山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程学案新人教A版.docx

32.3直线的一般式方程学习目标1.掌握直线的一般式方程；2.理解关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)都表示直线；3.会进行直线方程的五种形式之间的转化知识点一直线的一般式方程思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用AxByC0(A，B不同时为0)来表示吗？答案能思考2关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定思考3当B0时，方程AxByC0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B0呢？答案当B0时，由AxByC0得，yx，所以该方程表示斜率为，在y轴上截距为的直线；当B0时，A0，由AxByC0得x，所以该方程表示一条垂直于x轴的直线形式AxByC0条件A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一直线一般式的性质例1设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)若直线l在x轴上的截距为3，则m_.(2)若直线l的斜率为1，则m_.答案(1)(2)2解析(1)令y0，则x，3，得m或m3(舍去)m.(2)由直线l化为斜截式方程得yx，则1，得m2或m1(舍去)m2.反思与感悟(1)方程AxByC0表示直线，需满足A，B不同时为0.(2)令x0可得在y轴上的截距令y0可得在x轴上的截距若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式(3)解分式方程注意验根跟踪训练1(1)若方程(a25a6)x(a22a)y10表示一条直线，则实数a满足_答案a2解析由得a2，方程(a25a6)x(a22a)y10表示一条直线，a2.(2)直线l的方程为(a1)xy2a0，若l在两坐标轴上的截距相等，求a；若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解令x0，则ya2，令y0，则x，l在两坐标轴上的截距相等，a2，得a2或a0.由知，在x轴上截距为，在y轴上的截距为a2，得a1或a2.类型二判断两条直线的位置关系例2判断下列直线的位置关系：(1)l1：2x3y40，l2：3y2x40；(2)l1：2x3y40，l2：4x6y80；(3)l1：(a1)xy5，l2：2x(2a2)y40.解(1)直线l2的方程可写为2x3y40，由题意知，l1l2.(2)由题意知，l1与l2重合(3)由题意知，当a1时，l1：y5，l2：x20，l1l2.当a1时，故l1不平行于l2，又(a1)2(2a2)10，l1l2，综上l1l2.反思与感悟(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论跟踪训练2(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解方法一(1)由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，即()()1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.方法二(1)令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.类型三求平行、垂直的直线方程例3已知直线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直解方法一l的方程可化为yx3，l的斜率为.(1)l与l平行，l的斜率为.又l过点(1,3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)l与l垂直，l的斜率为，又l过点(1,3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y130.方法二(1)由l与l平行，可设l的方程为3x4ym0.将点(1,3)代入上式得m9.所求直线的方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设l的方程为4x3yn0.将(1,3)代入上式得n13.所求直线的方程为4x3y130.反思与感悟一般地，直线AxByC0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyn0.这是经常采用的解题技巧跟踪训练3已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程解(1)将与直线l平行的直线方程设为3x4yC10，又过点A(2,2)，所以3242C10，所以C114.所求直线方程为3x4y140.(2)将与l垂直的直线方程设为4x3yC20，又过点A(2,2)，所以4232C20，所以C22，所以直线方程为4x3y20.1若方程AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为()AA0 BB0CAB0 DA2B20答案D解析方程AxByC0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2B20.2已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限答案C解析由axbyc，得yx，ab0，bc0，直线在y轴上的截距0.由此可知直线通过第一、三、四象限3已知两直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，(1)若l1l2，则m_.(2)若l1l2，则m_.答案(1)1(2)解析(1)由题意知得m1.(2)由题意知1(m2)m30，得m.4求与直线3x4y10平行，且过点(1,2)的直线l的方程解由题意，设l的方程为3x4yC0，将点(1,2)代入l的方程342C0得C11，直线l的方程为3x4y110.1根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1k2且b1b2；若都不存在，则还要判定不重合(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10，或A1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性2根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k21.(2)一般地，设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.第二种方法可避免讨论，减小失误1若直线(m2)x(m22m3)y2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为()A. B6 C D6答案B解析令y0，则x，由题意知，3，得m6.2过点P(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()A2xy10 B2xy50Cx2y50 Dx2y70答案A解析设所求直线方程为2xyc0，将x1，y3代入2xyc0，得c1.故所求直线方程为2xy10.3已知直线(2mm2)x(4m2)ym240的斜率不存在，则m的值是()A1 B. C2 D2答案C解析由题意知解得m2.4已知直线axby10在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线xy0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.，1 B.，1C，1 D，1答案D解析原方程可化为1，1，b1.又axby10的斜率ka，且xy0的倾斜角为60，ktan 120，a，故选D.5过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析可设与直线x2y20平行的直线的方程为x2yc0，将点(1,0)代入x2yc0，得c1.故所求直线方程是x2y10.6若ac0，bc0，则直线axbyc0的图形只能是()答案C解析令y0，得x，ac0.令x0，得y，bc0，与x轴、y轴截距均为正值，故选C.7直线l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是()答案C解析将l1与l2的方程化为斜截式得：yaxb，ybxa，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8直线(2a27a3)x(a29)y3a20的倾斜角为45，则实数a_.答案解析由题意知，斜率存在，倾斜角为45，即k1，1，且a290，解得a.9垂直于直线3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是_答案3解析由题意可设与直线3x4y70垂直的直线的方程为4x3yc0，令y0得，x，令x0，得y，则S|()|6，得c2122，c12，在x轴上的截距为3.10若直线mxy(2m1)0恒过定点，则此定点是_答案(2,1)解析由ymx2m1，得y1m(x2)，所以直线恒过定点(2,1)11若三条直线xy0，xy0，xay3能构成三角形，则a的取值范围是_答案a1解析由直线xy0与xy0都过(0,0)点，而xay3不过(0,0)点，只需满足xay3不与xy0与xy0平行即可，故a1.三、解答题12若方程(m23m2)x(m2)y2m50表示直线，(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k1，求实数m的值解(1)由题意知解得m2.(2)由题意知，m2，由1，解得m0.13已知平面内两点A(8，6)，B(2,2)(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，3)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)