华工概率论与数理统计第七章作业答案.pdf

7.1 解：因 += 1 0 1 )1 () 1(),(dxxxxdxxxfXE 2 2 1 1 1 )1 ( )1 ( )1 ()1 ( 1 0 1 0 1 1 0 + = + + += += += + xdxx dxxx 故 1 2 XE XE = 从而依矩法估计有 X X M = 1 2 7.2 解：因)(PoisX 故=XE 从而依矩法估计有X M = 又因 12 17 237102216 253473102221160 = + + =X 所以 12 17 = M 7.6 解： 由于mpXE= 故 1 XE m p = 从而依矩估计法 m X p =. 由于X的似然函数为 = = n i iin xXPpxxxL 1 21 )();,( ii xmx n ii pp x m = =)1 ( 1 从而 )1ln()(lnln);,(ln( 111 21 pxnmpx x m pxxxL n i i n i i n ii n + = = 上式两端关于p求导，并令其为 0 得 0)( 1 11ln 11 = = = n i i n i i xnm p x pp L 即 m X p = 最终得p的最大似然估计量为 m X pL= . 7.9 解： 由于dxe x edxexXE xx = 1 += = = = )( )( eee dxxee x dxee x 同理 2222 22 1 += dxexXE x 所以 22 )(XEXEXVar= 2 222 )(22 = += 从而 = = XVar XVarXE 故依矩估计法有 = = nM nM S SX 由于当), 2 , 1(nixi=即 )1( x时,X的似然函数为 = = n i iXn xfxxxL 1 21 ),(),;,( n x n n i i e = = 1 1 1 从而 = = n i in n xnxxxL 1 21 1 ln),;,(ln( 上式两端关于求导，并令其为 0 得 0 ln = nL 上式无解 因此从似然函数的定义出发， 要使X的似然函数达最大应 取 )1( X 所以 )1( X L = 又因Lln关于求导，并令其为 0 得 0)( 1ln 1 2 =+= = n i i nx nL 即= X 从而 )1( XX L = 故 = = )1( )1( XX X L L 7.10 解：由于X的似然函数为 = = n i iXn xfxxxL 1 21 ),();,( = = n i i x ne 1 故 = = n i in xnxxxL 1 21 ln);,(ln( 上式两端关于求导，并令其为 0 得 0 ln 1 = = n i i x nL 即 X 1 = 从而 51179 11 . = X L 又因 = 1500 1500 )1500( edxeXP x 所以 2717 . 1 1500 =eePL 7.13 解： （1）因, 0UX 故 = 2 222 1 XEXETE 又因 = ., 0 ,0, )( )( 1 )1( 其它 x xn xf n n X 所以 + = = 0 1 )1( 1 )( n dx xn xXE n n 从而=+=) 1( )1(2 XEnTE 因此综上可知 21,T T均为的无偏估计量 . （2）因 + = = 0 21 22 )1( )2)(1( 2)( nn dx xn xXE n n 故) 1( )1( 2 2 XVarnTVar+= 2 ) 1()2)(1( 2 ) 1( )() 1( 2 2 22 2 2 )1( 2 )1( 2 + = + + += += n n nnn n XEXEn 又因 nn XVar n XVarTVar 312 4 4 4 22 1 = 所以0 )2(3 ) 1)(23( 23 222 + + = + nn nn n n n )2( n 从而 21 TVarTVar 因此 1 T更有效 . 7.16 解： （1）由于X的似然函数为 = = n i iin xXPxxxL 1 21 )();,( ii xx n ii x = = 10 1 )1 ( 10 从而)1ln()10(ln 10 lnln 111 pxnx x L n i i n i i n ii + = = 上式两端关于求导，并令其为 0 得 0)10( 1 11ln 11 = = = n i i n i i xnx L 即 10 X = 从而得的最大似然估计量为 10 X L = （2）因=10 10 1 10 1 10 1 XEXEE L 所以 L 是的无偏估计 又因 10 X ML = 故 L 是的矩估计 因此 L 是的相合估计 . 7.17 解：设的置信水平为1 因) 1 , 0( 2 )( N Xn 故 = 1 2 )( 2 1 u Xn P 得置信区间为 + n u X n u X 2 1 2 1 2 , 2 所以1 . 095 . 0 2 1= 因此的置信度为9 . 01= 又因置信区间的长度为 n u 95 . 0 4 故9932.10161 4 2 95 . 0 95 . 0 =un n u 从而样本容量至少为11 . 7.19 解： （1）由于 2 未知 故由) 1 , 0( )( N Xn ，) 1( ) 1( 2 2 *2 n Sn n 知) 1( )( * nt S Xn n 所以置信水平为 0.95 的置信区间为 + n S ntX n S ntX nn * 2 1 * 2 1 ) 1(,) 1( 又因975 . 0 2 105 . 0 95 . 0 1= 12=n，2010211 975 . 0 .=）（t，6329 . 2 * 12 =S 代入得的置信水平为0.95的置信区间为9229.1001,5771.998. （2）由于未知，且) 1( ) 1( 2 2 *2 n Sn n 所以置信水平为 0.95 的置信区间为 ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( 2 2 * 2 2 1 * 22 n Sn n Sn nn 又因 816311 2 0250 . . =）（，9202111 2 9750 . . =）（ 代入得的置信水平为0.95的置信区间为9826.19,4787. 3. 7.20 解：设YX,分别表示甲、乙两类试验田的亩产量，则其均值分 别为 甲 ， 乙 ，方差为 2 ，且10, 8=nm 则),( 2 甲NX，),( 2 乙NY 而 2 未知，且)2( )2( 11 )()( 2 2 2 2 1 + + + + nmt nm nSmS nm YX nm 乙甲 故 乙甲 的置信水平为 0.95 的置信区间为 2 11 )2()( 2 2 2 1 2 1 + + + nm nSmS nm nmtYX nm ， 2 11 )2()( 2 2 2 1 2 1 + + + nm nSmS nm nmtYX nm 因625.569 8 1 8 1 = =i i XX，2431850)( 8 1 2 8 1 2 1 .= =i im XXS 487 10 1 10 1 = =i i YY，59822930)( 10 1 2 10 1 2 1 .= =i im YYS 1199 . 2 )16( 975 . 0 =t 所以 乙甲 的置信水平为 0.95 的置信区间为4216.135,8284.29 7.21解：设X与Y分别表示BA与的测量值，且),( 甲甲 NX ),( 乙乙 NY 因 2 2 乙 甲 的 95%的置信区间为 2 2 2 2 )9 , 9( 1 )9 , 9( 1 025 . 0 975 . 0 * * * * 乙