2 13、不等式的解集是 。 2 0 4 x x 24|xx 解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x2 2 0 4 x x 9 2 优化系列（代数卷） 编写：江小谦 14、若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是，0,0,2abab, a b (写出所有正确命题的编号) ； ； ； ； 1ab 2ab 22 2ab 33 3ab 11 2 ab 【解析】令，排除；由，命题正确；1ab221ababab ，命题正确；，命题 222 ()2422abababab 112 2 ab ababab 正确。 15、若正实数 X，Y 满足 2X+Y+6=XY ， 则 XY 的最小值是 。答案：答案：1818 （2010 山东文数）山东文数） （14）已知，且满足，则 xy 的最大值为 . 答, x yR1 34 xy 案：3 16、不等式的解集是 . 2 2 0 32 x xx 21,2xxx 或 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法 【解析】: ，数轴标根 2 2 0 32 x xx 2 02210 21 x xxx xx 得：21,2xxx 或 17、不等式的解集是 . 2 211xx 18、设实数 x,y 满足 38，49，则的最大值是 。 2 xy y x2 4 3 y x 解 考查不等式的基本性质，等价转化思想。， 2 2 ()16,81 x y 2 11 1 , 8 3xy ，的最大值是 27。 32 2 42 1 ()2,27 xx yyxy 4 3 y x 19.（本小题满分 12 分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单 优化系列（代数卷） 编写：江小谦 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物，42 个单位的蛋