数理统计课后答案-第五章.pdf

1 习题五习题五 5.15.1 试证明一元线性回归模型中参数 01 和的最小二乘估计就是参数的极大似然估计. 证明 证明 因=+ 01 , iiii yx () 2 0,N，故 i y () + 2 01 , i Nx。 似然函数为 ()() () + = = = 2 01 2 2 2 01 11 1 , 2 ii yx nn i ii LPye 其中 () i Py为 i y的密度函数。 () () 2 012 012 1 1 ln,ln 2 2 n ii i yx L = = () () ()() = = = = = = 2 01 0 1 2 01 01 1 2 2 01 01 1 2 ln, 0 ln, 0 1 2 ln, 0 xy xx n ii i L L L L yx yx L n 即 01 ,的极大似然估计与最小二乘估计相同。 5.2 试证明变元( ) ,x y的一组观测值的样本相关系数就是把(),x y视为二维随机变量时， 随机变量x和y相关系数的矩法估计. 证明 证明 二维随机变量( ) ,x y的相关系数为 () ()() = 22 22 cov,x y ExyExEy r DxDy ExExEyEy 但因(),x y的分布未知，上述公式中 22 ,Exy Ex Ey ExEy均不可求。但根据大数定理， 可用样本矩来估计总体矩，于是： 2 r ( )( ) ()() = 22 22 11 11 iiii xy xxyy xxyy x yxyxxyy L nn L L xxyy LL nn 。 5.3 5.3 某种钢材的强度 y（单位：kg/mm 2 ）与它的含碳量 x（单位：%）有关，现测得数 据如下： 含碳量 i x 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 强度 i y 41.8 42.0 44.7 45.1 48.9 设有 iii xy+= 10 ， i ), 0( 2 N ，5, 2, 1L=i ， 521 ,L 相互独立。 求： （1） 10, 的最小二乘估计 10 , ； （2）残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，样本相关系数 r 。 解 解 5=n ，12. 0=x ，004. 0= xx L ，5 .44=y ，3 .33= yy L ， 346. 05 .4412. 05046.27 1 = = yxnyxL n i iixy 。 （1）5 .86 004. 0 346. 0 1 = xx xy L L , 12.3412. 05 .865 .44 10 =xy 。 所以，回归方程为 xxy5 .8612.34 10 +=+= 。 （2）371. 3346. 05 .863 .33 1 = xyyye LLSS ， 060. 1 25 371. 3 2 = = = n SSe ， 9480. 0 3 .33004. 0 346. 0 = = yyxx xy LL L r 。 5.4 5.4 对工件表面作腐蚀刻线试验， 测得蚀刻时间 x（单位： 秒） 和蚀刻深度 y（单位：m） 的数据如下： 蚀刻时间 i x 20 30 40 50 60 蚀刻深度 i y 13 16 17 20 23 3 设有 iii xy+= 10 ， i ), 0( 2 N ，5, 2, 1L=i ， 521 ,L 相互独立。 （1）求 10, 的最小二乘估计 10 , ； （2）求残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，样本相关系数 r ； （3）检验 0 H：0 1 = （显著水平05. 0=） 。 解 解 5=n ，40=x ，1000= xx L ，8 .17=y ，8 .58= yy L ， 2408 .174053800 1 = = yxnyxL n i iixy 。 （1）24. 0 1000 240 1 = xx xy L L , 2 . 824024. 08 .17 10 =xy 。 所以，回归方程为 xxy24. 02 . 8 10 +=+= 。 （2）200. 124024. 08 .58 1 = xyyye LLSS ， 6325. 0 25 2 . 1 2 = = = n SSe ， 9897. 0 8 .581000 240 = = yyxx xy LL L r 。 （3）用 t 分布检验： xx LT 1 =0 .121000 6325. 0 24. 0 = 。 对05. 0=，查 t 分布的分位数表，可得 )2( 2 1 nt 1824. 3)3( 975. 0 =t，因为 1824. 30 .120 .12=T， 所以拒绝 0 H：0 1 = ， 说明自变量 x 与因变量 y 之 间有显著的统计线性相关关系。 用 F 分布检验： )2( = nSS SSL F e eyy 0 .144 )25(2 . 1 2 . 18 .58 = = 。 对 05. 0= ，查 F 分布的分位数表，可得1 .10)3 , 1 ()2, 1( 95. 01 = FnF ，因 为 1 .100 .144=F ，所以结论也是拒绝 0 H：0 1 =。 4 5.55.5 在研究钢线的含碳量x（单位：%）与电阻y（单位：）的关系时，测得数据如下： 含碳量 i x 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 电阻 i y 15.0 18.0 19.0 21.0 22.6 23.8 26.0 设有 iii xy+= 10 ， i ), 0( 2 N，7, 2, 1L=i， 721 ,L 相互独立。 （1）求 10, 的最小二乘估计 10 , ； （2）求残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，样本相关系数 r ； （3）求 10, 的置信水平为 95 的置信区间 ； （4）检验 0 H：0 1 = （显著水平05. 0=） 。 解 解 7=n ，5428571. 0=x ，5321429. 0= xx L ，77143.20=y ，03429.84= yy L ， 678572. 677143.205428571. 0761.85 1 = = yxnyxL n i iixy 。 （1）55034.12 5321429. 0 678572. 6 1 = xx xy L L , 95839.135428571. 055034.1277143.20 10 =xy 。 所以，回归方程为 xxy55034.1295839.13 10 +=+= 。 （2）21594. 0678572. 655034.1203429.84 1 = xyyye LLSS ， 20782. 0 27 21594. 0 2 = = = n SSe ， 99871. 0 03429.845321429. 0 678572. 6 = = yyxx xy LL L r 。 （3） 对95. 01=，查t分布的分位数表可得 )2( 2 1 nt 5706. 2)5( 975. 0 =t， xx L nt )2( 2 1 73233. 0 5321429. 0 20782. 0 5706. 2= 。 = xx L nt )2( 2 1 1 818.1173233. 055034.12= ， 5 = xx L nt )2( 2 1 1 + 283.1373233. 055034.12=+= 。 所以 1 的水平为 95 的置信区间为 283.13,818.11 。 xx L x n nt 2 2 1 1 )2(+ 44589. 0 5321429. 0 5428571. 0 7 1 20782. 05706. 2 2 =+=， = xx L x n nt 2 2 1 0 1 )2( + 513.1344589. 095839.19=， = xx L x n nt 2 2 1 0 1 )2( + 404.1444589. 095839.19=+=。 所以 0 的水平为 95 的置信区间为 495. 8,165. 7 。 （4）用 t 分布检验： xx LT 1 =054.445321429. 0 20782. 0 55034.12 = 。 对05. 0=，查 t 分布的分位数表，可得 )2( 2 1 nt 5706. 2)5( 975. 0 =t，因为 5706. 2054.44054.44=T，所以拒绝 0 H：0 1 = ，说明自变量 x 与因变量 y 之间有显著的统计线性相关关系。 用 F 分布检验： )2( = nSS SSL F e eyy 8 .1940 )27(21594. 0 21594. 003429.84 = = 。 对 05. 0= ，查 F 分布的分位数表，可得61. 6)5 , 1 ()2, 1( 95. 01 = FnF ， 因为 61. 68 .1940=F ，所以结论也是拒绝 0 H：0 1 =。 5.6 5.6 在一系列不同温度 x（单位：C）下，观测硝酸钠在 100ml 水中溶解的重量 y（单 位：g） ，得数据如下： 温度 i x 0 4 10 15 21 29 36 51 68 重量 i y 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1 设有 iii xy+= 10 ， i ), 0( 2 N，9, 2, 1L=i， 921 ,L 相互独立。 （1）求 10, 的最小二乘估计 10 , ； 6 （2）残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，样本相关系数 r ； （3）检验 0 H：0 1 = （显著水平05. 0=） 。 解 解 9=n ，26=x ，4060= xx L ，1444.90=y ，98.3083= yy L ， 8 .35341444.902696 .24628 1 = = yxnyxL n i iixy 。 （1）870640. 0 4060 8 .3534 1 = xx xy L L , 5078.6726870640. 01444.90 10 =xy 。 所以，回归方程为 xxy870640. 05078.67 10 +=+= 。 （2）4426. 68 .3534870640. 098.3083 1 = xyyye LLSS ， 95936. 0 29 4426. 6 2 = = = n SSe ， 99895. 0 98.30834060 8 .3534 = = yyxx xy LL L r 。 （3）用 t 分布检验： xx LT 1 =826.574060 95936. 0 870640. 0 = 。 对05. 0=，查 t 分布的分位数表，可得 )2( 2 1 nt 3646. 2)7( 975. 0 =t，因为 3646. 2826.57826.57=T，所以拒绝 0 H：0 1 = ，说明自变量 x 与因变量 y 之间有显著的统计线性相关关系。 用 F 分布检验： )2( = nSS SSL F e eyy 8 .3343 )29(4426. 6 4426. 698.3083 = = 。 对 05. 0= ，查 F 分布的分位数表，可得59. 5)7 , 1 ()2, 1( 95. 01 = FnF ， 因为 59. 58 .3343=F ，所以结论也是拒绝 0 H：0 1 =。 7 5.75.7 设 iii xy+= 10 ， i ), 0( 2 N，ni, 2, 1L=， n , 21 L 相互独 立， 10 , 是 10, 的最小二乘估计。证明：0) , (Cov 10 = 的充分必要条件是 0 1 1 = = n i i x n x。 证证 因为 xyxy) , (Cov) ,(Cov) , (Cov) , (Cov 1111110 = x L xD xx 2 1) (0 = 。 （其中用到 定理 5.2 定理 5.2 0) ,(Cov 1 =y 和 定理 5.1 定理 5.1 xx L D 2 1) ( = ） 所以，当 0=x 时，有 ) , (Cov 10 0 2 =x Lxx ； 反过来，由于0，所以当 ) , (Cov 10 0 2 =x Lxx 时，必有 0=x。 5.8 5.8 具有重复试验的一元线性回归是指自变量x的每个不同取值 i xx=都对因变量y作 i m次重复观测，记观测值为 12 ,.,y, i iiim yy设x有r个观测值 12 ,., r xxx而 1 , r i i mn = = 于是重复试验的一元线性回归模型可表示为, ijiij yx=+ 其中 =i1,2,., ;1,2,.,m ; iij r j () 2 0,N 试求和的最小二乘估计. 解 解 = =+= 14 4 244 314 4 244 314 4 244 3 12 1122 1 11 .x.xx r r rrii i mmm xxxxm x nn = = 22 11111 111 , ii mm rrr ijiiiij ijiij yyxm xxyx y nnn 于是： ( ) = 2 2 1 ; 1 xy xy xx xx L L xyxy n yx L xx L n 。 8 5.95.9 设 iiii xxy+=)23( 2 210 ， i ), 0( 2 N，3,2, 1=i， 321 , 相 互独立，1 1 =x，0 2 =x，1 3 =x。 （1）写出矩阵 X，XX T 和 1 )( XX T ； （2）求 210 , 的最小二乘估计； （3）证明 0 2 = 时， 10, 的最小二乘估计与0 2 时的最小二乘估计相同。 解解 （1） = 111 201 111 X ， = 600 020 003 XX T ， = 6100 0210 0031 )( 1 XX T 。 （2） 2 1 0 = YXXX TT1 )( = = 3 1 1 121 101 111 6100 0210 0031 y y y + + + = 6 2 2 3 321 31 321 yyy yy yyy 。 即有 3 321 0 yyy+ = ， 2 31 1 yy + = ， 6 2 321 2 yyy+ = 。 （3） （证法一）（证法一）0 2 = 时，模型成为 iii xy+= 10 ， i ), 0( 2 N，3,2, 1=i， = 11 01 11 X ， = 20 03 XX T ， = 210 031 )( 1 XX T ， 1 0 YXXX TT1 )( = = 3 2 1 101 111 210 031 y y y + + = 2 3 31 321 yy yyy ， 即有 3 321 0 yyy+ = ， 2 31 1 yy+ = ， 10, 的最小二乘估计与0 2 时的最小二乘估计相同。 9 （证法二）（证法二）0 2 = 时，模型成为 iii xy+= 10 ， i ), 0( 2 N，3,2, 1=i， 按照一元线性回归的计算公式，有 0 3 101 = + =x ，2)01 ()00()01( 222 =+= xx L ， 3 321 yyy y + = ，yxnyxL i iixy = = 3 1 31321 10) 1(yyyyy+=+= ， xx xy L L = 1 2 31 yy + = ， 3 321 10 yyy yxy + = 。 10, 的最小二乘估计与0 2 时的最小二乘估计相同。 5.10 5.10 为了考察某种植物的生长量 y（单位：mm）与生长期的日照时间 1 x（单位：小时） 以及气温 2 x（单位：C）的关系，测得数据如下： 日照时间 i x1 269 281 262275278 282268259 275 255 气 温 i x2 30.1 28.7 29.026.826.830.722.926.0 27.3 30.3 生长量 i y 122 131 116111117 137111108 119 108 日照时间 i x1 272 273 274273284 262285278 272 279 气 温 i x2 26.5 29.8 28.324.430.124.925.624.9 24.8 30.7 生长量 i y 125 132 136128138 76 130127 123 133 设 iiii xxy+= 22110 ， i ), 0( 2 N，20, 2, 1L=i ， 2021 ,L 相互独立。 求： （1） 210 , 的最小二乘估计 210 , , ； （2）残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，多重相关系数 r ； （3）检验 0 H：0 21 = （显著水平05. 0=） ； （4）分别检验 01 H：0 1 = 和 02 H：0 2 =（显著水平05. 0=） 。 解 解 利用可作多元线性回归的计算机软件，求得： 10 （1）867.247 0 = ，15423. 1 1 = ，98298. 1 2 =，所以，回归方程为 2122110 98298. 115423. 1867.247 xxxxy+=+= 。 （2）残差平方和 59.1542= e SS ，估计的标准差 5258. 9= ，多重相关系数 77921. 0=r 。 （3）检验 0 H：0 21 = 的统计量 14.13=F ，对05. 0=，查F分布表， 可得分位数59. 3)17,2()1,( 95. 01 = FmnmF ，因为 59. 314.13=F ，所以拒 绝 0 H：0 21 = ，说明自变量 21,x x 与因变量 y 之间有显著的统计线性相关关 系。 （4）检验 01 H：0 1 = 的统计量 96.18 1 =F ，对 05. 0=，查 F 分布表，可 得分位数 45. 4)17,1()1, 1( 95. 01 = FmnF ，因为 45. 496.18 1 =F ，所以拒绝 01 H：0 1 =，说明自变量 1 x 与因变量 y 统计线性相关 ； 检验 02 H：0 2 = 的统计量 74. 4 2 =F ，对 05. 0=，查 F 分布表，可得分 位数 45. 4)17,1()1, 1( 95. 01 = FmnF ，因为 45. 474. 4 2 =F ，所以拒绝 02 H：0 2 =，说明自变量 2 x 也与因变量 y 统计线性相关 。 5.11 5.11 多元线性回归模型中，若先根据变量 () 和1,2,., i yxim=的观测值 () 12, ,., T n yyy和() 12 ,., T iini xxx对变量“标准化”,即令 () = * 1,2,.,; ii i iiyyyy xxyyyy ximyy LLL ，其中 ()() = = 2 111 1 ; nnn iikiiikiyyi kkk LxxxxLyy n . 此时再求 * y关于=L *( 1,2, ) i x im的回归称为标准回归. （1）证明标准回归方程的常数项为零，即 * 1 m ii i yd x = = （2）证明标准回归的总离差平方和 T SS() = = 2 * 1 1. n i i yy 11 证明证明（1）设y关于 12 ,., m xxx的线性回归方程为 =+ 1 . 01 m xx m y 于是有 + = 1 . 01 m yyyy xxy y m LL y 即 ()() + = + =+ =+ * 1111 1 * 11 1 * 11 +.+ *01 . 01 . 1 0. mmmm yy m mm m yyyy yy mm xLxxLxy m y L xxy LL m xx m LL L d xd x 注：上式用到 =+ 1 . 01 m yxx m 此外，从上式还可得 =,1,2,., ii i yy L dim i L （2） T SS()() = = 2 2 2 * 111 0 nnn i ii iii yy yy yyy L () = = 2 1 1 1 n yy i i yyyy L yy LL 。 5.12 5.12 在不同的温度x（单位：C）下，观察平均每只红铃虫的产卵数y（单位：个） ，得 到数据如下： 温度 i x 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 i y 7 11 21 24 66 115 325 设产卵数y与温度x之间，近似有下列关系： x y e= , 12 求常系数 , 的估计值。 解解 回归方程为 x y e= ，对方程两边同时取对数，得到 xy lnln+= ， 令 yyln*=，ln 0 =，它就化成了一个一元线性回归方程 xy * 0 += 。 求得 , 0 的估计 , 0 后， 的估计，可以通过 0 e = 求得。 作为广义线性回归求解，在不加权的情况下，用计算机软件解得： 849175. 3 0 =，272026. 0 = ，66.1537= e SS ， 0212973. 0e 0 = ； 作为广义线性回归求解，在加权的情况下，用计算机软件解得： 0100311. 0= ，296470. 0 = ，640.506= e SS ； 作为非线性回归求解，用计算机软件解得： 00695936. 0= ，306934. 0 = ，047.472= e SS 。 5.135.13 某零件上有一条曲线，可以近似看作是一条抛物线 2 210 xxy+= 。为了在 数控机床上加工这一零件，在曲线上测得 11 个点的坐标 ),( ii yx数据如下： i x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 i y 0.6 2.0 4.4 7.5 11.817.123.331.239.6 49.7 61.7 求这条抛物线的函数表达式。 解解 回归方程为 2 210 xxy+=。 令 xx= 1 ， 2 2 xx= ，原来的回归方程化成了下列形式： 22110 xxy+= 。 利用可作多元线性回归的计算机软件，求得： 01049. 1 0 = ，197110. 0 1 = ，140326. 0 2 = ，23134. 1= e SS 。 13 5.145.14 猪的毛重 W（单位：kg）与它的身长 L（单位：cm） ，肚围 R（单位：cm）之间， 近似有下列关系： 21 RLW= ， 其中， 21, , 都是常系数。现在对 14 头猪，测得它们的身长、肚围和毛重数据如下： 身长 i L 41 45 51 52 5962697278809092 98 103 肚围 i R 49 58 62 71 6274717479848594 91 95 毛重 i W 28 39 41 44 4350515763667076 80 84 求常系数 21, , 的估计值。