大学电磁场课后答案.pdf

习题二习题二 2-3 已知真空中静电场的电位x d Ux x+= 0 2 )( V，求电场强度的分布及电荷体密度。 解： xx d Ux x eeE) 2 ( 0 += = V/m 2) 2 ( 0 000 = = x Ex ED C/m2 2-4 半径为的圆面上均匀带电， 电荷面密度为a， 试求：(1)轴线上离圆心为z处的场强，(2)在保持 不变的情况下，当和时结果如何？(3)在保持总电荷不变的情况下，当和0aa0aa时 结果如何? 解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r、厚度为的圆环，它所带的电荷量为rdrrqd2d=。由 例题2-5(1)的结果可知该回环在轴线上P点处的场强为 z R dq o a 2 3 22 0 2 3 )( d 2 )zr rrz + = 22 0( 4 d d zr qz E + = 则整个均匀带电圆面在轴线上P点出产生的场强为 )1 ( 2 ) 22 0 2 3 2 za zr + = ( d 2 0 2 0 zr rz E a z + = (2)若不变，当时，则 0a 0) 11 ( 2 0 = z E 当，则 a 00 2 )01 ( 2 = z E (3)若保持不变，当a时，此带电圆面可视为一点电荷。则 2 aq =0 2 0 4z q Ez = 当时，a0，则。 0= z E 2-5 已知某空间电场强度，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是 静电场，求与之对应的电位的分布。 zyx yxzxxzyeeeE+=)2( 答案 （1）是 （2） xyzx= 2 2-7 在半径为的无限长带电长直圆柱中分布有电荷，其中、a r e = 00 均为常数。求圆柱内、 外的电场强度。 答案 r rr i e a re ara eE) 11 ( 0 0 = r rr o e a ae ara eE) 11 ( 0 0 = 2-8 已知电场强度),0( , 0 3 3 0 为常数Ear a rE r = 0)( 2 0 2 0 z z z z e e D 2-12 在无限大真空中，已知电位 r e r q = 0 4 （式中r为球坐标系中半径坐标） ，求对应的电场强度 及电荷分布。 分析分析 处是0=r )(r 的奇异点，在该点应有一个点电荷。在0r处，可由求得电荷体 密度，而位于处的点电荷，则可应用高斯定律求得。 2 0 = 0=r 解解 (1)电场强度为 r r r rr e q r eeE += = 2 0 1 4 (2) 在处，电荷体密度由球坐标系中散度展开式求得为 0r () r r e r q Er rr = = 4 1 2 2 2 ED 为了确定处的点电荷，作一个半径为0=r r的球面 。由高斯定律可得到球面内的总电荷为 SS Q r S erqrrEQ += )1 (4)(d 2 00 SE 该球面内的体分布电荷的总电荷量S Q 为 qerqe q VQ r rr V += = )1 (d4 4 d)(d 0 2 2 0 故处的点电荷为 0=r 0 q qQQq= 0 说明说明 在给定E或分布时可应用 E= 或求电荷分布。但应注意：在 2 =E或的奇 异点处可能有点电荷，而在E的突变面上，可能有面分布的自由电荷。 2-13 一个半径为的导体球，要使得它在空气中带点且不放电，试求它所能带点最大电荷量级表面电 位各是多少？已知空气的击穿场强为V/m。 a 6 103 答案 3 2 max 10 3 = a qC，V 6 max 103= a 2-14 空气中有一内外半径分别为和的带电介质球壳，介质的介电常数为ab，介质内有电荷密度为 2 r A =的电荷分布，其中系数A为常数。求总电荷及空间电场强度、电位的分布。若，结果如 何？ ab 答案 )(4abAq= r r arA eE 2 1 )( =， r r abA eE 2 0 2 )( = 2-15在半径分别为a和的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度C/m2。已知 外球壳接地，内球壳的电位为，如例3.3图所示。求两导体球壳间的电场和电位分布。 b 0 = 0 U 分析分析 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。 由于电荷分布具有球对称性， 可用高 斯定律求解。先假设内球壳的外表面上的感应电荷面密度，求出电场强度后，由两导体球壳间的电位差 确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。 解解 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电 荷。由于电荷分布具有球对称性，可用高斯定律求解。设内 球壳的外表面上的感应电荷面密度。根据高斯定律，有 b 题 2-16 图 a b c 0 a b c 0 a b c 0 0 3322 0 )( 3 4 4 arar+= 4E )(bra 题 2-15 图 a U0 2 0 2 0 0 0 2 1 2 0 2 0 0 0 2 1 2 2 , 22r aa r bb rr r e r E r e r E= = 点P处总的电场为 ) ( 2 2 2 2 2 0 11 r a r brr EEE=+= 在且区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点br P产生的电场分别为 2 0 2 0 2 2 00 2 2 2 2 , 22r aar rr r e r E r e r E= = 点P处总的电场为 ) ( 2 2 2 0 0 22 r a r rEEE=+= 在的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点ar 介质球内、外的电位分别为 r r RK r r K rErEl R R rRr R r d )( d )( ddd 2 000 211 + =+= E )( ln )( 000 + = K r RK )(Rr r RK r r RK drE rr )( d )( 00 2 00 22 = = ) (Rr 说明说明 虽然介质是均匀的，但极化强度P不是常矢量，所以介质的极化是非均匀的。因此，介质 体内可能有极化电荷， 此即意味着介质体内有自由电荷分布， 但介质表面上通常不存在面分布的自由电 荷。 2-19设平行板电容器的极板与x轴垂直，平行板内介质的介电常数为)1 (xK+=，其中K为常数。若 处的极板接地，处的极板电位为。试求介质中电场的分布及电容器的电容。 （提示：平 行板内的介质不均匀分布） 0=x dx =U 答案 )1ln(d K C + = 2-20无限长同轴电缆内外导体的半径分别为和， 单位长度的带电量分别为和。 两导体间填 充介质，介电常数为 1 r 2 r 0 + 0 r K =，其中K为常数。试求介质中的电场强度、极化电荷的分布。 答案 r K eE 2 0 =， Kr p 2 00 =， = 1 00 1 1 2 )( rK r p ， = Kr r p 0 2 0 2 1 2 )( 2-21自由空间均匀电场中有一厚度为的无限大均匀介质板，介质板的相对介电常数为，介 质板的法线方向与外电场方向夹角为。求：(1)使介质板内电场方向与板的法线方向夹角为时的 值；(2)介质板表面的极化电荷面密度。 0 Ed4= r 1 45 1 分析分析 当无限大介质板放入均匀电场中时，介质表面上有均匀分布的极化电荷，极化电荷在介质 内产生均匀电场，而在介质外产生的电场为零，故介质外的电场不变。根据静电场的边界条件，即可求 得以及介质板表面的极化电荷密度。 1 解解 (1)根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 例 3.9 图 0 E 0 E 0 E 2 1 题 2-21 0 2 1 tan tan = 由此得到 o 14 4 1 tantan tan tan 101201 1 = (2)设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有 ，即 nn EE= 00 n EE= 100 cos 所以 o 14cos 4 1 cos 010 0 EEEn= 介质板左表面的束缚电荷面密度 00000 728. 014cos 4 3 )(EEEn p = o 介质板右表面的束缚电荷面密度 00000 728. 014cos 4 3 )(EEEn p = o 说明说明 在此题的求解中，外加电场是均匀的是关键。当外电场不是均匀场时，介质表面上的极化电 荷亦不均匀分布，极化电荷在介质内外均要产生电场，则不能这样简单的求解。 2-22两种电介质的相对介电常数分别为和，其分界面为2 1=r 3 2 = r 0=z平面。如果已知介质1中 的电场为，那么对于介质2中的和，你能得到什么结果？ zyx zxyeeeE)5(32 1 += 2 E 2 D 分析分析 在两种电介质的分界面上，不存在面分布的自由电荷。根据静电场的边界条件，在两种电 介质分界面处，有、，由此可求出介质2中的和在分界 面处的表达式。 0=z0)( 21 = z eEE0eDD= z )( 212 E 2 D 0=z 解解 设在介质2中 zzyyxx yxEyxEyxEyxeeeE)0 ,()0 ,() 0 , ,() 0 , ,( 2222 += 202202 3EED= r 在处，由和，可得 0=z0)( 21 = z eEE0eDD= z )( 21 = += )0 ,(352 )0 ,()0 ,(32 200 22 yxE yxEyxExy z yyxxyx eeee 于是得到 310)0 ,(,3) 0 , ,(,2) 0 , ,( 222 =yxExyxEyyxE zyx 故得到介质2中的和在处的表达式分别为 2 E 2 D0=z )1096()0 ,( )310(32)0 ,( 02 2 zyx zyx xyyx xyyx eeeD eeeE += += 说明说明 边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系。一般情况下，介质中任意点的电场与边界 面上的电场是不相同的。 如果介质中的场是均匀的， 则边界面上的电场与介质中的电场相同。 在本题中， 由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 2-24两块无限大接地导体平面分别置于0=x和ax=处，其间在处有一面密度为 C/m2的均匀电荷分布。求两导体板之间的电场和电位。 )0 00 axxx的区域内，可取半径为r的同心球面为高斯面，如题9图所示。高斯 面上各点的电场E与面元的方向相同。于是，由高斯定理，有 Sd 0 2 4dd q ErSES ro S ro = E 所以 2 0 4r q Ero = 矢量形式为 )( 4 2 0 ar r q ro =eE 在ar a 的介质管拉进电容器时，拉力为 a b V F ln )( 2 0 = 证：内外导体间的电场为 a b r V Er ln = 电容器中拉入介质管后的能量变化为 a b zV dzr r a b rE VEW zb av ln )( d )(ln 2 )( 2 1 d)( 2 1 2 0 0 22 2 0 2 0 = 由虚位移法得 a b V z W F constV ln )( 2 0 = = = 2-44有两个质量均为 的完全相同金属小球mA和，用一个原长为的轻弹簧连接，小球和弹簧之 间是绝缘的。用丝线把小球和弹簧吊起来，如图所示。此时弹簧的长度为。使两个小球带上等量同 种电荷后，弹簧的长度变为，问两个小球所带电量为多少。(提示：设弹簧的拉伸系数为 B 0 l 1 l 2 lK，单位为 Kg/m。弹簧较轻，自身重量忽略不计) 解 当两个小球不带电时，以B球为分析对像，它共受两个力作用，一个是重力，另一个是 弹簧的拉力 mg T，因为静止，所以这两个力平衡，设弹簧的拉伸系数为K，则有： )( 01 llKTmg= (1) 两个小球带电后