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静力学第四章部分习题解答静力学第四章部分习题解答 4-1 力铅垂地作用于杆 AO 上, 11 5,6DOCOBOAO。 在图示位置上杠杆水平， 杆 DC 与 DE 垂直。试求物体 M 所受的挤压力 M F的大小。 解： 1.选定由杆 OA，O1C，DE 组成的系统为研 究对象，该系统具有理想约束。作用在系 统上的主动力为 M FF,。 2.该系统的位置可通过杆 OA 与水平方向 的夹角完全确定，有一个自由度。选参 数为广义坐标。 3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假 定杆 OA 有一个微小的转角，相应的 各点的虚位移如下： AOrA，BOrB，COrC 1 DOrD 1 ， CB rr， ED rr 代入可得： EA rr30 4.由虚位移原理0)( i FW有： 0)30( EMEMA rFFrFrF 对任意0 E r有：FFM30，物体所受的挤压力的方向竖直向下。 4-4 如图所示长为 l 的均质杆 AB，其 A 端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重 量，试求图示两种情况平衡时的角度。 解：4a 1.选杆 AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为 P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义 坐标。由几何关系可知： tan a h 杆的质心坐标可表示为： cos 2tan la zC 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆 AB 逆时针旋转一个微小的角度，则质心 C 的虚位移： rA rC rB rD rE sin 2 sin2 la zC 4.由虚位移原理0)( i FW有： 0)sin 2 sin ( 2 la PzP C 对任意0有： 0sin 2 sin2 la 即杆 AB 平衡时： 3 1 ) 2 arcsin( l a 。 解：4b 1.选杆 AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为 P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义 坐标。由几何关系可知： sin R zA 杆的质心坐标可表示为： cos 2sin lR zC 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆 AB 顺时针旋转一个微小的角度，则质心 C 的虚位移： sin 2 cos sin2 lR zC 4.由虚位移原理0)( i FW有： 0)sin 2 cos sin ( 2 lR PzP C 对任意0有： 0sin 2 cos sin2 lR 即平衡时角满足：0sincos2 3 lR。 4-5 被抬起的简化台式打字机如图所示。 打字机和搁板重 P， 弹簧原长为 2 a ， 试求系统在角 保持平衡时的弹簧刚度系数值。 解： 1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力 21,F F，且 21 FF ，将弹簧力 视为主动力。此时作用在系统上的主动力有 21,F F，以及重力P。 2. 该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知： sinazz BA 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移，则质心的虚位移为： cosazzz BAC 弹簧的长度 2 sin2 al ，在微小虚位移下： 2 cosal 4.由虚位移原理0)( i FW有： 0) 2 coscos( 22 aFPalFzP C 其中) 22 sin2( 2 a akF ，代入上式整理可得： 0 2 ) 2 cossin2(cos2 a kaP 由于0a，对任意0可得平衡时弹簧刚度系数为： ) 2 cossin2( cos2 a P k 4-6 复合梁 AD 的一端砌入墙内，B 点为活动铰链支座，C 点为铰链，作用于梁上的力 kNFkNFkNF3,4,5 321 ，以及力偶矩为mkNM 2的力偶，如图所示。试求固定 端 A 处的约束力。 解： 解除 A 端的约束，代之以 AAyAx MFF,，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力 MFFF, 321 的作用。 系统有三个自由度， 选定 A 点的位移 AA yx ,和梁 AC 的转角 为广义坐标。 1在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0 AA yx，如图所示。 由虚位移原理0)( i FW有： 0 AAx xF 对任意0 A x可得： 0 Ax F 2在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0 AA yx，如下图所示。 由虚位移原理0)( i FW有： 0 332211 MyFyFyFyF AAy (1) 由几何关系可得各点的虚位移如下： AC yyyy 31 AC yyy 3 1 3 1 2 AC yy 3 1 3 1 代入(1)式： 0) 3 1 3 1 ( 321 AAy yMFFFF 对任意0 A x可得：)(4 kNFAy，方向如图所示。 3在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0 AA yx，如上图所示。 由虚位移原理0)( i FW有： 0 332211 MyFyFyFMA (2) 有几何关系可得各点的虚位移如下： 2 1 y 3 3 C yy 2 y 代入(2)式： 0)32( 321 MFFFMA 对任意0可得： )(7mkNMA，逆时针方向。 4-7 图示结构上的载荷如下：mkNq 2；力kNF4 1 ；力kNF12 2 ，其方向与水平 成 o 60角；以及力偶，其力偶矩为mkNM18。试求支座处的约束力。 解： 将均布载荷简化为作用在 CD 中点的集中载荷 3 F，大小为q6 。 1.求支座 B 处的约束力 解除 B 点处的约束， 代之以力 B F， 并将其视为主动力， 系统还受到主动力MFFF, 321 的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆 AC 不动，梁 CDB 只能绕 C 点转动。系统有 一个自由度，选转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理0)( i FW有： 0150cos45cos 33 0 22 0 yFyFMrF BB (1) 各点的虚位移如下： 26 B r 9 2 y 3 3 y 代入(1)式整理可得： 0)3 2 39 6( 32 FFMFB 对任意0可得：)(6.18kNFB，方向如图所示。 2.求固定端 A 处的约束力 解除 A 端的约束，代之以 AAyAx MFF,，并将其视为主动力，系统还受到主动力 MFFF, 321 的作用。系统有三个自由度，选定 A 点的位移 AA yx ,和梁 AC 的转角为 广义坐标。 2a.求 Ax F 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0, 0, 0 AA yx，此时整个结构平移， 如上图所示。由虚位移原理0)( i FW有： 0120cos 0 2211 xFxFxF AAx (2) 各点的虚位移如下： A xxx 21 代入(2)式整理可得： 0)5.0( 21 AAx xFFF 对任意0 A x可得：)(2 kNFAx，方向如图所示。 2b.求 Ay F 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0 AA yx，此时梁 AC 向上 平移，梁 CDB 绕 D 点转动，如上图所示。由虚位移原理0)( i FW有： 030cos 0 2233 MyFyFyF AAy (3) 各点的虚位移如下： AC yyyy 2 1 2 1 32 A yy 6 1 3 1 2 代入(3)式整理可得： 0) 6 1 4 3 2 1 ( 23 AAy yMFFF 对任意0 A y可得： )(8.3kNFAy，方向如图所示。 2c.求 A M 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0, 0, 0 AA yx，此时梁 AC 绕 A 点 转动，梁 CDB 平移，如上图所示。由虚位移原理0)( i FW有： 0120cos 0 2211 xFxFMA (4) 各点的虚位移如下： 3 1 x 6 2 C xx 代入(4)式整理可得： 0)33( 21 FFMA 对任意0可得：)(24mkNMA，顺时针方向。 4-8 设桁架有水平力 1 F及铅垂力 2 F作用其上，且KEDKBECEDCAD， o 30。试求杆 1，2 和 3 所受的力。 解： 假设各杆受拉，杆长均为 a。 1求杆 1 受力 去掉杆 1，代之以力 1 P，系统有一个自由度，选 AK 与水平方向的夹角为广义坐标，如 上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形 ADK 形状不变，绕 A 点转 动，因此有KArDAr KD ,，且： arar KD 3, 滑动支座 B 处只允许水平方向的位移，而杆 BK 上 K 点虚位移沿铅垂方向，故 B 点不动。 三角形 BEK 绕 B 点旋转EBrE，且： arr DE 对刚性杆 CD 和杆 CE，由于ECrDCr ED ,，因此0 C r。由虚位移原理 0)( i FW有： 060cos60cos)( 0 1 0 11 ED rPrPF 代入各点的虚位移整理可得： 0)2( 11 aPF 对任意0可得： 2 1 1 F P（受压） 。 2求杆 2 受力 去掉杆 2，代之以力 2 P，系统有一个自由度，选 BK 与水平方向的夹角为广义坐标，如 上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆 AK 绕 A 点转动，因此有 KArK，且： arK3 同理可知 B 点不动，三角形 BEK 绕 B 点旋转EBrE，且： arE arr DE 杆 AD 绕 A 点转动DArD，由刚性杆 DE 上点 E 的虚位移可确定 D 点位移方向如图 所示，且： arr ED 同理可知0 C r。由虚位移原理0)( i FW有： 0120cos150cos120cos 0 2 0 2 0 1 KDD rPrPrF 代入各点的虚位移整理可得： 0)32( 21 aPF 对任意0可得： 6 3 1 2 F P（受压） 。 3求杆 3 受力 去掉杆 3，代之以力 3 P，系统有一个自由度，选 AK 与水平方向的夹角为广义坐标，如 上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形 ADK 绕 A 点转动， KArDAr KD ,，且： arar KD 3, 同理可知 B 点不动，EBrE，且： arr DE 0 C r 由虚位移原理0)( i FW有： 0120cos150cos60cos 0 3 0 3 0 1 KED rPrPrF 代入各点的虚位移整理可得： 0)32( 31 aPF 对任意0可得： 6 3 1 3 F P （受拉） 。 4-12 杆长 2b，重量不计，其一端作用铅垂常力F，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹 簧，如图所示。弹簧刚度系数为 k，当0y时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡 位置y，讨论此平衡位置的稳定性。 解： F 大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧 构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一 个自由度，选为广义坐标，如图所示。取0 为零势能位置，则系统在任意位置的势能为： F VVV 弹 )cos1(2)cos1( 2 1 )cos22()cos( 2 1 22 2 Fbkb bbFbbk 由平衡条件0 d dV 可得： 0sin2)cos1(Fkbb 有： 0sin和02)cos1(Fkb 即： 0和 kb F2 1cos 也就是： 0y和)( 2 FkbF k y两个平衡位置。 为判断平衡的稳定性，取势能 V 的二阶导数： 2coscos)2( 2 2 2 kbbFkb d Vd 当0时， 02 2 2 Fb d Vd ，即0y时是不稳定平衡。 当 kb F2 1cos时， )( 4 2 2 FkbF k d Vd 由上式可知： 1 当 kb F2 1cos且Fkb时，0 2 2 d Vd 即)( 2 FkbF k y是稳定平衡位置； 2 当 kb F2 1cos且Fkb时，0 2 2 d Vd 即)( 2 FkbF k y是不稳定平衡位置。 4-15 半径为r的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动 的滚动扰动的稳定性。 解： 取半径为 r 的半圆柱为研究对象， 圆心为 C。 半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半 圆心连线与 y 轴夹角为广义坐标。 作用在 半圆柱上的主动力为重力，系统为保