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概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(/szhang) 1 P92 习题三习题三习题三习题三 1. 甲甲甲甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产 量相同量相同量相同量相同，问哪台机器较好问哪台机器较好问哪台机器较好问哪台机器较好？ X 0 1 2 3 pX(xi) 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 3 pY(yj) 0.3 0.5 0.2 0 解解解解：甲台机器一天的平均次品数EX = 00.4 +10.3 + 20.2 +30.1 =1; 乙台机器一天的平均次品数EY = 00.43 +10.5 + 20.2 +30 = 0.9 ， EX EY ,而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。 2. 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X （单位单位单位单位：h ）的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为： = 0 , 0 ; 0, )( 2 x xxe xf x ,其中其中其中其中0为常数为常数为常数为常数. 求这种电子元件的平均寿命求这种电子元件的平均寿命求这种电子元件的平均寿命求这种电子元件的平均寿命. 解: 2 )( 00 222 = + + dxexdxxexdxxxfEX xx . 3. 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 + = 0 , 0 ; 0 , ) 2 (2 1 )( 22 1 2/ x xex k xf xk k ，求数学期望与方差求数学期望与方差求数学期望与方差求数学期望与方差。 解：略，E(X)=k, D(X)=2k. 8. 证明证明证明证明：函数函数函数函数 (t ) = E(X t)2 当当当当t = E(X)时取得最小值时取得最小值时取得最小值时取得最小值，且最小值为且最小值为且最小值为且最小值为 D(X) 。 证明： 22 )()()()(tXEXEXEtXEt+= 22 2222 22 )()( )()()()()( 2)( )()()(2)( tXEEXXE tXEEtXEXEtXEXEEXXE tXEEtXEXEXEXEXE += += += 所以要使 )(t 最小，则后面加上的常数项 2 )(tXE 就要最小，所以当 0)(=tXE时最小，最小值为 2 )(EXXE=).(XD 9. 某人的一串钥匙有某人的一串钥匙有某人的一串钥匙有某人的一串钥匙有n把把把把，其中只有一把能开自己的门其中只有一把能开自己的门其中只有一把能开自己的门其中只有一把能开自己的门，他随意地试用他随意地试用他随意地试用他随意地试用 这些钥匙这些钥匙这些钥匙这些钥匙，并且试用过的钥匙不再试用并且试用过的钥匙不再试用并且试用过的钥匙不再试用并且试用过的钥匙不再试用，求试用次数的数学期望与方差求试用次数的数学期望与方差求试用次数的数学期望与方差求试用次数的数学期望与方差. 解：设随机变量X表示试用次数，则X的概率分布为 所以 = + = n k n n kXE 1 2 11 )(, 12 1 2 1 6 ) 12)(1( 2 11 )()()( 2 2 1 2 222 = + + = + = = nnnnn n kEXXEXD n k nk nP PP kXP k n k n ,.,2 , 1, 1 1 1 1 1 = 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(/szhang) 4 10. 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X在在在在2/1 , 0上服从均匀分布上服从均匀分布上服从均匀分布上服从均匀分布， 2 2XY =，求求求求E(Y), D(Y). 解： 2 1 , 0UX = 其它 , 0 0 , 2 )( 2 1 x xf， = 2/1 0 2/1 0 3 22 6 1 | 3 422)2()( x dxxXEYE. = = 2/1 0 2 222 45 1 6 1 24)()()(dxxYEYEYD. 11、 在国际市场上在国际市场上在国际市场上在国际市场上， 每年对我国某种出口商品需求量每年对我国某种出口商品需求量每年对我国某种出口商品需求量每年对我国某种出口商品需求量X是服从是服从是服从是服从2000,4000 的均匀分布的随机变量的均匀分布的随机变量的均匀分布的随机变量的均匀分布的随机变量，若每售出若每售出若每售出若每售出1t，可以获得可以获得可以获得可以获得3 万元外汇万元外汇万元外汇万元外汇，如果售不如果售不如果售不如果售不 出而产品积压出而产品积压出而产品积压出而产品积压，则需要保养费则需要保养费则需要保养费则需要保养费1 万元万元万元万元/t，问问问问，应组织多少货源应组织多少货源应组织多少货源应组织多少货源，才能使才能使才能使才能使 得平均收益最大得平均收益最大得平均收益最大得平均收益最大？ 解：设商品需求量为X (t),组织货源y（t），收益为R，XU2000, 4000， 则 = yXy yXXyX R ,3 ),(3 ，则 + =+ = y y yy dx y dx yx RE 2000 4000 22 2000 20002140002 2000 3 2000 4 )( 令35000 2000 140004)( = += y y dy RdE ，又 35000 2000 4)( 2 2 = =y dy REd 是最大值点，即组织货源3500 t即可使平 均收益最大。 12、游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光，电梯于每个正点后的第电梯于每个正点后的第电梯于每个正点后的第电梯于每个正点后的第6 分分分分 钟钟钟钟、24 分钟分钟分钟分钟、42分钟从底层上行分钟从底层上行分钟从底层上行分钟从底层上行。假设游客在上午假设游客在上午假设游客在上午假设游客在上午8：00 到到到到9:00 之间之间之间之间 任何时刻可以到达侯梯厅任何时刻可以到达侯梯厅任何时刻可以到达侯梯厅任何时刻可以到达侯梯厅，到达时刻为到达时刻为到达时刻为到达时刻为X，且且且且X 服从服从服从服从0，60上的均匀分上的均匀分上的均匀分上的均匀分 布布布布，求游客等待时间的数学期望求游客等待时间的数学期望求游客等待时间的数学期望求游客等待时间的数学期望。 解：X U0,60,等候时间Y与到达时刻X的关系有： 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(/szhang) 5 Y=g(X)= 6042 ,66 4224 ,42 246 ,24 6 ,6 XX XX XX XX 所以 2 .10 )66()42()24()6( 60 1 )()()( 6 0 24 6 60 42 42 24 = += = + dxxdsxdxxdxx dxxfxgYE 13、设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 n XXX, 21 L相互独立相互独立相互独立相互独立，并且服从同一分布并且服从同一分布并且服从同一分布并且服从同一分布，数学期望数学期望数学期望数学期望 =)( i XE, 方差方差方差方差 2 )(= i XD，求这些随机变量算数平均值求这些随机变量算数平均值求这些随机变量算数平均值求这些随机变量算数平均值 = = n i i X n X 1 1 的数学期望和方差的数学期望和方差的数学期望和方差的数学期望和方差。 解：= = n i n i i n i i n EX n X n EXE 111 11 ) 1 ()( nn n XD n X n DXD n i i n i i 2 2 2 1 2 1 )( 1 ) 1 ()( = = 14. 计算泊松分布的三阶原点和中心矩计算泊松分布的三阶原点和中心矩计算泊松分布的三阶原点和中心矩计算泊松分布的三阶原点和中心矩. （略略略略） 15. 设设设设X，Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量，证明证明证明证明：D(X)=D(Y)的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是X- - - -Y 与与与与X+Y 不不不不 相关相关相关相关. 证明：cov(X+Y)(X-Y)=E(X+Y)(X-Y)-E(X+Y)E(X-Y) 0)()( )()()()( )()()( 2222 2222 = = += YDXD YEYEXEXE YEXEYXE )()(YDXD= 由此看出，此结论成立。 16、设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(/szhang) 6 = 其它 , 0 10 ,| , 1 ),( xxy yxf 求求求求cov(X,Y)，并问并问并问并问X 与与与与Y 是否相关是否相关是否相关是否相关，是否独立是否独立是否独立是否独立，为什么为什么为什么为什么？ 解：先求X与Y的边缘密度 + = x x X xxdydyyxfxf) 1 , 0(,21),()( 得 = 其它 , 0 10 ,2 )( xx xfX = + 1 | ) 1 , 1( |,|11),()( y Y yydxdxyxfyf即 = ) 1 , 1( , 0 ) 1 , 1( |,|1 )( y yy yfY 显然)()(),(yfxfyxf YX ，即X与Y不独立。 )(XE + = 1 0 2 3 2 2)(dxxdxxxfX， =)(YE0)1 ()1 (|)|1 ()( 0 1 1 1 1 0 + =+=dyyydyyydyyydyyyfY + + = = 1 0 0),()(dxydyxdxdyyxxyfXYE x x 0)()()(),cov(=YEXEXYEYX,所以X与Y不相关。 17. 设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 = 其它 , 0 0 , 20 , 16 3 ),( 2 xyxxy yxf 求求求求（1）数学期望数学期望数学期望数学期望E(X)及及及及E(Y);（2）方差方差方差方差D(X)及及及及D(Y);（3）协方差协方差协方差协方差cov(X ,Y ) 及相关系数及相关系数及相关系数及相关系数R(X ,Y ). 解：(1) + + = 2 00 2 0 62 2 7 12 32 3 16 3 ),()( x dxxydyxdxdxdyyxxfXE + + = 2 00 2 0 72 2 2 16 1 16 3 ),()( x dxxdyxydxdxdyyxyfYE 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(/szhang) 7 （2） = 2 00 2 0 732 2 3 32 3 16 3 )( x dxxydyxdxXE + + = 2 00 2 0 9322 2 5 24 64 3 16 3 ),()( x dxxdyxydxdxdyyxfyYE ; 49 3 49 144 3)()()( 22 =XEXEXD ; 5 4 4 5 24 )()()( 22 =YEYEYD （3） + + = 2 00 2 0 822 2 9 32 16 1 16 3 ),()( x dxxdyyxdxdxdyyxxyfXYE. 所以. 63 8 7 12 2 9 32 )()()(),cov(=YEXEXYEYX 5738. 0 5/4 49 3 63/8 )()( ),cov( ),(= YDXD YX YXR. 18. 已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量X ,Y 相互独立相互独立相互独立相互独立， 且且且且E(X) = 5, D(X) =1, E(Y) = 2, D(Y) =1, 设设设设U = X 2Y ,V = 2X Y ,求求求求（1）数学期望数学期望数学期望数学期望E(U) ,E(V) ;（2）方差方差方差方差D(U) , D(V) ;（3）cov(U,V), R(U,V ). 解：(1) ; 145)(2)()2()(=YEXEYXEUE 8210)()(2)2()(=YEXEYXEVE. (2) 因为X与Y独立，所以 ; 541)(4)()2()(=+=+=YDXDYXDUD . 514)()(4)2()(=+=+=YDXDYXDVD (3) )242()2)(2()( 22 YXYXYXEYXYXEUVE+= )(2)()(5)(2 22 YEYEXEXE+= )()(2)()(5)()(2 22 YEXDYEXEXEXD+= 12)41 (2255)251 (2=+= 48112)()()(),cov(=VEUEUVEVU 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(/szhang) 8 8 . 0 5 4 )()( ),cov( ),(= VDUD VU VUR 19. 已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平