《现代控制理论》课后习题答案.pdf

现代控制理论第现代控制理论第 5 章习题解答章习题解答 5.1 已知系统的状态空间模型为已知系统的状态空间模型为CxyBuAxx=+=,?， 画出加入状态反馈后的系统结构图， 写出其状态空间表达式。 ， 画出加入状态反馈后的系统结构图， 写出其状态空间表达式。 答：答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为： uKx= +v ()xABK xBv yCx =+ = ? 相应的闭环系统结构图为 C x A K y B uv 闭环系统结构图 5.2 画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间 模型。 画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间 模型。 答：答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为 uKx= +v ()xABK xBv yCx =+ = ? 相应的反馈控制系统结构图为 C x A K y B uv 具有输出反馈的闭环系统状态空间模型为 uFy= +v ()xABFC xBv yCx =+ = ? 相应的反馈控制系统结构图为 C x A F y B uv 5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影 响如何？ 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影 响如何？ 答：答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。输出反馈不改变系统的 能控性和能观性。 5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理 5.1.1。 答：答：加入状态反馈后得到闭环系统 K S，其状态空间模型为 ()xABK xBv yCx =+ = ? 开环系统的能控性矩阵为 0 S 1 , n c A BBABAB =? 闭环系统 K S的能控性矩阵为 1 (),()() n cK ABKBBABK BABKB =? 由于 22 2 () ()() ()( ABK BABBKB ABKBAABKBKABKBK B )A BAB KBB KABKBKB = =+ = ? 以此类推，总可以写成的线性组合。因此，存在一个适当 非奇异的矩阵U，使得 ()mABKB 1 , mm A BABAB B (), , cKc ABKBA B U= 由此可得：若rank( ,) c A Bn=，即有个线性无关的列向量，则n(), cK ABKB也有 个线性无关的列向量，故 nrank(), ) cK ABKBn= 5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。 答：答：状态反馈的优点是，不改变系统的能控性，可以获得更好的系统性能。其缺点是，不能 保证系统的能观性，状态x必须可测，成本高。 输出反馈的优点是： 保持系统的能控性和能观性不变， 结构简单， 只用到外部可测信号。 其缺点是，由于用到的信号少，它所达到的系统性能往往有限，有时甚至都不能达到闭环系 统的稳定性。 5.6 应用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性。然而，对以下系统应用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性。然而，对以下系统 010 231 31 xxu yx =+ = ? 可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵来改变闭环系统的能观性。可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵来改变闭环系统的能观性。 答：答： 对于用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性， 在题 5.4 中已经证明。 开环系统的能观性矩阵为 0 31 , 20 C A C CA = 由于能观性矩阵满秩，故系统是能观的。 设 12 Kkk=，引入状态反馈uKxv= +后，闭环系统的状态矩阵是 12 01 23 AABK kk = ? 闭环系统的能观性矩阵为 0 12 31 2 C AC kkCA = ? ? ? ? 取20K = ，则可得 0 31 00 AC = ? 该矩阵不是满秩的， 故系统是不能观的。 这个例子说明了状态反馈的引入使得原来能观的系 统变得不能观了。 5.7 证明定理证明定理 5.1.2。 证明：证明：先证能控性。对任一输出反馈系统都可对应地构造等价的一个状态反馈系统。由定理 5.1.1 知，状态反馈不改变系统的能控性，因而，输出反馈也不改变系统的能控性。 设被控系统的状态空间模型为： 0 S xAxBu yCx =+ = ? 引入状态反馈后，闭环系统的状态空间模型为： F S ()xABFC xBv yCx =+ = ? 系统和的能观矩阵分别为 0 S F S 0 1n C CA Q CA = ? ， 0 1 () () F n C C ABFC Q C ABFC = ? 可以看出，(C ABFC)每个行均可表为, T TTT CA C 各行的线性组合，同理有 是各行的线性组合，如此等等。据此可以导出： 2 ()C ABFC 2 ,() T TTTTT CA CAC oFo rankQrankQ 由于又可以看成为的输出反馈系统，因而有 o S F S oo rankQrankQ F 由以上两式可得 oo rankQrankQ F = 因此，系统完全能观测等价于完全能观测。 F S 0 S 5.8 采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？ 答：答：采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。 5.9 采用状态反馈实现闭环极点任意配置，其状态反馈增益矩阵采用状态反馈实现闭环极点任意配置，其状态反馈增益矩阵K的行数和列数如何确 定，计算方法有几种？ 的行数和列数如何确 定，计算方法有几种？ 答：答：状态反馈增益矩阵K的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。计算方法有： 1.直接法；2.变换法；3. 利用爱克曼公式求解。 5.10 为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？ 答：答：对一个线性时不变系统，其稳定性和动态性能主要是由系统极点所决定，闭环极点在复 平面的适当位置上就可以保证系统具有一定的性能。因此，为了得到期望的系统性能，可以 通过改变闭环系统极点位置的方式来实现，这就是极点配置的思想。 解决极点配置问题的思路如下： 1、要改变系统的行为，自然想到所考虑的系统应该是能控的。因此，从能控系统入手 来分析系统的求解问题； 2、一般的能控系统也是很复杂的，为了求解问题，从最简单的能控系统开始，即从三 阶的能控标准型模型出发分析极点配置问题的解，进而推广到阶能控标准型模型； n 3、对一般的能控系统，设法将它化成等价的能控标准型模型，进而利用第 2 步的方法 得到极点配置问题的解。 解决极点配置问题的具体方法和步骤如下： （1）直接法： 1、检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第 2 步。 2、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为 1 1211 ()()() nn nn bb 0 b=+?+ 3、系统矩阵ABK的特征多项式 1 11 det() nn n0 IABKaaa =+? 4、两个多项式相等即等号两边同次幂的系数相等，导出关于K的分量的一 个线性方程组，求解该线性方程组，可得要求的增益矩阵 1,n kk? K。 （2）变换法： 1、检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第 2 步。 2、利用系统矩阵A的特征多项式 1 11 det() nn n0 IAaa =+?a 确定的值。 011 , n a aa ? 3、确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵T。若给定的状态方程已经是能 控标准形，那么TI=。非奇异线性变换矩阵T可由下式决定： 1 , ( cc B , )TAA B = ? ? 0 b 4、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为 1 1211 ()()() nn nn bb =+?+ 5、确定极点配置状态反馈增益矩阵K： 00112211nnnn KbabababaT =? 5.11 已知系统状态方程已知系统状态方程 111 011 xxu =+ =+ ? ? 计算状态反馈增益矩阵，使得闭环极点为计算状态反馈增益矩阵，使得闭环极点为 2 和和3，并画出反馈系统的结构图。，并画出反馈系统的结构图。 答：答：由 ，得能控性矩阵为 11 01 A = 1 1 B = 12 ( , ) 11 c A BBAB = det( , )10 c A B= 所以系统是能控的。 由于 2 11 det()21 01 IA =+ 系统的能控标准形矩阵对是 01 12 A = ? ， 0 1 B = ? 故状态变换矩阵为： 1 ,( ,) cc TA BA B = ? ? 0112 1211 = 11 10 = 根据给定的期望闭环极点，可得闭环特征多项式为： 2 12 ()()(2)(3)5=+=+6 因此，状态反馈增益矩阵是 57KT=125= 结构图为 2 ? x 1 ? x 2 x 1 x 5.12 给定系统给定系统 210 011 xxu =+ =+ ? ? （1） 画出模拟结构图；） 画出模拟结构图； （2） 画出单位阶跃响应曲线。若动态性能不满足要求，可否任意配置闭环系统极点？） 画出单位阶跃响应曲线。若动态性能不满足要求，可否任意配置闭环系统极点？ （3） 若指定闭环极点为） 若指定闭环极点为3 和和3，求状态反馈增益矩阵，并画出单位阶跃响应曲线。，求状态反馈增益矩阵，并画出单位阶跃响应曲线。 答：答： （1）模拟结构图 2 x ? - u 2 - 2 x 1 x 1 x ? （2）其单位阶跃响应曲线如图所示 Step Response Time (sec) Amplitude 01234567 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 System: g Settling Time (sec): 4.6 System: g Rise Time (sec): 2.97 系统的能控性矩阵为： 01 ( , ) 11 c A BBAB = 而，故系统是能控的。因此，若系统性能不满足要求，可以通过配 置闭环系统极点来改善系统性能。 det( , )10 c A B= （3）设状态反馈增益矩阵 12 Kkk=，可得 ()IABK 12 21 1kk + = + + 2 212 det()(3)22IABKkkk=+ 由指定的闭环极点3和，可得期望的闭环特征多项式为： 3 22 (3)69+=+ 由此可得：，即 12 1,3kk=13K = 极点配置后的闭环系统为： 210 () 141 xABK xBvxv =+=+ ? 它的单位阶跃响应曲线为： Step Response Time (sec) Amplitude 00.511.522.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 System: g Settling Time (sec): 1.94 System: g Rise Time (sec): 1.3 对比两图可以发现，系统的动态性能大大改善。 5.13 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 2 (1) ( ) (3 s G s ss + = + = )+ + ，根据其能控标准形实现设计一个状态反馈 控制器，将闭环极点配置在 ，根据其能控标准形实现设计一个状态反馈 控制器，将闭环极点配置在2，2 和和1 处，并说明所得的闭环系统状态空间模型是否 能观。 处，并说明所得的闭环系统状态空间模型是否 能观。 答：答：由系统的传递函数 2 (1) ( ) (3 s G s ss) + = + ，可以得到系统的能控标准形为： 0100 0010 0031 xxu =+ ? 1 10yx= 设状态反馈增益矩阵 123 Kkkk=，则 ()IABK 123 10 01 3kkk = + 32 32 det()(3) 1 IABKkkk=+ 由指定的闭环极点2、和可得期望的闭环特征多项式： 21 232 (2) (1)58+=+4 由此可得：，即 123 4,8,2kkk=482K =。因此，要设计的状态反馈控制器是 482ux= 极点配置后的闭环系统为： 0100 0010 4851 xxv =+ ? 1 10yx= 该系统的能观性矩阵为： 2 110 011 484 o C ACCA CA = det()0 o AC= 因此所得的闭环系统状态空间模型是不能观的。 5.14 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 (1)(2) ( ) (1)(2)(3 ss G s sss + = + = )+ + 试问能否用状态反馈将闭环系统的传递函数变为试问能否用状态反馈将闭环系统的传递函数变为 1 ( ) (2)(3 c s G s ss = = )+ + + 若有可能，试给出相应的状态反馈控制器，并画出控制系统结构图。若有可能，试给出相应的状态反馈控制器，并画出控制系统结构图。 答：答：能够用状态反馈将闭环系统的传递函数变为 1 ( ) (2)(3 c s G s ss) = + 。 根据原系统的传递函数可以得到能控标准形。由定理 5.1.3，对能控的单输入单输出系 统，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。因此我们只能用状态反馈把 原系统变换为 2 (1)(2) ( ) (2) (3 c ss G s ss) + = + 即将闭环系统极点配置在、和223的位置上。原系统的状态方程为： 0100 0010 6521 xxu =+ ? 21 1yx= 设状态反馈增益矩阵 123 Kkkk=，则 ()IABK 123 10 01 65kkk 2 = + 32 321 det()(2)(5)6IABKkkk=+ 由指定的闭环极点2、和可得期望的闭环特征多项式： 23 232 (2) (3)7161+=+ 2 由此可得：，即 123 18,21,5kkk=18215K =。因此，要设计的状态反馈控制器 是 18215ux= 相应的闭环系统是： 0100 0010 121671 xxv =+ ? 21 1yx= 结构图为 3 ? x 2 ? x 1 ? x yu 5.15 已知系统的状态空间模型已知系统的状态空间模型 00520 10112 01301 001 xxu yx =+ = ? =+ = ? （1） 验证开环系统是不稳定的，系统是能控能观的；） 验证开环系统是不稳定的，系统是能控能观的； （2） 证明该系统可以采用输出反馈使得闭环系统渐近稳定；） 证明该系统可以采用输出反馈使得闭环系统渐近稳定； T 12 uhhy= = （3） 验证该系统不能采用输出反馈任意配置闭环系统极点。） 验证该系统不能采用输出反馈任意配置闭环系统极点。 T 12 uhhy= = 答：答： (1) 由于系统的特征值为-0.1607，6.5676，14.4931，所以开环系统是不稳定的。系统的能控 性矩阵是 , c A B= 200555 122114 011112 其秩 rank3，所以系统是完全能控的。 , c A B 系统的能观性矩阵是 0 001 ,013 138 A C = 由于 rank 0 ,A C3，故系统也是完全能观的。 （2） 在输出反馈 12 T uhhyH=y=作用下，闭环系统为 ()xABHC x yCx =+ = ? 其闭环状态矩阵是： 1 1 12 2 2 005200025 101120011021 01301013 h h ABHChh h h + +=+= + 该系统的特征多项式为： 32 212 det()(3)(21)(25)IABHChhhh+=+ + + 1 0 b 设配置极点后的系统特征多项 式为 32 21 bb+，则有 即需满足 13 115 2 22 bb 2 b= 闭环系统渐近稳定，则须有三个负根，即，和b都必为正，这与上式矛盾，故原系统 不可能用输出反馈 1 b 2 b 3 12 T uhh=y 1 来镇定原系统。 22 21 10 3 21 25 hb hhb hb = + = = 原题有误。 5.16 极点配置可以改善系统的过渡过程性能，加快系统的响应速度。它对稳态性能有何影 响？如何消除对稳态性能的负面影响？ 极点配置可以改善系统的过渡过程性能，加快系统的响应速度。它对稳态性能有何影 响？如何消除对稳态性能的负面影响？ 答：答：极点配置可以改善系统的过渡过程性能，加快系统的响应性能，但可能使闭环系统产生 稳态误差。 可以引进一个积分器来抑制或消除系统的稳态误差， 这样一种跟踪控制器的设计 问题可以通过建立增广系统， 进而求解增广系统的极点配置问题来得到既保持所期望的动态 性能，又无静差的比例积分控制器。 5.17 考虑例考虑例 5.4.2 中的倒立摆系统，假定风以一个水平力作用在摆杆上，以中的倒立摆系统，假定风以一个水平力作用在摆杆上，以5 (作作( )w t)w t 用在小车上，此时系统的动态方程是用在小车上，此时系统的动态方程是 010000 001014 000100 0011016 1000 xAxBuEwxuw yCxx =+=+ =+=+ = ? = ? 其中：其中： T xyy = = ? ? ? ?是系统的状态向量，是系统的状态向量， 是摆杆的偏移角，是小车的位 移，是作用在小车上的力。再按例 是摆杆的偏移角，是小车的位 移，是作用在小车上的力。再按例 5.4.2 的要求设计控制器，并画出闭环系统的状 态响应曲线，解释摆杆偏移角的稳态值非零的原因。 的要求设计控制器，并画出闭环系统的状 态响应曲线，解释摆杆偏移角的稳态值非零的原因。 y u 答：答：增广系统的状态空间模型是 0010000 4001001 0000