概率论与数理统计茆诗松第二第一章课后习题参考答案.pdf_第1页
概率论与数理统计茆诗松第二第一章课后习题参考答案.pdf_第2页
概率论与数理统计茆诗松第二第一章课后习题参考答案.pdf_第3页
概率论与数理统计茆诗松第二第一章课后习题参考答案.pdf_第4页
概率论与数理统计茆诗松第二第一章课后习题参考答案.pdf_第5页
已阅读5页,还剩3页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

19 习题习题 1.4 1 某班级学生的考试成绩数学不及格的占 15%,语文不及格的占 5%,这两门课都不及格的占 3% (1)已知一学生数学不及格,他语文也不及格的概率是多少? (2)已知一学生语文不及格,他数学也不及格的概率是多少? 解:设 A =“数学不及格” ,B =“语文不及格” ,有 P (A) = 0.15,P (B) = 0.05,P (AB) = 0.03, (1)所求概率为2 . 0 15. 0 03. 0 )( )( )|(= AP ABP ABP; (2)所求概率为6 . 0 05. 0 03. 0 )( )( )|(= BP ABP BAP 2 设一批产品中一、二、三等品各占 60%, 35%, 5%从中任意取出一件,结果不是三等品,求取到的是 一等品的概率 解:设 A, B, C 分别表示“取出一、二、三等品” ,有 P (A) = 0.6,P (B) = 0.35,P (C ) = 0.05, 故所求概率为 19 12 05. 01 6 . 0 )(1 )( )( )( )|(= = = CP AP CP CAP CAP 3 掷两颗骰子,以 A 记事件“两颗点数之和为 10” ,以 B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数” ,试求 条件概率 P (A | B ) 和 P (B | A ) 解:样本点总数 n = 6 2 = 36, 则事件 A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4),即个数 kA = 3,有 36 3 )(=AP, 事件 B 中所含样本点个数 kB = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15,有 36 15 )(=BP, 事件 AB 中的样本点有 (4, 6),即个数 kC = 1,有 36 1 )(=ABP, 故 15 1 3615 361 )( )( )|(= BP ABP BAP, 3 1 363 361 )( )( )|(= AP ABP ABP 4 以某种动物由出生活到 10 岁的概率为 0.8,而活到 15 岁的概率为 0.5,问现年为 10 岁的这种动物能 活到 15 岁的概率是多少? 解:设 A, B 分别表示“这种动物能活到 10 岁, 15 岁” ,有 P (A) = 0.8,P (B) = 0.5, 故所求概率为 8 5 8 . 0 5 . 0 )( )( )( )( )|(= AP BP AP ABP ABP 5 设 10 件产品中有 4 件不合格品,从中任取两件,已知其中一件是不合格品,求另一件也是不合格品 的概率 解:设 A =“其中一件是不合格品” ,B =“两件都是不合格品” ,有 AB = B,样本点总数45 2 10 = =n, 事件 A 中所含样本点个数30624 2 4 1 6 1 4 =+= + = A k,得 45 30 )(=AP, 事件 AB = B 中所含样本点个数6 2 4 = = B k,得 45 6 )()(=BPABP, 20 故所求概率为2 . 0 4530 456 )( )( )|(= AP ABP ABP 6 设 n 件产品中有 m 件不合格品,从中任取两件,已知两件中有一件是合格品,求另一件也是合格品的 概率 解:设 A =“两件中至少有一件是合格品” ,B =“两件都是合格品” ,有 AB = B, 样本点总数 2 ) 1( 2 = = nnn N, 事件 A 中所含样本点个数 2 ) 1)( 2 ) 1)( )( 211 + = += + = mnmnmnmn mnm mnmnm kA, 得 ) 1( ) 1)( )( + = nn mnmn AP, 事件 AB = B 中所含样本点个数 2 ) 1)( 2 = = mnmn mn kB, 得 ) 1( ) 1)( )()( = nn mnmn BPABP, 故所求概率为 1 1 ) 1( ) 1)( ) 1( ) 1)( )( )( )|( + = + = mn mn nn mnmn nn mnmn AP ABP ABP 7 掷一颗骰子两次,以 x, y 分别表示先后掷出的点数,记 A = x + y y, 求 P (B | A ),P (A | B ) 解:样本点总数 n = 6 2 = 36, 则事件 A 中所含样本点个数 kA = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30,有 36 30 )(=AP, 事件 B 中所含样本点个数 kB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15,有 36 15 )(=BP, 事件 AB 中所含样本点个数 kAB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13,有 36 13 )(=ABP, 故 30 13 3630 3613 )( )( )|(= AP ABP ABP, 15 13 3615 3613 )( )( )|(= BP ABP BAP 8 已知 P (A) = 1/3,P (B | A) = 1/4,P (A | B ) = 1/6,求 P (AB ) 解:因 12 1 4 1 3 1 )|()()(=ABPAPABP, 2 1 61 121 )|( )( )(= BAP ABP BP, 故 4 3 12 1 2 1 3 1 )()()()(=+=+=ABPBPAPBAPU 9 已知3 . 0)(=AP,P (B ) = 0.4,5 . 0)(=BAP,求)|(BABPU 解:因2 . 05 . 03 . 01)()(1)()()(=BAPAPBAPAPABP, 21 且8 . 05 . 04 . 013 . 01)()(1)(1)()()()(=+=+=+=BAPBPAPBAPBPAPBAPU, 故25. 0 8 . 0 2 . 0 )( )( )( )( )|(= BAP ABP BAP BABP BABP UU U U 10设 A, B 为两事件,P (A) = P (B ) = 1/3,P (A | B ) = 1/6,求)|(BAP 解:因 18 1 6 1 3 1 )|()()(=BAPBPABP,有 18 11 18 1 3 1 3 1 )()()()(=+=+=ABPBPAPBAPU, 则 18 7 18 11 1)(1)()(=BAPBAPBAPUU,且 3 2 3 1 1)(1)(=BPBP, 故 12 7 32 187 )( )( )|(= BP BAP BAP 11口袋中有 1 个白球,1 个黑球从中任取 1 个,若取出白球,则试验停止;若取出黑球,则把取出的 黑球放回的同时,再加入 1 个黑球,如此下去,直到取出的是白球为止,试求下列事件的概率 (1)取到第 n 次,试验没有结束; (2)取到第 n 次,试验恰好结束 解:设 Ak =“第 k 次取出的是黑球” ,k = 1, 2, (1)所求概率为 P (A1A2An 1An) = P (A1A2An 1)P (An | A1A2An 1) 1 1 13 2 2 1 )|()|()( 121121 + = + = nn n AAAAPAAPAP nn LLL; (2)所求概率为)|()()( 121121121 = nnnnn AAAAPAAAPAAAAPLLL ) 1( 1 1 1 3 2 2 1 )|()|()( 121121 + = + = nnn AAAAPAAPAP nn LLL 12一盒晶体管有 8 只合格品,2 只不合格品从中不返回地一只一只取出,试求第二次取出的是合格品 的概率 解:设 A1, A2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品” ,B 表示“第二次取出的是合格品” , 故所求概率为8 . 0 90 72 9 8 10 2 9 7 10 8 )|()()|()()( 2211 =+=+=ABPAPABPAPBP 13甲口袋有 a 个白球、b 个黑球,乙口袋有 n 个白球、m 个黑球 (1)从甲口袋任取 1 个球放入乙口袋,然后再从乙口袋任取 1 个球试求最后从乙口袋取出的是白球 的概率; (2)从甲口袋任取 2 个球放入乙口袋,然后再从乙口袋任取 1 个球试求最后从乙口袋取出的是白球 的概率 解: (1)设 A0 , A1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球” ,B 表示“从乙口袋取出的是白球” , 故所求概率为 P (B) = P (A0)P (B | A0) + P (A1)P (B | A1) ) 1)( ) 1( 11 1 + + = + + + + + + = nmba bnna mn n ba b mn n ba a ; (2)设 A0 , A1 , A2分别表示“从甲口袋取出的是 2 个白球、1 个白球 1 个黑球、2 个黑球” , B 表示“从乙口袋取出的是白球” , 故所求概率为 P (B) = P (A0)P (B | A0) + P (A1)P (B | A1) + P (A2)P (B | A2) 22 2) 1)( ) 1( 2 1 ) 1)( 2 2 2 ) 1)( ) 1( + + + + + + + + + + = mn n baba bb mn n baba ab mn n baba aa )2)(1)( ) 1() 1(2)2)(1( + + = mnbaba nbbnabnaa 14有 n 个口袋,每个口袋中均有 a 个白球、b 个黑球从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋,再从 第二个口袋中任取一球放入第三个口袋,如此下去,从第 n 1 个口袋中任取一球放入第 n 个口袋, 最后再从第 n 个口袋中任取一球,求此时取到的是白球的概率 解:设 Ak表示“从第 k 个口袋取出的是白球” , 当 k = 1 时,有 ba a AP + =)( 1 , 设对于 k 1,有 ba a AP k + = ) ( 1 , 则 11 1 )|()()|()()( 1111 + + + + + + =+= ba a ba b ba a ba a AAPAPAAPAPAP kkkkkkk ba a baba baa baba abaa + = + + = + + = ) 1)( )1( ) 1)( ) 1( , 故由数学归纳法可知,对任意自然数 k, ba a AP k + =)(,即 ba a AP n + =)( 15钥匙掉了,掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是 50%、30%和 20%,而掉在上述三处地 方被找到的概率分别是 0.8、0.3 和 0.1试求找到钥匙的概率 解:设 A1 , A2 , A3分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上” ,B 表示“找到钥匙” , 故所求概率为 P (B) = P (A1)P (B | A1) + P (A2)P (B | A2) + P (A3)P (B | A3) = 0.5 0.8 + 0.3 0.3 + 0.2 0.1 = 0.51 16两台车床加工同样的零件,第一台出现不合格品的概率是 0.03,第二台出现不合格品的概率是 0.06, 加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍 (1)求任取一个零件是合格品的概率; (2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率 解:设 A1, A2分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件” ,B 表示“取出的是合格品” , (1)所求概率为96. 094. 0 3 1 97. 0 3 2 )|()()|()()( 2211 =+=+=ABPAPABPAPBP; (2)所求概率为5 . 0 04. 0 06. 0 3 1 )( )|()( )( )( )|( 222 2 = = BP ABPAP BP BAP BAP 17有两箱零件,第一箱装 50 件,其中 20 件是一等品;第二箱装 30 件,其中 18 件是一等品,现从两箱 中随意挑出一箱,然后从该箱中先后任取两个零件,试求 (1)第一次取出的零件是一等品的概率; (2)在第一次取出的是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的概率 解:设 A1 , A2分别表示“挑出第一箱、第二箱” ,B1 , B2分别表示“第一次、第二次取出的是一等品” , (1)所求概率为5 . 0 30 18 2 1 50 20 2 1 )|()()|()()( 2121111 =+=+=ABPAPABPAPBP; (2)因 14210 3601 29 17 30 18 2 1 49 19 50 20 2 1 )|()()|()()( 2212121121 =+=+=ABBPAPABBPAPBBP, 故所求概率为5068. 0 7105 3601 5 . 0 142103601 )( )( )|( 1 21 12 = BP BBP BBP 23 18学生在做一道有 4 个选项的单项选择题时,如果他不知道问题的正确答案时,就作随机猜测现从卷 面上看题是答对了,试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率 (1)学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是 1/2; (2)学生知道正确答案的概率是 0.2 解:设 A1 , A2分别表示“学生知道正确答案、胡乱猜测” ,B 表示“题答对了” , (1)因 P (A1) = 0.5,P (A2) = 0.5, 故所求概率为8 . 0 625. 0 5 . 0 25. 05 . 015 . 0 15 . 0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 = + = + = ABPAPABPAP ABPAP BAP, (2)因 P (A1) = 0.2,P (A2) = 0.8, 故所求概率为5 . 0 4 . 0 2 . 0 25. 08 . 012 . 0 12 . 0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 = + = + = ABPAPABPAP ABPAP BAP 19已知男人中有 5%是色盲患者,女人中有 0.25%是色盲患者,今从男女比例为 22:21 的人群中随机地 挑选一人,发现恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解:设 A1 , A2分别表示“此人是男性、女性” ,B 表示“此人是色盲患者” , 故所求概率为9544. 0 0025. 0 43 21 05. 0 43 22 05. 0 43 22 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 = + = + = ABPAPABPAP ABPAP BAP 20口袋中有一个球,不知它的颜色是黑的还是白的现再往口袋中放入一个白球,然后再从口袋中任意 取出一个,发现取出的是白球,试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少? 解:设 A1 , A2分别表示“原来那个球是白球、黑球” ,B 表示“取出的是白球” , 故所求概率为 3 2 75. 0 5 . 0 5 . 05 . 015 . 0 15 . 0 )|()()|()( )|()( )|( 2211 11 1 = + = + = ABPAPABPAP ABPAP BAP 21将 n 根绳子的 2n 个头任意两两相接,求恰好结成 n 个圈的概率 解:样本点总数为 N = (2n 1) (2n 3)3 1 = (2n 1)!, 事件 A =“恰好结成 n 个圈”所含样本点个数 K = 1, 故所求概率为 !)!12( 1 )( = n AP 22m 个人相互传球,球从甲手中开始传出,每次传球时,传球者等可能地把球传给其余 m 1 个人中的 任何一个求第 n 次传球时仍由甲传出的概率 解:设 Ak表示“第 k 次传球时由甲传出” ,k = 1, 2, ,有 P (A1) = 1, 则)( 1 1 1 1 1 1 )(1 0)|()()|()()( 111111 = +=+= kkkkkkkkk AP mmm APAAPAPAAPAPAP, 故 = = )( 1 1 1 1 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 11nnn AP mmmm AP mm AP )( 1 1 1 1 1 1 1 22 + = n AP mmm )( 1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 AP mmmmm n n n n n n + + + =L 24 = = + = 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1( 1 1 1 1 n n n n mm m mm mmm L 23甲、乙两人轮流掷一颗骰子,甲先掷每当某人掷出 1 点时,则交给对方掷,否则此人继续掷,试求 第 n 次由甲掷的概率 解:设 Ak表示“第 k 次由甲掷骰子” ,k = 1, 2, ,有 P (A1) = 1, 则)( 3 2 6 1 6 1 )(1 6 5 )()|()()|()()( 1111111 +=+=+= kkkkkkkkkk APAPAPAAPAPAAPAPAP, 故)( 3 2 6 1 3 2 6 1 )( 3 2 6 1 3 2 6 1 )( 3 2 6 1 )( 2 2 21 += +=+= nnnn APAPAPAP 11 1 1 12 3 2 2 1 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 6 1 )( 3 2 6 1 3 2 6 1 3 2 6 1 += + = + += nn n nn APL 24甲口袋有 1 个黑球、2 个白球,乙口袋有 3 个白球每次从两口袋中各任取一球,交换后放入另一口 袋求交换 n 次后,黑球仍在甲口袋中的概率 解:设 Ak表示“交换 k 次后黑球在甲口袋中” ,k = 1, 2, ,有 P (A0) = 1, 则)( 3 1 3 1 3 1 )(1 3 2 )()|()()|()()( 1111111 +=+=+= kkkkkkkkkk APAPAPAAPAPAAPAPAP, 故)( 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 3 1 )( 2 22 21 + += +=+= nnnn APAPAPAP nn n nn AP += + = + + += 3 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1 )( 3 1 3 1 3 1 3 1 0 2 L 25假设只考虑天气的两种情况:有雨或无雨若已知今天的天气情况,明天天气保持不变的概率为 p, 变的概率为 1 p设第一天无雨,试求第 n 天也无雨的概率 解:设 Ak表示“第 k 天也无雨” ,k = 1, 2, ,有 P (A1) = 1, 则)1 ()(1 )()|()()|()()( 111111 pAPpAPAAPAPAAPAPAP kkkkkkkkk +=+= = 1 p + (2p 1) P (Ak 1), 故 P (An 1) = 1 p + (2p 1) P (An 1) = 1 p + (2p 1)1 p + (2p 1) P (An 2) = 1 p + (2p 1)(1 p) + (2p 1)2 P (An 2) = 1 p + (2p 1)(1 p) + + (2p 1)n 2 (1 p) + (2p 1)n 1P (A1) 11 1 ) 12( 2 1 2 1 ) 12( ) 12(1 ) 12(1)1 ( +=+ = nn n pp p pp 26设罐中有 b 个黑球、r 个红球,每次随机取出一个球,取出后将原球放回,再加入 c(c 0)个同色的 球试证:第 k 次取到黑球的概率为 b/(b + r),k = 1, 2, 证:设 Bk (b, r) 表示“罐中有 b 个黑球、r 个红球时,第 k 次取到黑球” ,k = 1, 2, , 25 用数学归纳法证明 rb b rbBP k + =),(, 当 k = 1 时, rb b rbBP + =),( 1 ,结论成立, 设对于 k 1,结论成立,即 rb b rbBP k + = ),( 1 , 对于 k,设 A1 , A2分别表示“第一次取到黑球、红球” , 有 P (Bk (b, r) | A1) = P (Bk 1 (b + c, r),P (Bk (b, r) | A2) = P (Bk 1 (b, r + c), 则 P (Bk (b, r) = P (A1) P (Bk (b, r) | A1) + P (A2) P (Bk (b, r) | A2) = P (A1) P (Bk 1 (b + c, r) + P (A2) P (Bk 1 (b, r + c) rb b crbrb brcbb crb b rb r crb cb rb b + = + + = + + + + + + = )( )( , 故对于 k,结论成立, rb b rbBP k + =),( 27口袋中 a 个白球,b 个黑球和 n 个红球,现从中一个一个不返回地取球试证白球比黑球出现得早的 概率为 a/(a + b),与 n 无关 证:设 Bn表示“口袋中有 n 个红球时白球比黑球出现得早” ,n = 0, 1, 2, , 用数学归纳法证明 ba a BP n + =)(,与 n 无关, 当 n = 0 时,显然有 ba a BP + =)( 0 ,结论成立, 设对于 n 1,结论成立,即 ba a BP n + = )( 1 , 对于 Bn ,设 A1 , A2 , A3分别表示“第一次取球时取到白球、黑球、红球” ,有 P (Bn | A3) = P (Bn1), 则 P (Bn) = P (A1) P (Bn | A1) + P (A2) P (Bn | A2) + P (A3) P (Bn | A3) = P (A1) 1 + P (A2) 0 + P (A3) P (Bn1) ba a banba anbaa ba

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论