高中数学第二章推理与证明2.3第2课时数学归纳法2学案新人教A版.docx

2.3 第二课时 数学归纳法(2)一、课前准备1课时目标1.了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2.掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)3.培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想2基础预探(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1) ；(2) 由(1)，(2)可知，命题对于从开始的所有正整数都正确(2)“归纳 ”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型解这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明其中解题的关键在于正确的归纳猜想. 二、学习引领1. 问题情景(1)多米诺骨牌游戏。可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：第一块骨牌倒下；任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。思考：条件的作用是什么？可以看出，条件事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证成立。(2)用多米诺骨牌原理解决数学问题。思考：证明数列的通过公式是, 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（1）当时，猜想成立（2）若第块倒下时，则相邻的第块也倒下（2）若当时猜想成立，即，则当时猜想也成立，即根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对任意的正整数，猜想都成立。2. 回顾等差数列通项公式推导过程：, 证明:等差数列通项公式证明: (1) 当时等式成立；(2) 假设当时等式成立, 即, 则=, 即时等式也成立于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式对任何都成立3.证明中应注意的几个问题 (1)数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择 (2)注意与的不同，理解和书写时不要弄混 (3)第二步中要准确把握由到时，要证明的结论中到底需要添加（或舍去）哪些项，如用数学归纳法证明某数列问题时，当时有，,则时有，不要弄错 (4)在证明第二步命题成立时，必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法在初学数学归纳法时常易犯不用归纳假设，而直接运用相关公式（如数列的有关公式）的错误，需特别注意应通过例题和习题体会和练习怎样使用归纳假设，通过错例分析体会怎样避免不用归纳假设的情况(5)数学归纳法的关键在第二步，要能真正地证明结论正确才行，切忌证不出而直接说结论成立证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其它方法为证时结论成立，对条件和结论进行各种各样的恒等变形是必要的和必须的，常见变形技巧有提公因式、配方、恰当放缩、起点后移、增加跨度、强化命题、添项拆项等另外，不妨先把时的结论写出来，为证明提供方向(6)数学归纳法中的两步缺一不可，否则结论不能成立只有第一步，只能证明特殊情况，无法延续；只有第二步，没有奠基，可能会推出错误的结论4.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数0，如果当时，命题成立，再假设当时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数命题都成立.5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当取第一个值结论正确；(2)假设当时结论正确，证明当时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从开始的所有正整数都正确三、典例导析 题型一 证明等式例1.否存在常数使得等式对一切成立？并证明你的结论思路导析:可先进行计算，找到的值，再归纳猜想，最后证明解析:假设存在常数使上式对均成立，则当时上式显然也成立，此时可得,解此方程组，可得下面用数学归纳法证明等式:对一切均成立当时，命题显然成立假设时，命题成立即，那么当时，即当时，命题成立综上所述，存在常数，使得等式对一切均成立规律总结:对于利用数学归纳法证明存在性问题,首先取一些具体的数值,计算出字母的取值,再利用数学归纳法证明,即猜想“归纳猜想证明”的思维模式变式训练1. 数列满足，前n项和，求数列的通项公式题型二 证明不等式例2.是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足：，若，求证：思路导析:用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想、证明四步完成证明：对任意都成立，对于时，；当时，；当时，；，猜想（）下面用数学归纳法证明：（1）当时，（）式成立（2）假设时，（）式成立，即，当时，时，（）式成立由（1）和（2），可知对任何，成立所以要证明结论成立，只需证明，成立规律总结:先对前有限项进行求值, 通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明其中解题的关键在于正确的归纳猜想.变式训练2.已知等差数列和等比数列，且，试比较与，与的大小，并猜想与（，）的大小关系，并证明你的结论题型三 实际问题例3.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用表示某鱼群在第年年初的总量，且,不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数.（）求与的关系式；（）猜测：当且仅当满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设为保证对任意，都有则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论.思路导析:先找出与的关系式,再结合实际问题进行分析解析:（I）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为因此得,即（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，N*，从而由（*）式得恒等于0,所以,即因为，所以.猜测：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（）若的值使得,由知,特别地，有 即而，所以由此猜测的最大允许值是1.下证: 当，时，都有, 当时，结论显然成立. 假设当时结论成立，即,则当时，又因为,所以，故当时结论也成立.由、可知，对于任意的，都有.综上所述，为保证对任意, 都有，则捕捞强度的最大允许值是规律总结:对于实际问题一定要找出递推关系式,再结合具体问题对猜想的结论使用数学归纳法进行证明.变式训练3.设点(，0)，和抛物线：，其中，由以下方法得到： ，点在抛物线：上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离，点在抛物线：上，点(，0)到的距离是 到上点的最短距离 ()求及的方程 ()证明是等差数列四、随堂练习1.用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A假设时正确，再推证正确B假设时正确，再推证正确C假设的正确，再推证正确D假设时正确，再推证正确2.用数学归纳法证明，从到右端需增乘的代数式为（ ）ABCD3.已知，则中共有 项4.设，则用含有的式子表示为 5.数列的前项和，先计算数列的前4项，后猜想并证明之6.已知函数设数列满足，数列满足 （）用数学归纳法证明；（）证明五、课后作业1如果命题对成立，那么它对也成立，又若对成立，则下列结论正确的是（ ）A对所有自然数成立 B对所有正偶数成立C对所有正奇数成立 D对所有大于1的自然数成立2.用数学归纳法证明：“”在验证时，左端计算所得的项为（ ）A1BCD3.已知，用数学归纳法证明时，等于4.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为 5.设，是否存在使等式对的一切自然数都成立，并证明你的结论6.数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式对成立,求证，其中无理数e=2.71828.第二课时 数学归纳法(2)答案及解析2基础预探(1)证明：当取第一个值结论正确 假设当时结论正确，证明当时结论也正确.(2) 猜想 证明三、典例导析变式训练1.解析:，由变形整理，得，取正根，得，由及，得，变形整理，得，取正根，得同理，求得由此猜想下面用数学归纳法证明：（1）当时，上面已求出，结论成立（2）假设当，时，结论成立，即那么当时，整理得，取正根，得，故时，结论成立由（1）和（2），可知对任何，成立变式训练2.解：设，的公差为，的公比为因为，又，猜想下面用数学归纳法证明此猜想：当时，已证，猜想正确（2）假设当（，）时猜想正确，即则当时，由，知：，又，而，即当时，猜想也成立由（1）和（2）可知，对，均有成立变式训练3.解析：（）由题意得，设点是上任意一点，则，令则，由题意得，即又在上，所以，解得故的方程为()设点是上任意一点，则令，则，由题意得即又，即下面用数学归纳法证明，当时，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，由知，又，即时，等式成立由知，等式对成立，故是等差数列四、随堂练习1.B 解析: 的下一个正奇数为2.B 解析: ,增乘3. 解析: 注意到首项和末项4.解析: 5.解：由，由，得，得由，得猜想下面用数学归纳法证明猜想正确：（1）时，左边，右边，猜想成立（2）假设当时，猜想成立，就是，此时则当时，由，得，这就是说，当时，等式也成立由(1)(2)得对均成立6.解：（）证明：当 因为a1=1，所以 下面用数学归纳法证明不等式（1）当n=1时，b1=，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即那么所以，当n=k+1时，不等也成立,根据（1）和（2），可知不等式对任意nN*都成立.（）证明：由（）知， 所以 故对任意五、课后作业1.B 解析:命题成立2.C 解析: 3